初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形同步达标检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形同步达标检测题，共27页。试卷主要包含了5全等三角形的性质与判定等内容，欢迎下载使用。
【名师点睛】
【典例剖析】
【例1】（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．
【变式】（2022•宿城区校级开学）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ABD≌△BAC；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
【例2】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
【变式】（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（ ）
A．1B．2C．3D．5
2．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE若∠ADE＝38°，则∠ADB的度数是（ ）
A．68°B．69°C．71°D．72°
3．（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（ ）
A．155°B．125°C．135°D．145°
4．（2022春•济南期中）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（ ）
A．∠B＝∠ADCB．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180°D．∠B+∠ADC＝90°
5．（2021秋•桐柏县期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（ ）
A．a+b﹣cB．b+c﹣aC．a+c﹣bD．a﹣b
6．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（ ）
A．75°B．80°C．65°D．95°
7．（2021春•涿鹿县期中）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CAB＝∠DBA，若AC＝3，AD＝4，则AB是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2020秋•射阳县期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HLB．SSSC．SASD．ASA
9．（2019秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，且AD⊥BD，点E、F是AD上的任意两点，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24B．18C．12D．9
10．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•武进区期中）已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件 ，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．
12．（2021秋•泰州月考）如图，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是 （只添一个条件即可）．
13．（2011春•太仓市期末）如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为 ．（注：把你认为正确的答案序号都填上）
14．（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以2cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
15．（2019秋•江阴市期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为 ．
16．（2018秋•邗江区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是 ．
三．解答题（共4小题）
17．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．
18．（2022•工业园区模拟）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求证：∠D＝∠E．
19．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E．
（1）求证：△BDO≌△CEO；
（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的长．
20．（2022•宜兴市校级二模）已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AD＝5，CE＝2，求△ABC的面积．
【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题1.5全等三角形的性质与判定（重难点培优）
【名师点睛】
【典例剖析】
【例1】（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AD⊥BD，AE⊥EC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝140°，
∴∠OBC＝∠OBC＝20°．
【变式】（2022•宿城区校级开学）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ABD≌△BAC；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
【分析】（1）由∠C＝∠D＝90°可知△ABD和△BAC都是直角三角形，因为AB＝BA，AD＝BC，所以根据“HL”可以判定Rt△ABD≌Rt△BAC；
（2）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出∠BAC的度数，再根据全等三角形的对应角相等求出∠BAD的度数，则由∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD即可求出∠CAO的度数．
【解答】（1）证明：如图，∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
即△ABD≌△BAC；
（2）解：∵∠C＝90°，∠ABC＝35°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°，
∵∠BAD＝∠ABC＝35°，
∴∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°，
∴∠CAO的度数为20°．
【例2】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；
（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，
∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，
，
∴△ACO≌△DEO（AAS），
∴EO＝CO，
∴点O为BF的中点．
【变式】（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．
【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，
∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠ECA＝∠BAD，
在△BAD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD＝3，
∵DE＝AD+AE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．
∴CE＝7．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．
【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE与△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵CF＝3，
∴AD＝CF＝3，
又∵AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故选：B．
2．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE若∠ADE＝38°，则∠ADB的度数是（ ）
A．68°B．69°C．71°D．72°
【分析】先证明△BDE≌△BDC（SAS），可得∠BDE＝∠BDC，根据∠ADB+∠CDB＝180°，即可求出∠ADB的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△BDE和△BDC中，
，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴∠BDE＝∠BDC，
∵∠ADE＝38°，
∴∠BDC＝∠ADB+38°，
∴∠ADB+∠ADB+38°＝180°，
∴∠ADB＝71°，
故选：C．
3．（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（ ）
A．155°B．125°C．135°D．145°
【分析】利用AAS证明△ACD≌△AEB即可得出答案．
【解答】解：在△ACD和△AEB中，
，
∴△ACD≌△AEB（AAS），
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠CDE＝55°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ABE＝∠ADC＝125°，
故选：B．
4．（2022春•济南期中）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（ ）
A．∠B＝∠ADCB．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180°D．∠B+∠ADC＝90°
【分析】在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC＝EC，∠B＝∠AEC，可求得CD＝CE，得∠CDE＝∠CED，证得∠B＝∠CDE，即可得出结果．
【解答】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：
∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°．
故选：C．
5．（2021秋•桐柏县期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（ ）
A．a+b﹣cB．b+c﹣aC．a+c﹣bD．a﹣b
【分析】由题意可证△ABF≌△CDE（AAS），可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，可求EF的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，
∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，
∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，
故选：B．
6．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（ ）
A．75°B．80°C．65°D．95°
【分析】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形内角和为180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和即可得证．
【解答】解：∵∠B＝∠C，∠A＝50°
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°，
∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°
∴∠FDB＝85°
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE＝30°，
又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，
∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．
故选：C．
7．（2021春•涿鹿县期中）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CAB＝∠DBA，若AC＝3，AD＝4，则AB是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】证明△DAB≌△CBA（AAS），由全等三角形的性质得出AC＝BD，根据勾股定理可求出答案．
【解答】解：在△DAB和△CBA，
，
∴△DAB≌△CBA（AAS），
∴AC＝BD，
∵AC＝3，AD＝4，
∴BD＝3，
∴AB＝＝＝5．
故选：C．
8．（2020秋•射阳县期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HLB．SSSC．SASD．ASA
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON，
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故选：B．
9．（2019秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，且AD⊥BD，点E、F是AD上的任意两点，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【分析】利用SSS证明△ADC≌△ADB，可得△ABD的面积＝△ACD的面积，通过拼接可得阴影部分的面积＝△ABD的面积，再利用三角形的面积公式可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD＝BC＝4，
∴AD是BC的中垂线，
∴BE＝CE，BF＝CF，
在△BEF和△CEF中，
∴△BEF≌△CEF（SSS），
∴S△BEF＝S△CEF，
∴S阴影＝S△ADB＝×CD×AD＝12，
故选：C．
10．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据等腰三角形三线合一的性质即可作出判断；②由于F在AE上，不一定是AE的中点，故无法作出判断；③无法证明∠1＝∠2；④根据等量关系即可作出判断．
【解答】解：①∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③无法证明∠1＝∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵AB＝CE，
∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④，共两个．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•武进区期中）已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件 AC＝BD ，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．
【分析】根据SAS的判定方法可得出答案．
【解答】解：补充条件AC＝BD．
理由：在△ABC和△BAD中，
，
△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：AC＝BD．
12．（2021秋•泰州月考）如图，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是 CD＝BD （只添一个条件即可）．
【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加DB＝DC，利用SAS判定其全等．
【解答】解：需添加的一个条件是：CD＝BD，
理由：∵∠1＝∠2，
∴∠ADC＝∠ADB，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故答案为：CD＝BD．
13．（2011春•太仓市期末）如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为 ①、③、④ ．（注：把你认为正确的答案序号都填上）
【分析】由∠CAE＝∠DAB，得∠CAB＝∠DAE；则△CAB和△DAE中，已知的条件有：∠CAB＝∠DAE，CA＝AD；要判定两三角形全等，只需添加一组对应角相等或AE＝AB即可．
【解答】解：∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠CAE+∠EAB＝∠DAB+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE；
又AC＝AD；
所以要判定△ABC≌△AED，需添加的条件为：
①AB＝AE（SAS）；③∠C＝∠D（ASA）；④∠B＝∠E（AAS）．
故填①、③、④．
14．（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以2cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 0或2或4或6 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【解答】解：∵CA⊥BC，BM⊥BQ，
∴∠ACB＝∠PBN＝90°，
①当P在线段BC上，AC＝BP时，Rt△ACB≌Rt△PBN（HL），
∴BP＝AC＝2cm，
∴CP＝BC﹣BP＝4（cm），
∴点P的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，Rt△ACB≌Rt△NBP（HL），
∴PB＝BC＝6cm，
∴CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，Rt△ACB≌Rt△PBN（HL），
∴BP＝AC＝2cm，
∴CP＝BC+BP＝8（cm），
∴点P的运动时间为8÷2＝4（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，Rt△ACB≌Rt△NBP（HL），
∴BP＝BC＝6cm，
∴CP＝BC+BP＝12（cm），
点P的运动时间为12÷2＝6（秒），
故答案为：0或2或4或6．
15．（2019秋•江阴市期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为 （1）（2）（3） ．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，
∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，
故答案为：（1）（2）（3）
16．（2018秋•邗江区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是 ①②③④ ．
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确；
故答案为：①②③④
三．解答题（共4小题）
17．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．
【分析】（1）根据线段中点求出AF＝CF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACE，根据平行线的判定得出AB∥CE，根据平行四边形的判定定理得出四边形BCED是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出即可．
【解答】（1）证明：∵F为AC的中点，
∴AF＝CF，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
（2）解：∵△ADF≌△CEF，
∴∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∵DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE，
∵DE＝4，
∴BC＝4．
18．（2022•工业园区模拟）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求证：∠D＝∠E．
【分析】先证∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠D＝∠E．
19．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E．
（1）求证：△BDO≌△CEO；
（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的长．
【分析】（1）根据已知条件，可证△BDO≌△CEO（AAS）；
（2）根据全等三角形的性质可得BD＝CE，进一步可得AE的长．
【解答】（1）证明：∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
∵BD∥AC，
∴∠C＝∠OBD，∠CEO＝∠BDO，
在△BDO和△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS）；
（2）解：∵△BDO≌△CEO，
∴BD＝CE，
∵BD＝4，
∴CE＝4，
∵AC＝6，
∴AE＝6﹣4＝2．
20．（2022•宜兴市校级二模）已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AD＝5，CE＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）易证BD＝CD，∠BFD＝∠CED＝90°，再由AAS即可证得△BDF≌△CDE；
（2）由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵D是BC边中点，
∴BD＝CD，
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）；
（2）解：由（1）得：△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AD•BF+AD•CE＝AD•CE＝5×2＝10．