人教版数学八上考点精讲精练突破训练15.1 分式（含答案详解）

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15.1分式 考点一：分式的定义和意义1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.考点二：分式有关的条件和性质2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。考点三：分式的约分、通分4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.技巧归纳：. 分式的通分和约分：关键先是分解因式分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。最简分式：分子与分母没有公因式的分式分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。题型一：分式的定义1．（2021·重庆巴蜀中学八年级期中）在代数式，，，，中，分式有（    ）个A． B． C． D．2．（2022·江苏宿迁·八年级期末）下列式子：①，②，③，④，属于分式的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·湖南·新田县教研室八年级期中）下列各式：，，，，，其中分式有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型二：分式有意义的条件4．（2022·湖南邵阳·八年级期中）如果分式有意义，那么的取值范围是（    ）．A． B． C． D．5．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）当时，下列分式中有意义的是（　　）A． B． C． D．6．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学八年级期末）使分式有意义的x的取值范围是（    ）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x1题型三：分式的值7．（2022·重庆沙坪坝·八年级期末）已知，则的值为（    ）A． B． C．3 D．8．（2021·山东·日照市北京路中学八年级期末）若，则=（　　）A．8 B． C．8或 D．无法确定9．（2021·重庆永川·八年级期末）若，则的值是（    ）A． B． C． D．1题型四：分式的基本性质10．（2022·河北唐山·八年级期中）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（　　）A． B．C． D．11．（2022·北京昌平·八年级期中）下列运算正确的是（   ）A． B．C． D．12．（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）把代数式中的x，y同时扩大2倍后，代数式的值（    ）A．扩大为原来的1倍 B．扩大为原来2倍C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的一半题型五：最简分式和最简公分母13．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）分式，，，中，最简分式有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2022·全国·八年级专题练习）与的最简公分母为（　　）A．a（a+b）（a﹣b） B．（a+b） C．（a﹣b） D．（a+b）（a﹣b）15．（2022·湖南湘西·八年级期末）①，都是分式；②分式的基本性质之一可以表示为；③是最简分式；④与的最简公分母是．以上四个结论中正确的有（    ）A．③④ B．①④ C．① D．③题型六：通分和约分16．（2021·全国·八年级）通分（1）与；（2）与；（3）与；（4）与．17．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期末）化简约分(1)(2)(3)18．（2022·全国·八年级）通分：（1）与；            （2）与；（3）与；      （4）．一、单选题19．（2022·河北邢台·八年级期中）若分式有意义，则 （    ）A． B． C． D．20．（2022·河北唐山·八年级期中）下列各式中，最简分式是（　　）A． B． C． D．21．（2022·北京·清华附中八年级）如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（    ）A．扩大2倍 B．缩小 C．缩小 D．不变22．（2022·北京四中八年级）下列各等式中成立的有个．（　　）①；；；．A．1 B．2 C．3 D．423．（2022·山东烟台·八年级期中）已知，则分式的值是（　　）A． B． C． D．24．（2022·湖南邵阳·八年级期中）下列各等式一定成立的是(   )．A． B．C． D．25．（2022·山东·龙口市龙矿学校八年级）化简下列分式(1)(2)(3)(4)26．（2022·江西宜春·八年级期中）代数式，求代数式的值．一、单选题27．（2022·北京房山·八年级期中）如果将分式中的字母的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）A．不改变 B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的 D．缩小为原来的28．（2022·北京市顺义区仁和中学八年级期中）下列各式正确的是（    ）A． B．C． D．29．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）如果把的与（，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（    ）A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的30．（2022·山东·龙口市龙矿学校八年级阶段练习）下列运算中，错误的是（　　）A． B． C． D．31．（2022·湖南·永兴县永一中学八年级期中）小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（    ）A． B． C． D．二、填空题32．（2022·北京·清华附中八年级）分式，的最简公分母是______．33．（2022·北京·清华附中八年级）约分：______，______．34．（2022·北京四中八年级）分式与的最简公分母是___________．35．（2022·四川·成都市西川汇锦都学校八年级）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______．36．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中），，的最简公分母是______________．37．（2022·湖南·临武县第六中学八年级）将分式约分后得_________。三、解答题38．（2020·广东·罗定市培献中学八年级）已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．39．（2022·江苏·八年级）将下列各分式通分：（1）；（2）；（3）；（4）．40．（2022·四川·成都七中八一学校八年级期中）设a，b，c都是非零有理数，试求的值．41．（2022·全国·八年级）若x，y是实数，且，求的值．42．（2021·全国·八年级）下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）；（2）；（3）；（4）．43．（2022·江苏·八年级专题练习）化简下列分式：（1）；（2）；（3）．1．C【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含则不是分式．【详解】的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，分母中含有字母，因此是分式，故选：C．【点睛】本题考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．B【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：式子：①，②，③，④中，②④是分式，共2个，故选：B．【点睛】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．3．C【分析】根据分式的概念进行判断即可．【详解】解：，，，，中，分式有：， ，共3个，故选：C【点睛】本题考查了分式的概念，理解掌握分母中含有字母的式子是分式是解题的关键．4．B【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：B．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．5．C【分析】根据分式有意义的条件是分母不为，逐项对选项进行判定即可．【详解】解：A、当时，的分母，该选项不符合题意；B、当时，的分母，该选项不符合题意；C、当时，的分母，该选项符合题意；D、当时，的分母，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为是解决问题的关键．6．C【分析】根据分式分式有意义的条件即可求解．【详解】解：∵分式有意义，∴分母，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式有意义，熟练掌握分式有意义的条件为分母不等于0是解题的关键．7．B【分析】由可得再代入要求值的分式中，再计算即可．【详解】解：∵，∴ ∴故选B【点睛】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．8．B【分析】由可得，再把变形为，再整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴，整理得，，∴=，故选：B【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及求代数式值，把和进行正确变形是解答本题的关键．9．B【分析】根据分式的性质把的分子、分母同时除以，再把代入即可求得．【详解】解： 故选：B．【点睛】本题考查了分式的基本性质及分式的求值问题，根据已知条件，把代数式化为含有已知条件的式子是解决本题的关键．10．B【分析】根据分式的基本性质作答，分式分母、分子和分式本身的符号任意改变两个，分式的值不变．【详解】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以，A、；B、；C、；D、，故选：B．【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变．11．C【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可．【详解】解：A. ，因此选项A不符合题意；B．，因此选项B不符合题意；C．，因此选项C符合题意；D．是最简分式，不能约分，因此选项D不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键．12．C【分析】将x，y同时扩大2倍后再进行化简即可求解．【详解】将x，y同时扩大2倍，得：即扩大为原来的4倍；故选：C．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答此题的关键．13．B【分析】分子，分母没有公因式的分式是最简分式，根据定义逐一分析即可.【详解】解：∴最简分式有，，共2个，故选B.【点睛】本题考查的是分式的约分，最简分式的判断，掌握“最简分式的含义”是解本题的关键.14．A【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．【详解】解：与的最简公分母为，故选A．【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．15．D【分析】根据最简分式的概念、分式的基本性质，最简分式及最简公分母的确定逐一判断即可．【详解】解： 都是分式，是整式，故①不符合题意； 分式的基本性质之一可以表示为 （C≠0），故②不符合题意； 的分子与分母除1外，再没有公因式，是最简分式，故③符合题意； 与的最简公分母是ab（x+2），故④不符合题意； 故选：D．【点睛】本题主要考查分式的含义，分式的基本性质，最简分式与最简公分母，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式；通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．16．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）与的最简公分母是6；（2）与的最简公分母是3；（3）与的最简公分母是2；（4）与的最简公分母是．【详解】（1）∵与的最简公分母是6，∴=，=；（2）∵与的最简公分母是3，∴=，=；（3）∵与的最简公分母是2，∴=，=；（4）∵与的最简公分母是，∴=，=．【点睛】本题考查了分式的通分，准确确定最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，是解题的关键．17．(1)6b(2)(3)【分析】（1）原式约去分子与分母的公因式即可；（2）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可；（3）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可．（1）=（2）= =（3）= =【点睛】本题主要考查了分式的约分，能够正确进行因式分解是解答本题的关键18．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】先找到最简公分母，然后通分．【详解】（1）， ；（2），；（3），； （4），，．【点睛】本题考查了分式的通分，找到最简公分母是解题的关键．19．A【分析】根据分式有意义的条件可得：，再解即可．【详解】解：由题意得：，解得；故选：A．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．20．B【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】A.分子分母有最大公约数，不是最简分式；B.分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；C.，不是最简分式；D. ，不是最简分式；故选：B．【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．21．D【分析】将x，y用，代入化简，与原式比较即可．【详解】解：将x，y用，代入得，故分式的值不变．故选：D．【点睛】本题考查分式的基本性质，熟悉掌握分式的性质是解题关键．22．A【分析】分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，据此即可求解．【详解】解：，故不符合题意．，故不符合题意．，故不符合题意．，故符合题意．故选：A．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．23．B【分析】根据题意可得，从而得到，再由，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值．此类题型的特点是，根据题意得到是解题的关键．24．C【分析】根据分式的性质依次判断即可．【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项正确，符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键．25．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）将分子和分母的公因式约去即可；（2）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；（3）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；（4）先将分子和分母分解因式，然后约分即可.【详解】（1）解：==；（2）解：==；（3）解：＝=；（4）解：==．【点睛】本题考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．26．【分析】先根据已知条件得到，，再将所求代数式变形为结合进行求解即可．．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，∴ ．【点睛】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形，正确根据题意得到，是解题的关键．27．A【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，∴如果将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值不改变，故选：A．【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．28．B【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可．【详解】解：A、与不一定相等，不符合题意；B、由分式的性质可知，符合题意；C、与不一定相等，不符合题意；D、与不一定相等，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟知分式的性质是解题的关键．29．D【分析】根据题意将，都扩大10倍，再通过整理约分与原式进行比较即可．【详解】解：把的与（，均为正）都扩大10倍，可得：，∴这个代数式的值缩小到原来的．故选：D【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质是解本题的关键．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．30．A【分析】根据分式的基本性质，分子、分母、分式本身的符号中，改变其中两个符号，分式的值不变，对每一项进行分析即可．【详解】解：A、，故本选项错误；B、，故本选项正确；C、，故本选项正确；D、，故本选项正确．故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．31．D【分析】观察各分式，找出分子分母含有公因式的即可．【详解】解：A、原式为最简分式，不符合题意；B、原式为最简分式，不符合题意；C、原式为最简分式，不符合题意；D、原式==x-y，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．32．##【分析】根据题意求得最简公分母即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．【详解】解：分式，的最简公分母是，故答案为：．【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．33．          【分析】根据分式的性质约分求解即可．【详解】，．故答案为：；．【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的性质．34．【分析】首先将各分母分解因式，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积．【详解】解：各项的最简公分母为：，故答案为．【点睛】本题考查了最简公分母的确定，关键是根据最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积解答．35．0【分析】根据为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出的值再求和即可．【详解】解： ，为整数，分式的值也为整数，当时，分式，符合题意；当时，分式值，符合题意；当时，分式值，符合题意；当时，分式值，符合题意；满足条件的的值为、、、，所有满足条件的数的和为，故答案为：0．【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．36．【分析】先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出．【详解】解：∵，，∴，，的最简公分母是．故答案为：【点睛】本题主要考查了求分式的最简公分母，熟练掌握通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫最简公分母是解题的关键．37．【分析】约去分子分母的公因式即可.【详解】解： 故答案为：.【点睛】本题考查的是分式的约分，掌握“约分就是约去分子分母的公因式”是解本题的关键.38．(1)补全过程见解析(2)【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论；（2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围．（1）解：==，根据无论x取何实数，分式 总有意义，只要当，即可满足题意，；（2）解：由（1）可知，，根据无论x取何实数，分式 总有意义，只要当，即可满足题意，．【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到配方及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．39．（1），；（2），；（3），；（4），．【分析】将分母两式取各式的最小公倍式，相同因式的次数取最高次幂，分子分母同乘分母的最小公倍式即可得出答案．【详解】解：（1），；（2），；（3），；（4），．【点睛】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：（1）系数取各系数的最小公倍数；（2）凡出现的因式都要取；（3）相同因式的次数取最高次幂．40．值为0或4或．【分析】根据a、b、c是非零实数，分两正一负、两负一正、都为正数和都为负数四种情况分别讨论求值即可．【详解】解：由已知可得：a，b，c为两正一负、两负一正、都为正数和都为负数．①当a，b，c为两正一负时：；②当a，b，c为两负一正时：；③当a，b，c都为正数时：；④当a，b，c都为负数时：；综上所述，值为0或4或．【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值．41．－1【分析】先根据算术平方根的非负性即可确定x的值，进而求出y的取值范围，再根据绝对值的性质即可得出的值．【详解】解：，，，1-y>0，．【点睛】本题主要考查了分式的约分，算术平方根的非负性，实数的性质，根据算术平方根的非负性求得x,y的值是解题的关键．42．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】根据分式的基本性质判断即可；【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．43．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题；（3）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．【详解】解：（1）；（2）；（3）．