初中数学人教版（2024）八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形精品当堂达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形精品当堂达标检测题，共41页。试卷主要包含了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点一、等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等；(定义)
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
考点二、等腰三角形的判定
1. 有关的定理及其推论
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
考点三：等边三角形
等边三角形定义：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）
等边三角形的性质：
①等边三角形的三个内角都是60〬
②等边三角形的每条边都存在三线合一；
4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）
5、等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；
题型一：等腰三角形的性质
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40°B．36°C．30°D．25°
2．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
3．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
题型二：等腰三角形的判定
4．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F．
求证：CE=CF．
5．如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：ABC是等腰三角形
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数．
6．在中，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于．
(1)若，求的度数；
(2)求证：是等腰三角形．
题型三：等边三角形的性质
7．如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是等边三角形，点是上一点，，于点交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，则下列结论中①，②，③，④，⑤连接，则平分．其中说法正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型四：等边三角形的判定
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，求证：△AEF是等边三角形．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
(1)求证：BE垂直平分CD；
(2)若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
12．如图，在Rt△ABC中，，，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．
(1)求证：．
(2)若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
一、单选题
13．等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．18B．21C．20D．18或21
14．如图，在△ABC中，，，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．B．C．D．
15．在中，D，E分别是AC、BC上的点，过点D作 ，，垂足分别是点F，G，连接DE，若，，则下面三个结论：
①；
②；
③．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①②③
16．已知：如图，在， 中， ， ， ，点 三点在同一直线上，连接 ， ；以下四个结论： ；；； ；其中结论正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为18，则与的面积之和为（ ）
A．6B．9C．12D．16
18．如图，，且在边上，，则的度数（ ）
A．70°B．71°C．72°D．76°
19．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．2D．2.5
20．如图，在中，，于点E，于点D，交于点F，且．求证：
21．如图，在中，，，P是边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则的度数可能是（ ）
A．B．C．D．
22．已知，，是的三边长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)若，，满足，试判断的形状；
(3)化简：．
一：选择题
23．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
24．如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
25．下列结论正确的有（ ）
①有三个角是的三角形是等边三角形；②有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；③等腰直角三角形底边的垂直平分线是它的对称轴，④一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EFAC，分别交AB、AD于点F、G则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④
27．如图，在边长为2的等边中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边，连接DF.当的周长最小时，的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
28．如图，等边中，P为边上一点，于R，于S，且满足，Q在边上，且满足，则以下四个结论：①点P在的平分线上；②；③；④．其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4
29．如图1，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D（AD>BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为，△AMD的面积为，与的函数图象如图2，则AD+BD的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
二、填空题
30．若等腰三角形的顶角为，则一腰上的高与底边所成的角的度数是____度．
31．如图，中，，于点D，点E、F分别在、上运动．若的面积为12，则的最小值为_________．
32．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝23°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D作交BC于点F，点E是BA延长线上一点，且BE＝FC，连接EF交AC于点O，则∠EOC＝______．
33．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为______．
34．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则=_____°．
35．如图，在中，D是上的一点，平分，平分，且，若交于M，，则______．
三、解答题
36．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E是AC边上一点，延长BA至D，使AD＝AE，
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若∠CBE＝30°，求∠ADC的度数．
37．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
(1)若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；
(2)试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
38．如图，已知A、B、D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AC=BD，∠1=∠2．
求证：
(1)△CBE是等腰直角三角形；
(2)AD=AC+DE
39．已知：如图，是等边三角形，是延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
40．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
(1)若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 度．
(2)若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
41．如图，△中，，点D为的中点，且．点P在线段上以a cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以b cm/秒的速度由C点向A点运动，连结．
(1)求证：；
(2)在点P、Q运动过程中，当≌时，求的值；
(3)设的面积为，的面积为，在点P、Q运动过程中，当点C、D关于直线对称时，求的值．
1．B
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
2．B
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
3．C
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
4．证明见解析．
【分析】利用BF平分∠ABC知∠CBF＝∠DBE，又∠ACB=90°，CD⊥AB得∠CFB＝∠DEB，再利用对顶角相等得∠CFB＝∠FEC，即CE＝CF．
【详解】证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°．
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠DBE，
∴∠CFB＝∠DEB．
∵∠FEC＝∠DEB，
∴∠CFB＝∠FEC，
∴CE＝CF．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，并通过角的等量变换，等腰三角形的判定进行证明．
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形；
（2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可．
【详解】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线
∴∠DAF=∠CAF
又∵
∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴是等腰三角形
（2）∵CG是∠ACE的角平分线
∴∠ACG=∠ECG
又∵，∠ACB=∠B
∴
∴∠ACG=∠ECG=
又∵∠CAG=∠ACB
∴∠AGC=
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键．
6．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）先根据三线合一得到和相等，然后根据已知条件即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到和相等，再用平行线的性质得到和相等，再根据等量代换得到，即可证明是等腰三角形．
（1）
解：∵是等腰三角形，D为底边的中点，
∴，（三线合一），
∵，
∴；
（2）
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三线合一等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
7．B
【分析】根据对称性和等边三角形的性质，作于点，交于点，此时，最小，进而求解．
【详解】解：如图：
过点作于点，交于点，连接，
是等边三角形，边长为8，
若，
，
，
，
是等边的边上的中线，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点和的位置．
8．C
【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（），
∴，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．C
【分析】①正确．可以根据证明；②正确．只要证明即可；③正确．只要证明即可；④错误．可以证明；⑤正确．理由面积法即可证明.
【详解】解：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，故①成立；
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．故②成立；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③成立；
∵，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．故④错误；
连接，作于M，于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，排除解答选择题的技巧的运用，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．
10．见解析
【分析】先证明∠BAD＝∠C＝，得到∠CAD＝，结合BE平分∠ABC，证明∠AFE＝∠AEF，从而得到AF＝AE，最后根据两边相等，且有一个角为的三角形为等边三角形证得结论．
【详解】证明：∵在△ABC中，∠BAC＝，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD＝，∠CAD+∠C＝，
∴∠BAD＝∠C＝，∠CAD＝，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∵∠CAD＝，
∴△AEF为等边三角形．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD，得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，再根据DB=BC，即可证明结论．
（1）
解：证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴DC=DB，
又∵BD=BC，
∴DC=DB=BC，
∴△CBD是等边三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形与等边三角形，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．
12．(1)证明过程见详解
(2)△CEF是等边三角形，证明过程见详解
【分析】（1）先得到∠CEB+∠CBE=90°和∠DFB+∠FBD=90°，根据BE平分∠ABC，有∠CBE=∠FBD，即可得到∠CEF=∠DFB，则结论即可证明；
（2）根据点E在AB的垂直平分线上，可得∠A=∠EBA，结合∠CBE=∠FBD，可得∠A=∠EBA=∠EBC=30°，即可得∠CEF=60°，再结合（1）的结论可得∠CEF=∠CFE=∠ECF=60°，结论的证明．
（1）
∵∠ACB=90°，
∴∠CEB+∠CBE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠DFB+∠FBD=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBD，
∴∠CEF=∠DFB，
∵∠DFB=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE；
（2）
△CEF是等边三角形，
理由：
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA，
∵∠EBA=∠EBC，∠A+∠ABC=∠ACB=90°，
∴∠A=∠EBA=∠EBC=30°，
∴∠CEF=∠A+∠ABE=60°，
∵在（1）已证得∠CEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE=60°，
∴∠CEF=∠CFE=∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识，熟练运用直角三角形中两锐角互余是解答本题的关键．
13．D
【分析】分8长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．
【详解】解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+8+5＝21，
当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+5+5＝18，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．
14．B
【分析】根据三角形的内角和定理求得，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：在中，∵，，
∴，
由作图可知，为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图和性质是解题的关键．
15．C
【分析】连接BD，根据垂直定义可得，再根据HL证明，然后根据全等三角形的性质可得，，即可判断①，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，即可判断②，最后根据，即可判断③．
【详解】连接BD，
，，
，
，，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
故②正确；
，，，
和不全等，
故③不正确；
所以，上面三个结论，其中正确的是①②，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．D
【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ，
即：
在 和 中

，本选项正确；
为等腰直角三角形，




，本选项正确；



即：，本选项正确；

，本此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．A
【分析】根据证明，得出与的面积之和等于的面积，由，的面积为18，可求出的面积为6，即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
在和中，，
∴（），
∴的面积的面积，
∴与的面积之和与的面积之和，
∵的面积为18，，
∴的面积，
∴与的面积之和的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点；熟练掌握三角形面积关系，证明三角形全等是解题的关键．
18．B
【分析】根据全等三角形的性质可得，即可得出，根据等腰三角形等边对等角结合三角形内角和定理可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质定理是解本题的关键．
19．C
【分析】根据，和的平分线相交于点F，得证，结合，计算选择即可．
【详解】因为，和的平分线相交于点F，
所以
所以，
所以，
因为，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
20．证明见解析．
【分析】先由，于点，根据等腰三角形的三线合一，证明，再证明，根据同角的余角相等，证明，即可根据全等三角形的判定定理证明，则．
【详解】证明∵，于点E，
∴，
于点D，
，
，
在和中，
(ASA)，
．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，找到全等三角形的对应边和对应角并证明是解题的关键．
21．C
【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和计算出的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得， 再因为，所以进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴只有适合，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形两底角相等．
22．(1)为等边三角形
(2)为等腰三角形或等边三角形
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论；
（2）根据等式的性质，得出或或，进而得出结论；
（3）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可.
【详解】（1）解：∵，
∴且，
∴，
∴为等边三角形；
（2）∵，
∴或或，，
∴或或，
∴为等腰三角形或等边三角形；
（3）∵，，是的三边长，
∴，，，
∴原式.
【点睛】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题.
23．D
【分析】利用等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形外角的性质等加以推理判断即可．
【详解】因为是等边三角形，是中线，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，，
故选项A、B、C都正确；
因为斜边大于直角边，
所以，
所以，
所以D错误，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．
24．C
【分析】由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出；由，得出，根据三角形外角的性质得出；由证明，得出对应边相等，即可得出为等边三角形．
【详解】解：、为等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
①正确；
，
，
，
，
②正确；
在和中，
，
，
，
为等边三角形，
③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．D
【分析】根据等边三角形和等腰三角形的性质与判定逐个判断即可．
【详解】有三个角是的三角形是等边三角形，所以①正确；
有一个外角是的等腰三角形，即一个内角是是的等腰三角形，是等边三角形，所以②正确；
等腰直角三角形底边的垂直平分线是它的对称轴，所以③正确；
一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形不一定全等，高可以在三角形内部或者外部，所以④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和对称的性质、等边三角形的判定，熟记相关性质是解题的关键．
26．A
【分析】①正确，证明即可；②错误，如果，则结论成立，无法判断，故错误；③正确，利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题；④正确，证明即可解决问题．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠CAB=90°，故①正确，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=∠CAE，∠BAD=∠C，
∴∠BAE=∠C+∠CAE=∠BEA，故③正确，
∵EFAC，
∴∠AEF=∠CAE，
∵∠CAD=2∠CAE，
∴∠CAD=2∠AEF，
∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=∠CAD=2∠AEF，故④正确，
无法判定EA=EC，故②错误．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．A
【分析】作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则当B，F，G在同一直线上时，的周长最小，等于线段BG长，然后根据已知条件和等边三角形的性质可以得到，，从而根据等腰三角形的性质可以得到．
【详解】解：如图，连接CF，
∵、都是等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
在和中，，∴，
∴，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则，
∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段BG长， 的周长最小，
由轴对称的性质，可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴,
故选A．
【点睛】本题考查轴对称的综合应用，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题关键．
28．D
【分析】根据角平分线的判定定理判断①，全等三角形的性质与判定证明（HL）判断②，根据等角对等边可得，根据三线合一可得，等量代换可得，进而根据平行线的判定可判断③，证明是等边三角形，可得，然后即可证明．
【详解】解：∵于R，于S，且满足，
∴是的角平分线，
∴①点P在的平分线上，正确；
②∵，于R，，
在与中，
，
∴（HL），
故②正确；
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵是等边三角形，是的角平分线，
∴，垂直平分，，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵于R，于S，，
∴，
故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
29．B
【分析】先根据AB=BC结合图2得出AB=，进而利用勾股定理得，，再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值为3，即AD•BD=3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
【详解】解：由图2知，AB+BC=，
∵AB=BC，
∴AB=，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AC=2AD，∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，①，
设点M到AC的距离为h,
∴，
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h=BD，
由图2知，△ADM的面积最大为3，
∴AD•BD=3，
∴AD•BD=6②，
①+2×②得，，
∴，
∴AD+BD=5（负值舍去），
故选：B
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB=和点M和点B重合时，△ADM的面积为3是解本题的关键．
30．15
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．
【详解】解：如图：中，，是边上的高．
∵，且，
∴，
在中，
，，
∴．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键．
31．6
【分析】关于的对称点，连接，，过作于，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案．
【详解】解：作关于的对称点，连接，，过作于，
，的面积为12，
，
关于的对称点，
，
，
当、、三点依次在同一直线上时，，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考了等腰三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识点的理解和掌握，得到是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
32．##96度
【分析】由平行线及角平分线可得是等腰三角形，即，由平行线的性质可得；根据可得出，由此可得，由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可得出结论、
【详解】解：平分，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，外角的性质等相关知识，解题的关键是根据条件得出三角形全等．
33．9
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质及等角对等边得出，则结论可得．
【详解】解：∵和的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解本题的关键．
34．32
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴∠，
∵AF平分，
∴，
∵，
∴，
解得，，即，
故答案为：32．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，一元一次方程的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
35．6
【分析】由平分，推出，得到，同理可证，推出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明．
36．(1)见解析
(2)75°
【分析】（1）根据直接证明△ABE≌△ACD；
（2）根据等腰直角三角形的性质以及三角形外角和求得，根据全等三角形的性质即可求解．
（1）
证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD．
（2）
在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°
∴∠ACB＝45°，
∵∠CBE＝30°
，
∵△ABE≌△ACD．
∴∠ADC＝∠BEA＝75°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和与三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
37．(1)70°
(2)∠AED＝2∠B，理由见解析
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠ADB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，求得∠ADF＝∠DAF＝20°，于是得到∠FDC的度数；
（2）根据平行线的判定定理得到EFBC，根据平行线的性质定理得到∠AEF＝∠B，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，由等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠DEF，于是得到结论．
（1）
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝20°，
∴∠FDC＝90°﹣20°＝70°；
（2）
∠AED＝2∠B，
理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EFBC，
∴∠AEF＝∠B，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，
∴∠AED＝2∠B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
38．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用ASA证明，即可得BC=BE，进而可得△CBE是等腰三角形，再利用等量代换即可得∠CBE=90°，即可求证结论．
（2）由（1）可得△ABC≌△DEB，进而可得AB=DE，AC=BD，即可求解．
【详解】（1）证明：在△ABC和△DEB中，
，
(ASA)，
∴BC=BE，
∴△CBE是等腰三角形，
又∵∠A= 90°，
∴∠1+∠ABC=90°，
∴∠2+∠ABC=90°，
∴∠CBE=90°，
∴△CBE是等腰直角三角形．
（2）由（1）可得△ABC≌△DEB，
∴AB=DE，AC=BD，
∴AD=BD+AB=AC+DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质及等腰三角形的判定是解题的关键．
39．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明，得出；
（2）根据得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵与是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
∴．
（2）解：是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据等边三角形的性质证明，是解题的关键．
40．(1)50
(2)①6；②14
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC＋BC，再代入数据进行计算即可得解；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，
∵AB＝8，△MBC的周长是14，
∴BC＝14﹣8＝6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
理由：∵PB＋PC＝PA＋PC，PA＋PC≥AC，
∴P与M重合时，PA＋PC＝AC，此时PB＋PC最小，
∴△PBC周长的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
41．(1)证明见解析；
(2)；
(3)1．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设 cm， cm，，，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据点C、D关于直线对称，得到垂直平分，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵点D为的中点，，
∴，
∴；
（2）解：设 cm， cm，，，
∵，点D为的中点，
∴，，
∵≌，
∴，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵点C、D关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴．