人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程优秀课时练习

这是一份人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程优秀课时练习，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·重庆市荣昌初级中学八年级期末）若二次根式有意义，且关于分式方程﹣3＝有正整数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．5B．3C．﹣2D．0
2．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）解方程时：
小燕认为：方程两边都乘以，得
小红认为：方程两边都乘以，得
小杰认为：方程两边都乘以，得
以上三位同学的理解，错误的是( )
A．小燕B．小红
C．小杰D．没有错误，三位同学都正确
3．（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·山东东营·八年级期中）九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为( )
A．B．
C．D．
5．（2022·湖南·桂阳县第二中学八年级期中）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是-2和，且点A，B到原点的距离相等，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·广西桂林·八年级期中）若正整数a满足关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有正整数a的和为（ ）
A．6B．10C．15D．12
7．（2022·江苏·苏州工业园区东沙湖实验中学八年级期中）如图，四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆设这批椽有株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）解分式方程时，去分母后变形为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
10．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．5B．8C．9D．12
11．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）若解分式方程产生增根，则k的值为（ ）
A．2B．1C．0D．任何数
12．（2022·福建·泉州市第六中学八年级期中）若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（ ）
A．7B．3或7C．3或D．
13．（2022·全国·八年级单元测试）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A．20B．21C．19D．19
二、填空题
14．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）为了全力抗击新型冠状病毒感染肺炎，减少相互感染，每个人出门都必须带上口罩，所以型的口罩需求量越来越大．某大型口罩工厂接到生产200万副KN95型口罩的生产任务，计划在若干天完成，由于情况疫情紧急，工厂全体员工不畏艰苦，工人全力以赴，每天比原计划多生产5万副口罩，结果只用了原计划时间的就圆满完成生产任务，则原计划每天生产______万副口罩．
15．（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于的分式方程有增根，则的值为___________．
16．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学八年级阶段练习）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行70km所需时间与逆水航行54km所需时间相同，已知水流的速度是3km/h，设轮船在静水中航行的速度为xkm/h，则可列分式方程为______．
17．（2022·山东东营·八年级期中）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________．
18．（2022·新疆·兵团二中八年级期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______．
19．（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当________时，分式与分式互为相反数．
20．（2022·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．
三、解答题
21．（2022·山东烟台·八年级期中）解关于x的分式方程：
(1)(2)
22．（2022·山东东营·八年级期中）解下列方程
(1)(2)
23．（2022·福建泉州·八年级期末）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下表：
已知乙种水果的进价比甲种水果高2.5元/斤，水果经销店花费1400元购进甲种水果的重量和花费2400元购进乙种水果的重量一样．
(1)求a的值；
(2)水果经销店在“五一”这天购进两种水果共300斤，其中甲种水果不少于80斤且不超过140斤，在当天的促销活动中，店家将甲种水果降价元/斤进行销售，结果两种水果很快卖完．设销售甲种水果x斤，为了保证当天销售这两种水果总获利W的最小值不低于320元，求m的最大值．
24．（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程．当m为何值时，此方程无解？
25．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）列分式方程解应用题：
年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料?
26．（2022·上海外国语大学附属大境初级中学八年级期中）关于的方程只有一个实数根，求：的值．
27．（2022·河南·辉县市太行中学八年级期中）阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的课上，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围．
经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路．
小杰说，解这个 关于x的分式方程，得．由题意可得，所以，问题解决．
小哲说，你考虑得不全面，还必须保证，即才行．
参考上述对问题的讨论，解决下面的问题．
(1)请回答：___________________的说法是正确的，正确的理由是___________________，a的取值范围应为__________________．
(2)若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．
(3)若关于x的方程有整数解，求整数m的值．
28．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的分式方程
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
29．（2022·河南·辉县市太行中学八年级期中）王明和高岩利用假期时间进行了两次徒步爬山活动．
(1)第一次爬北岳恒山，他们沿通往主峰的山路爬到某景点A，行程2000米，两人从山脚同时出发．王明爬的很快，其平均速度是高岩的1.25倍，结果比高岩早到10分钟到达景点A，求王明爬山的平均速度是每分钟多少米．
(2)第二次爬五台山，王明爬到了顶峰用了n(n＞2)小时，高岩爬到顶峰所用的时间是王明的1.1倍还多1小时，那么王明爬山的平均速度是高岩的2倍吗?请说明理由．
30．（2022·上海·新中初级中学八年级期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
甲
a
5
乙
b
7
参考答案：
1．A
【分析】根据二次根有意义，可得m≤4，解出关于x的分式方程，根据解为正整数，进而确定m的值，注意增根时m的值除外，然后求和即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴m≤4，
去分母得，，
解得，x=，
∵关于x的分式方有正整数解，
∴m=-2，1，4，
又∵x=1是增根，即当x=1时，，
解得：，
∴，
∴m可以为1，4，
∴其和为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正整数解，整数m的意义是正确解答的关键．
2．C
【分析】根据等式的性质方程两边乘3x−2（或2−3x），再判断即可．
【详解】解：错误是小杰，小燕和小红是正确的，
理由是：，
方程两边乘，得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
3．A
【分析】由，原方程可化为，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
【详解】解：设，
分式方程可化为，
化为整式方程：，
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
4．B
【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
慢马的速度为，快马的速度为，
∵快马的速度是慢马的倍，
∴．
故选∶B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
5．C
【分析】根据题意可知A，B点所对应的数互为相反数，由此可知B点所得对应的数，由此列出分式方程求解即可．
【详解】解：由数轴可知，A，B点在原点的两侧，且A，B到原点的距离相等，
∴A，B点所对应的数互为相反数，且A点对应的数为-2
∴，
∴，解得，
经检验：是原方程的解．
故选：C．
【点睛】本题考查相反数的定义，解分式方程，能够根据题意列出分式方程式解决本题的关键．
6．D
【分析】根据解分式方程的一般步骤得出，再由解为非负数，得出，然后确定a的取值，求和即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴a的值为，
∵分式方程中，即，
∴，
∴a的值为
其和为：，
故选：D．
【点睛】题目主要考查解分式方程的一般步骤及不等式的应用，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题关键．
7．D
【分析】利用单价总价数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：这批椽的价钱为文，这批椽有株，
一株椽的价钱为文，
又每株椽的运费是文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．C
【分析】根据解分式方程的去分母的方法，方程两边同乘最简公分母，注意去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母，进行计算即可．
【详解】解：
方程两边乘，得：．
故选：C
【点睛】本题考查了解分式方程，解本题的关键在熟练掌握解分式方程时去分母的方法．
9．D
【分析】先求出分式方程的解，再根据解是整数，得到，最后根据分母不为0，得到，即可得到k的取值范围．
【详解】解：方程两边同时乘以，得：，
，
分式方程的解是正数，
，
，
，，
且，
，
且，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键．
10．C
【分析】先解分式方程，用含有a的代数式表示方程的解，再根据解为非负数求出a的范围，然后根据不等式组的解集求出a的范围，进而得出答案．
【详解】解:，
解得，且，
∵原方程得解为非负数，
∴，且，
解得，且．
解不等式组，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴，
∵使关于y的不等式组的解集为，
∴
解得，
所以，且．
可知
则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，不等式组的解集，及如何解分式方程，解不等式组，注意：解分式方程时分式的分母不等于0．
11．B
【分析】先将分式方程化为整式方程，再用k表示出方程的解，然后方程的解为2，再求出k的值即可．
【详解】解：

令，即，解得．
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．B
【分析】将原分式方程去分母化解为整式方程，然后整理为，则时，分式方程无解；当分式方程的分母为，即时原分式方程也无解，分别计算得出实数a的值即可．
【详解】解：，
去分母得：，
整理为：，
当时，即时，此方程无解，原分式方程也无解；
当，即，
将代入，
解得：，
或，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，分整式方程无解和整式方程有解但分式方程的增根两种情况进行讨论是解决问题的关键．
13．D
【分析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
甲的工作效率是，乙的工作效率是，
∵丙的工作效率是乙的工作效率的，
丙的工作效率是，
∴一轮的工作量为：，
∴轮后剩余的工作量为：，
∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，
∴乙还需要工作的时间为（小时），
∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解．
14．25
【分析】可以利用方程的思想，假设原计划每天生产口罩的数量为万，那么实际每天生产的口罩数量就可以表示为万，根据时间关系列出方程即可．
【详解】设原计划每天生产万副口罩，那么实际每天生产万副口罩，
由题意可得： ，
解得：，
经检验，符合题意，
∴则原计划每天生产25万副口罩．
故答案是：25．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用问题，准确的找到题目中的等量关系是求解本题的关键．
15．或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：
，
当，即或时，分式方程有增根，
当时，，解得；
当时，，解得；
故m的值是或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键．
16．
【分析】根据静水中的速度为，则顺水速度为，逆水速度为，根据关键语句“轮船顺水航行所需的时间和逆水航行所需的时间相同．”列出方程即可．
【详解】解：设轮船在静水中的速度为，则顺水速度为，逆水速度为，由题意得：
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．
17．且
【分析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：，
∵原分式方程得解为正数，且，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不能为0．
18．94
【分析】解不等式组可得，解分式方程可得，且，由此可求整数的值．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式的解集为，
，
解得；
，
，
，
，
方程的解是非负整数，
是2的倍数，
，
，
的取值为19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，，，
所有满足条件的整数的值之和是94，
故答案为：94．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
19．
【分析】根据相反数的性质可得，解分式方程即可得出结果．
【详解】解：∵分式与分式互为相反数，
∴，
整理得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是的解，
∴时，分式与分式互为相反数，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的性质以及解分式方程，根据互为相反数的两个数相加得列出分式方程是解本题的关键，注意分式方程需要检验．
20．16
【分析】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
分式方程去分母，得，
∴，
∵分式方程的解为非负整数，
∴且，
∴且，
∵a为整数，为非负整数，
∴，1，7，10，
∴整数a的和为．
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解决此题关键．
21．(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边都乘得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．一定要注意解分式方程必须检验．
22．(1)
(2)无解
【分析】（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解，最后检验即可；
（2）先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解，最后检验即可；
【详解】（1）解：解：方程的两边同时乘以，得
，
整理得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
经检验是该方程的根，
则该分式方程的解为；
（2）解：方程的两边同时乘以 得：
，
整理得： ，
∴，
∴，
解得：．
当时，，
则是该方程的增根，
∴该分式方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是正确找出分式方程的最简公分母，将分式方程化为整式方程．注意，解分式方程一定要检验．
23．(1)
(2)m的最大值为0.25
【分析】（1）由题意可得：b=a+2.5，然后根据“水果经销店花费1400元购进甲种水果的重量和花费2400元购进乙种水果的重量一样”列分式方程求解即可；
（2）利用“总利润=每斤的销售利润×销售数量（购进数量）”，可得出W关于x的函数关系式，由0