46立体几何-尺子法速证平行练习- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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专题8.1 立体几何-尺子法速证平行我们证明线平行于面的时候，有时候不能快速去得出是用平行四边形还是中位线去证明线性平行。1.尺子法:用尺子将要证明平行于另外一个面的线段，平移到平面内得到另外一条线段。如果两条线段长相等，则用平行四边形法则证明。如果一个线段为另一个线段的一半，则用中位线法则证明。用直尺比划将PB平移至平面AEC内可知，OE即为目标线，OE 明显与PB长度不同，可知要运用中位线，非平行四边形。(尺子法)2.A字形法则:也是和刚刚一样的，将要证明的线段平移到目标平面内，如果得到一个A字形，就是用中位线法则证明。两个模型：中位线模型:连接第三边，找另一中点，构造中位线。D,E为中点(相同二等分点)→BC//D平行四边形模型:欲证AB//CD，先证ADBC【典例1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE．【典例2】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为D1D，D1C，AB的中点．（1）求证：D1B∥平面EAC；（2）求证：FG∥平面ADD1A1．【典例3】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求异面直线AC1与B1C所成的角．1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，AB＝2AD＝2CD＝8，P为棱SA上的一点，且AP＝2PS＝4．（1）证明：SC∥平面DPB；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．2．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，E为SD的中点．（1）证明：SB∥平面ACE；（2）若SA⊥平面ABCD，证明：SC⊥BD．3．如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA'＝4，点M、N分别为A'B和B'C'的中点．（1）求异面直线CN与AB所成角的余弦值；（2）证明：MN∥平面A'ACC'．4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面MBC1．（2）若△ABC是正三角形，AB＝2，BM＝MC1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．5．P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：（1）AE∥平面PCF；（2）平面PCF∥平面AEG．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为CC1的中点．（1）求证：BD1∥平面MAC；（2）求证：平面NBD1∥平面MAC．7．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证：（1）B1C1∥平面A1EF；（2）平面A1EF∥平面BCGH．8．如图所求，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点．（1）求证：PC∥平面BFD；（2）已知M点在PD上满足EC∥平面BFM，求的值．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．求证：PE∥平面BFG；10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC交BD于点O，E是PD上一点且PB∥平面ACE（1）证明：E为PD的中点；（2）在线段PA上是否存在点F，使得平面OEF∥平面PBC，若存在，请给出点F的位置，并证明，若不存在，请说明理由．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．13．如图所示，底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2，AC与BD相交于点O，E为PD中点．（1）求证：EO∥平面PBC；（2）PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；（2）求证：AB1∥平面BC1D．15．如图，在三棱柱BCF﹣ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．（1）求证：GH∥BF；（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求证：平面AMN∥平面EFDB．17．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．（1）求证：平面MNG∥平面ACD；（2）求S△MNG：S△ADC18．如图所示，在四棱锥C﹣ABED中，四边形ABED是平行四边形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC（2）H是线段BC的中点，证明：平面GFH∥平面ACD．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝AB＝4，BC＝3．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积；（2）设D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA＝PB＝AC＝BC＝4，，且∠APB＝60°，E、F分别为AP、AC的中点．（1）证明：PC∥平面EBF；（2）求异面直线PC与EB所成角的余弦值．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，P为A1B的中点，Q为B1C的中点，A1B⊥B1C．求证：（1）PQ∥平面A1B1C1；（2）BC＝CC1．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点．（1）求证：AC∥平面B1MN；（2）求证：平面ACP∥平面B1MN．23．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF＝EF．（1）证明：AF∥平面BDG；（2）证明：AB∥EF．24．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（1）求证：AF∥平面A1C1E；（2）求异面直线A1C与AF所成角的余弦值． 专题8.1 立体几何-尺子法速证平行我们证明线平行于面的时候，有时候不能快速去得出是用平行四边形还是中位线去证明线性平行。1.尺子法:用尺子将要证明平行于另外一个面的线段，平移到平面内得到另外一条线段。如果两条线段长相等，则用平行四边形法则证明。如果一个线段为另一个线段的一半，则用中位线法则证明。用直尺比划将PB平移至平面AEC内可知，OE即为目标线，OE 明显与PB长度不同，可知要运用中位线，非平行四边形。(尺子法)2.A字形法则:也是和刚刚一样的，将要证明的线段平移到目标平面内，如果得到一个A字形，就是用中位线法则证明。两个模型：中位线模型:连接第三边，找另一中点，构造中位线。D,E为中点(相同二等分点)→BC//D平行四边形模型:欲证AB//CD，先证ADBC【典例1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE．【答案】证明过程请看解答．【解答】证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．【典例2】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为D1D，D1C，AB的中点．（1）求证：D1B∥平面EAC；（2）求证：FG∥平面ADD1A1．【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解．【解答】证明：（1）连接BD交AC于O，连接EF，FG，OE，在正方体中，E，F，G分别为D1D，D1C，AB中点，可得OE∥BD1，而OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以D1B∥平面EAC；（2）因为FG∥CD，且EF＝CD，CD∥AB，CD＝AB，AG＝AB，所以EF＝GC，EF∥AG，所以四边形AGFE为平行四边形，所以AE∥FG，而AE⊂平面ADD1A，FG⊄平面ADD1A，所以FG∥平面ADD1A．【典例3】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求异面直线AC1与B1C所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】解：（1）证明：设C1B与B1C的交点为E，连接DE，因为ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，且BC＝AA1＝4，则四边形BCC1B1为正方形，所以E为BC1的中点，又D是AB的中点，所以DE∥AC1，又因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1，得证；（2）由（1）可知，DE∥AC1，所以∠CED为直线AC1与B1C所成的角（或其补角），在△CDE中，，，，由余弦定理可得，则，即异面直线AC1与B1C所成的角为．1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，AB＝2AD＝2CD＝8，P为棱SA上的一点，且AP＝2PS＝4．（1）证明：SC∥平面DPB；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】解：（1）连接AC交DB于点O，连接OP．在底面ABCD中，∵AB∥CD，AB＝2CD，△ABO∽△CDO，∴，∵AP＝2PS，即，∴在△CAS中，，∴OP∥CS，∵OP⊂平面DPB，SC⊄平面DPB，∴SC∥平面DPB．（2）取CD的中点H，连接AH，由∠CDA＝60°，AD＝CD，得△ADC为等边三角形，∴AH⊥CD．在等边△ADC中，AD＝CD＝AC＝4，∴．∴．2．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，E为SD的中点．（1）证明：SB∥平面ACE；（2）若SA⊥平面ABCD，证明：SC⊥BD．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，连接OE，因为底面ABCD是正方形，所以点O是BD的中点，又E为SD的中点，所以OE∥SB，因为OE⊂平面ACE，SB⊄平面ACE，所以SB∥平面ACE．（2）因为SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以SA⊥BD，因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又SA∩AC＝A，SA、AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC，因为SC⊂平面SAC，所以SC⊥BD．3．如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA'＝4，点M、N分别为A'B和B'C'的中点．（1）求异面直线CN与AB所成角的余弦值；（2）证明：MN∥平面A'ACC'．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，作BD∥AC，且BD＝AC，连接CD，作DD'∥BB'，且DD'＝BB'，连接BD'，D'C'，则得到长方体ABCD﹣A'B'C'D'，底面ABCD为边长为2的正方形，对角线长．（1）AB∥CD，则∠NCD为异面直线CN与AB所成角，AB＝AC＝2，AA'＝4，则CD＝2，RT△NOD中，ND＝＝，又ND＝NC＝，cos∠NCD＝＝；（2）证明：在正方形A'B'C'D'中，N为B'C'的中点，也为A'D'的中点，又M为A'B的中点，则MN∥BD'，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，BD'∥AC'，∴MN∥AC'，MN⊄平面A'ACC'，AC'⊂平面A'ACC'，∴MN∥平面A'ACC'．4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面MBC1．（2）若△ABC是正三角形，AB＝2，BM＝MC1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，则O是B1C的中点．因为M是AC的中点，所以MO∥AB1．又MO⊂平面MBC1，AB1⊄平面MBC1，所以AB1∥平面MBC1（2）解：因为△ABC为正三角形，M是AC的中点，所以BM⊥AC．因为AB＝2，所以．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，则CC1⊥AC，因为BM＝MC1，所以，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为．5．P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：（1）AE∥平面PCF；（2）平面PCF∥平面AEG．【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解．【解答】证明：（1）取PC中点H，分别连接EH，FH，如图所示：因为E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，所以EH∥CD，EH＝DC＝AF＝GC，所以四边形EAFH为平行四边形，所以EA∥FH，又AE⊄平面PCF，FH⊂平面PCF，所以AE∥平面PCF；（2）因为E，G分别为PD，CD的中点，所以EG∥PC，又EG⊄平面PCF，PC⊂平面PCF，所以EG∥平面PCF，由（1）知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E，所以平面PCF∥平面AEG．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为CC1的中点．（1）求证：BD1∥平面MAC；（2）求证：平面NBD1∥平面MAC．【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于O，连接MO，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，所以O为BD中点，因为M为DD1的中点，所以MO∥BD1，因为MO⊂平面MAC，BD1⊄平面MAC，所以BD1∥平面MAC；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥DD1，CC1＝DD1，因为M为DD1的中点，N为CC1的中点，所以CN∥MD1，CN＝MD1，所以四边形NCMD1为平行四边形，从而MC∥D1N，因为MC⊂平面MAC，D1N⊄平面MAC，所以D1N∥平面MAC，由（1）可知：BD1∥平面MAC，因为D1N⊂平面NBD1，BD1⊂平面NBD1，且BD1∩D1N＝D1，所以平面NBD1∥平面MAC．7．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证：（1）B1C1∥平面A1EF；（2）平面A1EF∥平面BCGH．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【解答】证明：（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵B1C1∥BC，∴B1C1∥EF，∵EF⊂平面A1EF，B1C1⊄平面A1EF，∴B1C1∥平面A1EF．（2）由（1）知BC∥EF，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，∴CF∥A1G，且CF＝A1G，∴四边形A1GCF是平行四边形，∴A1F∥CG，∵BC∩CG＝G，A1F∩EF＝F，A1F、EF⊂平面A1EF，BC、CG⊂平面BCHG，∴平面A1EF∥平面BCHG．8．如图所求，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点．（1）求证：PC∥平面BFD；（2）已知M点在PD上满足EC∥平面BFM，求的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连结AC交BD于O，连结OF，∵在△PAC中，F为PA中点，O为AC中点，∴OF是△PAC的中位线，∴PC∥FO，又∵PC⊄平面BFD，FO⊂平面BFD，∴PC∥平面BFD．（2）解：如图连结FM交AD延长线于G，连结BG交CD于N连结EF，FN，PG，∵EF∥CN，EFNC共面，EC∥平面BFM，平面BFM∩平面EFNC＝FN，∴EC∥FN，∴四边形EFNC为平行四边形，∴，∴N为CD中点，D为AG中点，∴，即＝2．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．求证：PE∥平面BFG；【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接DE，∵ABCD是正方形，E，F分别是棱BC，AD的中点，∴DF＝BE，DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF，∵G是PA的中点，∴FG∥PD，又PD，DE⊄平面BFG，且FG，BF⊂平面BFG，∴PD∥平面BFG，DE∥平面BFG，∵PD∩DE＝D，直线PD，DE在平面PDE内，∴平面PDE∥平面BFG，又PE⊂平面PDE，∴PE∥平面BFG；10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC交BD于点O，E是PD上一点且PB∥平面ACE（1）证明：E为PD的中点；（2）在线段PA上是否存在点F，使得平面OEF∥平面PBC，若存在，请给出点F的位置，并证明，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，F为PA中点．【解答】证明：（1）连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE，因为PB∥平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC＝EO，所以PB∥EO，又底面ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，所以E为PD的中点．（2）存在，F为PA中点时，平面OEF∥平面PBC，因为F为PA中点，E为PD的中点，所以EF∥AD，由于BC∥AD，所以EF∥BC，由于EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，取AB中点M，连接MF，FO，则OM∥AD，且OM＝AD，由于EF∥AD，且EF＝AD，则EFOM为平行四边形，则EO∥FM∥PB，EO⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，则OE∥平面PBC，由于OE∩EF＝E，OE，EF⊂平面OEF，所以平面OEF∥平面PBC．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解答】证明：（1）连接SB，如图所示：∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB，又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1；（2）连接SD，如图所示：∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD，又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，由（1）得EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）连结BD，AC，设AC∩BD＝O，连结NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC．（2）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN．∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB的中点，∴M是PC的中点．13．如图所示，底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2，AC与BD相交于点O，E为PD中点．（1）求证：EO∥平面PBC；（2）PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见详解；（2）存在PA的中点F满足条件．【解答】解：（1）证明：由底面为正方形的四棱锥可得O为BD的中点，再由E为PD的中点，可得OE为△PBD的中位线，所以OE∥PB，而OE⊄面PBC，PB⊂面PBC，所以可证得OE∥面PBC；（2）存在PA的中点F，使得平面OEF∥平面PBC；因为E，F为中点，所以EF∥AD，因为AD∥BC，所以EF∥BC，EF⊄面PBC，BC⊂面PBC，所以EF∥面PBC，再由（1）及EF∩OE＝E，所以可证得面OEF∥面PBC．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；（2）求证：AB1∥平面BC1D．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为侧棱AA1⊥底面ABC，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以侧面BCC1B1，BAA1B1，CAA1C1均为矩形，因为AB⊥BC，所以底面ABC，A1B1C1均为直角三角形，因为AA1＝AB＝2，BC＝3，所以，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为＝＝；（2）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，因为四边形BCC1B1为矩形，所以O为B1C的中点，因为D为AC的中点，所以OD∥AB1，因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D，得证．15．如图，在三棱柱BCF﹣ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．（1）求证：GH∥BF；（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）在CD上存在点P，使得平面GHP∥平面BCF，P点为CD的中点，证明见解析．【解答】解：（1）证明：连接DB，则G为DB的中点，且H为DF的中点，∴GH为△DBF的中位线，∴GH∥BF；（2）在CD上存在点P使得平面GHP∥平面BCF，P为CD的中点，证明如下：取CD的中点P，连接HP，GP，且H为DF的中点，∴HP∥FC，且HP⊄平面BCF，FC⊂平面BCF，∴HP∥平面BCF，同理，GP∥平面BCF，且HP∩GP＝P，HP⊂平面GHP，GP⊂平面GHP，∴平面GHP∥平面BCF．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求证：平面AMN∥平面EFDB．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．【解答】证明：（1）连接B1D1，由题意可得：E，F分别为B1C1，C1D1的中点，则EF∥B1D1，∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，则BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1，则EF∥BD，故E、F、B、D共面．（2）由题意可得：M，N分别为A1B1，A1D1的中点，则MN∥B1D1，∵EF∥B1D1，则MN∥EF，且MN⊂平面AMN，EF⊄平面AMN，∴EF∥平面AMN，连接NE，由题意可得：N，E分别为A1D1，B1C1的中点，则NE∥A1B1，NE＝A1B1，∵A1B1∥AB，A1B1＝AB，则NE∥AB，NE＝AB，即ABNE为平行四边形，∴AN∥BE，AN⊂平面AMN，BE⊄平面AMN，∴BE∥平面AMN，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面EFDB，故平面AMN∥平面EFDB．17．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．（1）求证：平面MNG∥平面ACD；（2）求S△MNG：S△ADC【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H；∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有＝＝＝，且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．连接PF，FH，PH，有MN∥PF．又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD．同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD．（2）解：由（1）可知＝＝，∴MG＝PH．又PH＝AD，∴MG＝AD；同理NG＝AC，MN＝CD．∴△MNG∽△ACD，其相似比为1：3；∴S△MNG：S△ACD＝1：9．18．如图所示，在四棱锥C﹣ABED中，四边形ABED是平行四边形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC（2）H是线段BC的中点，证明：平面GFH∥平面ACD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解答】证明：（1）四边形ABED是平行四边形可知，连接AE必与BD相交于中点F，故GF∥AC，∵GF⊄面ABC，AC⊂面ABC，∴GF∥面ABC；（2）由点G，H分别为CE，CB中点可得：GH∥EB∥AD，∵GH⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴GH∥面ACD，∵GF∥AC，GF⊄面ACD，AC⊂面ACD，∴GF∥面ACD，∵GH∩GF＝G，GH，GF⊂平面GFH，故平面GFH∥平面ACD．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝AB＝4，BC＝3．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积；（2）设D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D．【答案】（1）48；（2）证明见解答．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以侧面BCC1B1，BAA1B1，CAA1C1均为矩形，又AB⊥BC，所以△ABC，△A1B1C1均为直角三角形，又AA1＝AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为（AB+BC+AC）•AA1＝（3+4+5）×4＝48．所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为48．（2）连接B1C，设B1C∩BC1＝O，连接OD，∵四边形BCC1B1为矩形，∴O为B1C的中点，∵D为AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA＝PB＝AC＝BC＝4，，且∠APB＝60°，E、F分别为AP、AC的中点．（1）证明：PC∥平面EBF；（2）求异面直线PC与EB所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解答．（2）．【解答】（1）证明：取BC的中点Q，连接NQ，MQ，因为M，Q分别为PB，BC的中点，所以MQ∥PC，因为E，F分别为AP，AC的中点，所以EF∥PC，所以MQ∥EF，MQ⊄平面EBF，EF⊂平面EBF，所以MQ∥平面EBF，因为N，Q分别为FC，BC的中点，所以NQ∥FB，NQ⊄平面EBF，FB⊂平面EBF，所以NQ∥平面EBF，因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面EBF．因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面EBF．（2）解：因为EF∥PC，所以∠FEB（或其补角）即异面直线PC与EB所成的角，因为PA＝PB＝AC＝BC＝4，且∠APB＝60°，所以△ABC，△ABP均为等边三角形，，根据余弦定理可得，所以异面直线PC与EB所成角的余弦值为．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，P为A1B的中点，Q为B1C的中点，A1B⊥B1C．求证：（1）PQ∥平面A1B1C1；（2）BC＝CC1．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解答】解：（1）连接BC1，如图，因为四边形BCC1B1为平行四边形，所以Q为BC1的中点，又P为A1B的中点，所以在△A1BC1中，PQ∥A1C1，因为PQ⊄平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，所以PQ∥平面A1B1C1．（2）因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，又AC⊥C1C，且BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1B1，C1C⊂平面BCC1B1，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC∥A1C1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，因为B1C⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，又A1B⊥B1C，A1B∩A1C1＝A1，A1B⊂平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以B1C⊥平面A1BC1，因为BC1⊂平面A1BC1，所以B1C⊥BC1，则四边形BCC1B1为菱形，所以BC＝CC1．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点．（1）求证：AC∥平面B1MN；（2）求证：平面ACP∥平面B1MN．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【解答】（1）证明：因为MN⊂平面B1MN，MN∥AC，所以AC∥平面B1MN，（2）证明：因为B1P＝CN，B1P∥CN，所以四边形B1PCN是平行四边形，所以CP∥B1N，又因为B1N⊂平面B1MN，所以CP∥平面B1MN，又因为AC∥平面B1MN，AC∩CP＝C，所以平面ACP∥平面B1MN．23．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF＝EF．（1）证明：AF∥平面BDG；（2）证明：AB∥EF．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．【解答】证明：（1）连接AC交BD于O，连接OG，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分，又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以AF∥OG，因为OG⊂面BDG，AF⊄面BDG，所以AF∥平面BDG；（2）因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，因为CD⊂面CDEF，AB⊄面CDEF，所以AB∥平面CDEF．因为AB⊂面ABEF，面CDEF∩面ABEF＝EF．所以AB∥EF．24．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（1）求证：AF∥平面A1C1E；（2）求异面直线A1C与AF所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解答；（2）．【解答】（1）证明：取CC1的中点为G，连接BG，FG，由AB∥CD，CD∥FG，可得AB∥FG，又AB＝CD，CD＝GF，可得AB＝GF，即有四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG．又BE＝GC1，BE∥GC1，可得四边形BGC1E为平行四边形，即有BG∥C1E，则AF∥C1E，又AF⊄面A1C1E，C1E⊂面A1C1E，则AF∥平面A1C1E；（2）取A1C1中点为O，连接OG，OB，∵O，G分别为A1C1，CC1的中点，∴OG∥A1C，由（1）知BG∥AF，∴∠BGO为异面直线AF与A1C所成的角或其补角，设正方体的棱长为2a，则，，，，∴异面直线AF与A1C所成角的余弦值为．