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2024-2025学年高中数学人教A版必修二第6章《平面向量》章末总结与练习(学生版+教师版)
展开这是一份2024-2025学年高中数学人教A版必修二第6章《平面向量》章末总结与练习(学生版+教师版),文件包含第6章平面向量章末综合教案教学设计教师版docx、第6章平面向量章末综合教案教学设计docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共25页, 欢迎下载使用。
《第六章 平面向量及其应用 》 章末总结 教学设计知识网络构建二、核心知识归纳1.五种常见的向量(1)单位向量:模为1的向量.(2)零向量:模为0的向量.(3)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量.(4)相等向量:模相等,方向相同的向量.(5)相反向量:模相等,方向相反的向量.2.两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.3.两个非零向量平行、垂直的等价条件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:(1)a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔x1y2-x2y1=0,(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.4.平面向量的三个性质(1)若a=(x,y),则|a|=eq \r(a·a)=eq \r(x2+y2).(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|eq \o(AB,\s\up6(→))|=eq \r((x2-x1)2+(y2-y1)2).(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(x1x2+y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)+yeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)+yeq \o\al(2,2))).5.投影向量向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θbb,其中θ为a与b的夹角.6.向量的运算律(1)交换律:a+b=b+a,a·b=b·a.(2)结合律:a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb,(a+b)·c=a·c+b·c.(4)重要公式:(a+b)·(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2a·b+b2.7.正弦定理与余弦定理三、典型例题 1.平面向量的线性运算及应用【例1】若D点在三角形ABC的边BC上,且eq \o(CD,\s\up6(→))=4eq \o(DB,\s\up6(→))=req \o(AB,\s\up6(→))+seq \o(AC,\s\up6(→)),则3r+s的值为( )A.eq \f(16,5) B.eq \f(12,5) C.eq \f(8,5) D.eq \f(4,5)解析 因为eq \o(CD,\s\up6(→))=4eq \o(DB,\s\up6(→))=req \o(AB,\s\up6(→))+seq \o(AC,\s\up6(→)),所以eq \o(CD,\s\up6(→))=eq \f(4,5)eq \o(CB,\s\up6(→))=eq \f(4,5)(eq \o(AB,\s\up6(→))-eq \o(AC,\s\up6(→)))=req \o(AB,\s\up6(→))+seq \o(AC,\s\up6(→)),所以r=eq \f(4,5),s=-eq \f(4,5),所以3r+s=eq \f(12,5)-eq \f(4,5)=eq \f(8,5).答案 C【类题通法】向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则:向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)求解策略:①向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧.②字符表示下线性运算的常用技巧:首尾相接用加法的三角形法则,如eq \o(AB,\s\up6(→))+eq \o(BC,\s\up6(→))=eq \o(AC,\s\up6(→));共起点两个向量作差用减法的几何意义,如eq \o(OB,\s\up6(→))-eq \o(OA,\s\up6(→))=eq \o(AB,\s\up6(→)).【巩固训练1】 如图所示,正方形ABCD中,M是BC的中点,若eq \o(AC,\s\up6(→))=λeq \o(AM,\s\up6(→))+μeq \o(BD,\s\up6(→)),则λ+μ等于( )A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C.eq \f(15,8) D.2解析 因为eq \o(AC,\s\up6(→))=λeq \o(AM,\s\up6(→))+μeq \o(BD,\s\up6(→)),=λ(eq \o(AB,\s\up6(→))+eq \o(BM,\s\up6(→)))+μ(eq \o(BA,\s\up6(→))+eq \o(AD,\s\up6(→)))=λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))+\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))+μ(-eq \o(AB,\s\up6(→))+eq \o(AD,\s\up6(→)))=(λ-μ)eq \o(AB,\s\up6(→))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)+μ))eq \o(AD,\s\up6(→)),且eq \o(AC,\s\up6(→))=eq \o(AB,\s\up6(→))+eq \o(AD,\s\up6(→)),所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ-μ=1,,\f(1,2)λ+μ=1,))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ=\f(4,3),,μ=\f(1,3),))所以λ+μ=eq \f(5,3),故选B.答案 B2.向量的数量积【例2】 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=eq \r(3)|a-kb|(k>0).(1)用k表示数量积a·b;(2)求a·b的最小值,并求出此时a与b的夹角θ的大小.解 (1)由|ka+b|=eq \r(3)|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.∵|a|=eq \r(cos2α+sin2α)=1,|b|=eq \r(cos2β+sin2β)=1,∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0,∴a·b=eq \f(2k2+2,8k)=eq \f(k2+1,4k)(k>0).(2)a·b=eq \f(k2+1,4k)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k+\f(1,k))).由对勾函数的单调性可知,f(k)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k+\f(1,k)))在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,∴当k=1时,f(k)min=f(1)=eq \f(1,4)×(1+1)=eq \f(1,2),此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(1,2),又∵0°≤θ≤180°,∴θ=60°.【类题通法】数量积运算是向量运算的核心,利用向量数量积可以解决以下问题:(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔x1y2-x2y1=0,a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(2)求向量的夹角和模的问题①设a=(x1,y1),则|a|=eq \r(xeq \o\al(2,1)+yeq \o\al(2,1)).②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π),cos θ=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(x1x2+y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)+yeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)+yeq \o\al(2,2))).【巩固训练2】 已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))的值为( )A.-eq \f(5,8) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(11,8)解析 ∵eq \o(BC,\s\up6(→))=eq \o(AC,\s\up6(→))-eq \o(AB,\s\up6(→)),eq \o(AF,\s\up6(→))=eq \o(AD,\s\up6(→))+eq \o(DF,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))+eq \f(3,2)eq \o(DE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→)),∴eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(AF,\s\up6(→))=(eq \o(AC,\s\up6(→))-eq \o(AB,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))+\f(3,4)\o(AC,\s\up6(→))))=eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→))2-eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))2-eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))=eq \f(3,4)×1×1-eq \f(1,2)×1×1-eq \f(1,4)×1×1×cos 60°=eq \f(1,8).答案 B3. 平面向量在几何中的应用【例3】 如图,半径为eq \r(3)的扇形AOB的圆心角为120°,点C在eq \o(AB,\s\up8(︵))上,且∠COB=30°,若eq \o(OC,\s\up6(→))=λeq \o(OA,\s\up6(→))+μeq \o(OB,\s\up6(→)),则λ+μ等于( )A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4\r(3),3) D.2eq \r(3)解析 由题意,得∠AOC=90°,故以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则O(0,0),A(0,eq \r(3)),C(eq \r(3),0),B(eq \r(3)cos 30°,-eq \r(3)sin 30°),因为eq \o(OC,\s\up6(→))=λeq \o(OA,\s\up6(→))+μeq \o(OB,\s\up6(→)),所以(eq \r(3),0)=λ(0,eq \r(3))+μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)×\f(\r(3),2),-\r(3)×\f(1,2))),即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)=μ×\r(3)×\f(\r(3),2),,0=\r(3)λ-\r(3)×\f(1,2)μ,))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ=\f(2\r(3),3),,λ=\f(\r(3),3),))所以λ+μ=eq \r(3).答案 A【类题通法】把几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.【巩固训练3】 在△ABC中,AB=AC,D为AB的中点,E为△ACD的重心,F为△ABC的外心,证明:EF⊥CD.证明 建立如图所示的平面直角坐标系.设A(0,b),B(-a,0),C(a,0),则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2),\f(b,2))),eq \o(CD,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)a,\f(b,2))).易知△ABC的外心F在y轴上,可设为(0,y).由|eq \o(AF,\s\up6(→))|=|eq \o(CF,\s\up6(→))|,得(y-b)2=(-a)2+y2,所以y=eq \f(b2-a2,2b),即Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(b2-a2,2b))).由重心坐标公式,得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6),\f(b,2))),所以eq \o(EF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,6),-\f(a2,2b))).所以eq \o(CD,\s\up6(→))·eq \o(EF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)a))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,6)))+eq \f(b,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a2,2b)))=0,所以eq \o(CD,\s\up6(→))⊥eq \o(EF,\s\up6(→)),即EF⊥CD.利用余弦、正弦定理解三角形【例4】 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=eq \r(3)acos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解 (1)由bsin A=eq \r(3)acos B及正弦定理eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B),得sin B=eq \r(3)cos B,所以tan B=eq \r(3),又0
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