人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数综合训练题，共11页。试卷主要包含了目标认知，知识要点梳理，规律方法指导，换底公式的运用，对数运算法则的应用，函数的定义域，函数图象问题，对数函数的单调性及其应用等内容，欢迎下载使用。

经典例题透析
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
思路点拨：运用对数的定义进行互化.
解：(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6).
总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：(1)；
(2)；
(3)10x=100=102，于是x=2；
(4)由.
类型二、利用对数恒等式化简求值
2．求值：
解：.
总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
举一反三：
【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
解：.
类型三、积、商、幂的对数
3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解：(1)原式=lg32=2lg3=2b
(2)原式=lg26=6lg2=6a
(3)原式=lg2+lg3=a+b
(4)原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a
(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
举一反三：
【变式1】求值
(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解：(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.
解：由3a=c得：
同理可得
.
【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.
证明：
.
【变式4】已知：a2+b2=7ab，a＞0，b＞0. 求证：.
证明：∵ a2+b2=7ab， ∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， ∴ lg(a+b)2=lg(9ab)，
∵ a＞0，b＞0， ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
即 .
类型四、换底公式的运用
4.(1)已知lgxy=a， 用a表示；
(2)已知lgax=m， lgbx=n， lgcx=p， 求lgabcx.
解：(1)原式=；
(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.
方法一：am=x， bn=x， cp=x
∴，
∴ ；
方法二：.
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2)；(3).
解：(1)
；
(2)；
(3)法一：
法二：.
总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.
类型五、对数运算法则的应用
5.求值
(1) lg89·lg2732
(2)
(3)
(4)(lg2125+lg425+lg85)(lg1258+lg254+lg52)
解：(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(lg2125+lg425+lg85)(lg1258+lg254+lg52)

举一反三：
【变式1】求值：
解：
另解：设 =m (m＞0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.
【变式2】已知：lg23=a， lg37=b，求：lg4256=?
解：∵ ∴，

类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
6. 求下列函数的定义域：
(1)； (2).
思路点拨：由对数函数的定义知：x2＞0，4-x＞0，解出不等式就可求出定义域.
解：(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数；
(2)因为4-x＞0，即x＜4，所以函数.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).
解：(1)因为， 所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2).
(2)因为 ax-k·2x＞0， 所以()x＞k.
[1]当k≤0时，定义域为R；
[2]当k＞0时，
(i)若a＞2，则函数定义域为(k，+∞)；
(ii)若0＜a＜2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；
(iii)若a=2，则当0＜k＜1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，
否则定义域为.
【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(lg2x)的定义域.
思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤lg2x≤2得y=f(lg2x)的定义域为[，4].
类型七、函数图象问题
7．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.
解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).

类型八、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
8. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)lg23.4，lg28.5
(2)lg，lg2.7
(3)lga5.1，lga5.9(a＞0且a≠1)
思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数y=lg2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，
所以，lg23.4＜lg28.5；
解法2：由函数y=lg2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以lg23.4＜lg28.5；
解法3：直接用计算器计算得：lg2≈1.8，lg2≈3.1，所以lg23.4＜lg28.5；
(2)与第(1)小题类似，lgx在R+上是单调减函数，且1.8＜2.7，所以lg1.8＞lg2.7；
(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当a＞1时，y=lgax在(0，+∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以，lga5.1＜lga5.9
当0＜a＜1时，y=lgax在(0，+∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以，lga5.1＞lga5.9
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
令b1=lga5.1，则，令b2=lga5.9，则
当a＞1时，y=ax在R上是增函数，且5.1＜5.9
所以，b1＜b2，即
当0＜a＜1时，y=ax在R上是减函数，且5.1＜5.9
所以，b1＞b2，即.
举一反三：
【变式1】若lgm3.5＞lgn3.5(m，n＞0， 且m≠1， n≠1)，试比较m ，n的大小.
解：(1)当m＞1， n＞1时，∵3.5＞1，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数，
底数大的对数值小，∴n＞m＞1.
(2)当m＞1，0＜n＜1时，∵lgm3.5＞0， lgn3.5＜0，∴ 0＜n＜1＜m也是符合题意的解.
(3)当0＜m＜1，0＜n＜1时，∵3.5＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，
故0＜m＜n＜1.
综上所述，m，n的大小关系有三种：1＜m＜n或0＜n＜1＜m或0＜m＜n＜1.
9. 证明函数上是增函数.
思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.
证明：设，且x1＜x2
则

又∵y=lg2x在上是增函数

即f(x1)＜f(x2)
∴函数f(x)=lg2(x2+1)在上是增函数.
举一反三：
【变式1】已知f(lgax)=(a＞0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.
解：设t=lgax(x∈R+， t∈R).当a＞1时，t=lgax为增函数，若t1＜t2，则0＜x1＜x2，
∴ f(t1)-f(t2)=，
∵ 0＜x1＜x2， a＞1， ∴ f(t1)＜f(t2)，∴ f(t)在R上为增函数，
当0＜a＜1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴ 不论a＞1或0＜a＜1， f(x)在R上总是增函数.
10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.
解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=t为减函数，且0＜t≤4，
∴ y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.
再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3＞0，即-1＜x＜3.
∴ t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.
∴ 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.
类型九、函数的奇偶性
11. 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2).
(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
解：由
所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)解：由
所以函数的定义域为R关于原点对称
又

即f(-x)=-f(x)；所以函数.
总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型十、对数函数性质的综合应用
12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，这是不等式中的常规问题.
f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.

解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，
当a=0时，此不等式变为2x+1＞0，其解集不是R；
当a≠0时，有 a＞1.∴ a的取值范围为a＞1.
(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0≤a≤1，
∴ a的取值范围为0≤a≤1.
13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a＞1)，记ΔABC的面积为S.
(1)求S=f(a)的表达式；
(2)求函数f(a)的值域；
(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；
(4)若S＞2，求a的取值范围.
解：(1)依题意有g(x)=lg2x(x＞0).
并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， lg2a)， B(a+4， lg2(a+4))， C(a+8， lg2(a+8)) (a＞1)，如图.
∴A，C中点D的纵坐标为〔lg2a+lg2(a+8)〕
∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4lg2(a+4)-2lg2a-2lg2(a+8).
(2)把S=f(a)变形得：
S=f(a)=2〔2lg2(a+4)-lg2a-lg2(a+8)〕=2lg2=2lg2(1+).
由于a＞1时，a2+8a＞9， ∴1＜1+＜，又函数y=lg2x在(0，+∞)上是增函数，
∴ 0＜2lg2(1+)＜2lg2，即0＜S＜2lg2.
(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1＜a1＜a2＜+∞，则：
(1+)-(1+)=16()=16·，
由a1＞1，a2＞1，且a2＞a1，∴ a1+a2+8＞0， +8a2＞0， +8a1＞0， a1-a2＜0，
∴ 1＜1+＜1+，再由函数y=lg2x在(0，+∞)上是增函数，
于是可得f(a1)＞f(a2)
∴ S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.
(4)由S＞2，即得，解之可得：1＜a＜4-4.