专题12.28 添加辅助线构造三角形全等-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题12.28 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（方法梳理与方法分类讲解）第一部分【知识点归纳】几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形全等的方法。【方法1】连接两点构造全等 【方法2】作垂直构造全等； 【方法3】作平行线构造全等； 【方法4】延长相交补全图形构造全等； 【方法5】构造双垂直等角全等； 【方法6】倍长中线构造全等； 【方法7】截长补短构造全等； 【方法8】旋转构造全等； 【方法9】连接两点构造全等拓展； 【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展；【方法11】作平行线构造全等拓展； 【方法12】构造双垂直等角全等拓展；【方法13】延长相交构造全等拓展； 【方法14】截长补短构造全等拓展.第二部分【题型梳理与方法点拨】【方法1】连接两点构造全等；【例1】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）已知，，求证：．【变式1】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在四边形中，，于点，且．若，则（　　）A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ．【方法2】作垂直构造全等；【例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图．(1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分(2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　）A．4 B．5 C．8 D．16【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ．【方法3】作平行线构造全等【例2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．  (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）；(2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想．【变式1】（21-22八年级上·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【变式2】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．求让：【方法4】延长相交补全图形构造全等；【例4】（22-23八年级上·云南红河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．(1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标；(2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系；(3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由．【变式1】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，已知，平分，且，为上一点，，，则 ．【方法5】构造双垂直等角；【例5】D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F．（1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF．（2）若AB=2，求四边形DECF的面积．【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ）A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ．【方法6】倍长中线构造全等；【例6】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：(1)求证：和是兄弟三角形．(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．①请在图中通过作辅助线构造，并证明．②求证：．【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．  A． B．C． D．【变式2】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．【方法7】截长补短构造全等；【例7】（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践问题提出如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由．方法运用  （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程．（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数．【变式1】（19-20八年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定【变式2】（20-21七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ．【方法8】旋转构造全等；【例8】（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）【变式1】（21-22九年级上·湖北·阶段练习）如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则 ．【变式2】（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ）A． B．15 C． D．20【方法9】连接两点构造全等拓展； 【例9】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．  （1）如图1，求证BD=AE；（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长．【变式1】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【变式2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ．【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展；【例10】（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在轴正半轴上，点，点在第二象限，，．  (1)求的值；(2)当时．①求三角形的面积；②在坐标平面内是否存在点（不与点重合），使与全等？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】如图，AOOM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 (      )A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化【变式2】（22-23八年级上·湖北宜昌·期中）如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ．【方法11】作平行线构造全等拓展； 【例11】（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，点Q在x轴的负半轴上，且分别以、为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ．【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）．A．2 B． C． D．1【变式2】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝ ．【方法12】构造双垂直等角全等拓展；【例12】在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度；(2)设，．①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．【变式1】 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为 ．【变式2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【方法13】延长相交构造全等拓展；【例13】（20-21八年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是 °．（用含x的式子表示） 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（　　）A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤【变式2】如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【方法14】截长补短构造全等拓展.【例14】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．  (1)【观察发现】如图①，与的数量关系是 ；(2)【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；(3)【深入思考】如图②，若E为中点，探索与的数量关系．【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：．