初中数学人教版八年级上册14.3.2 公式法第2课时教案

这是一份初中数学人教版八年级上册14.3.2 公式法第2课时教案，共5页。教案主要包含了阅读与思考，复习导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。


解题大招一 完全平方式概念的分类讨论的解法
完全平方式的特点：首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，所以根据中间项的符号可以是“＋”号，也可以是“－”号分类讨论即可．
例1 若关于x的多项式9x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则常数k的值为±12.
解析：因为9x2＝(3x)2，4y2＝(2y)2，
所以－kxy＝±2×3x×2y＝±12xy，所以k＝±12.
解题大招二 利用完全平方公式分解因式
例2 分解因式：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2.
分析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式x2－8x＋16用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
解题大招三 利用因式分解进行简便运算
要将计算的式子“凑”成完全平方式，再利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．
例3 利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162; (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)342＋34×32＋162＝342＋2×34×16＋162＝(34＋16)2＝502＝2 500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝(－10)2＝100.
解题大招四 利用完全平方公式分解因式再整体代入求值
先对原式进行变形，将原式转化为含已知式子的形式，然后整体代入计算．
例4 已知a＋b＝5，ab＝6，求eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3的值．
分析：将eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3分解为eq \f(1,2)ab与(a＋b)2的乘积，再运用整体代入的数学思想来解答．
解：eq \f(1,2)a3b＋a2b2＋eq \f(1,2)ab3＝eq \f(1,2)ab(a2＋2ab＋b2)＝eq \f(1,2)ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝6时，原式＝eq \f(1,2)×6×52＝75.
培优点一 利用因式分解判断三角形的形状
通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负性解答，这是解决此类问题一般的思路．
例1 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
分析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：△ABC是等边三角形，理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
培优点二 十字相乘法分解因式
例2 【阅读与思考】将多项式x2－x－6分解因式．
这个多项式的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫做“十字相乘法”．
因此，x2－x－6＝(x＋2)(x－3)．
试用上述方法分解因式：x2＋7x－18.
分析：
解：7＝－2＋9，－18＝－2×9，则x2＋7x－18＝(x－2)(x＋9)．
教学目标
课题
14.3.2 第2课时 利用完全平方公式分解因式
授课人
素养目标
1.理解完全平方公式进行因式分解的意义，掌握公式的特点.
2.能用完全平方公式进行因式分解，发展学生的运算能力和推理能力.
3.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的推导过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性.
教学重点
利用完全平方公式分解因式．
教学难点
灵活应用公式法分解因式.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：复习导入，引出新课
设计意图
通过复习前面所学的利用平方差公式分解因式，引出不能用此法分解的式子，激发学生的好奇心和探索欲，从而引出新课.
【复习导入】
上节课我们学习了利用平方差公式分解因式，同学们能用所学的知识完成下面的题目吗？
分解因式：(1)－9x2＋4y2；(2)(x＋3y)2－(x－3y)2；
(3)eq \f(9,49)x2－0.01y2；(4)81a4－16.
那我们再来看两个题.
(1)m2－8mn＋16n2； (2)m2＋8mn＋16n2.
大家试一试！看看用前面所学的方法能将它们分解因式吗？
我们发现不能，那怎么才能将它们分解因式呢？这就是我们今天这节课要学习的内容！
【教学建议】
对于练习部分，先让学生独立演算，之后与同桌互相订正，教师最后集体订正．并强调分解因式需要分解到不能分解为止.
活动二：实践探究，获取新知
设计意图
根据前面学习利用平方差公式分解因式的经验，慢慢构建利用完全平方公式分解因式的新知，增强学生的自信心．通过问题培养学生的逆向思维能力．让学生经历思考、探究、交流、归纳的过程，从而掌握新知.
探究点1 利用完全平方公式分解因式
计算：
(1)(m－4n)2；
(2)(m＋4n)2.(大家在下面做，两位同学上台板演)
解：(1)(m－4n)2＝m2－8mn＋16n2；
(2)(m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2.
问题1 大家说说计算的依据是什么呢？
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
根据上面两道题，请大家试着分解因式：
(1)m2－8mn＋16n2；
(2)m2＋8mn＋16n2.(大家在下面做，两位同学上台板演)
解：(1)m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2；
(2)m2＋8mn＋16n2＝(m＋4n)2.
问题2 同学们发现了什么规律呢？
把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果.
问题3 我们把这些式子推广到一般式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2，先观察多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？
(学生先独立思考，再小组讨论，最后教师请代表发言)
【教学建议】
教师引导学生总结完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的).
2.有两个同号的平方项.
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍).
教学步骤
师生活动
设计意图
为了使学生掌握运用完全平方公式分解因式的基本思路和方法，在引出公式后，结合例题作了示范性分析，说明运用公式分解因式的思考过程.
两式的共同特点是：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍．我们把a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式．
请大家判断下列各式是不是完全平方式．
(1)a2－2ab－b2；（不是） (2)a2＋b2－2ab；（是）
(3)－6xy＋9x2＋y2；（是）(4)x2＋x＋eq \f(1,4).（是）
问题4 你能将多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2分解因式吗？
把整式乘法的完全平方公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
的等号两边互换位置，就得到
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
这样，我们就得到了将形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子分解因式的办法了！
通过上一节课和本节课的探究，我们把整式乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2的等号两边互换位置，就得到了用于分解因式的公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
接下来，我们来看两个例题．
例 (教材P118例5)分解因式：
(1)16x2＋24x＋9； (2)－x2＋4xy－4y2.
分析：在(1)中，16x2＝(4x)2，9＝32，24x＝2·4x·3，所以16x2＋24x＋9是一个完全平方式，即
解：(1)16x2＋24x＋9＝(4x)2＋2·4x·3＋32
＝(4x＋3)2；
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[(x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2.
【对应训练】教材P119练习第1，2(1)～(4)题．
【教学建议】
这里教学的重点是让学生掌握公式的特点，牢记公式，并且在运用完全平方公式分解因式时，要先进行观察，判断所要分解的多项式是否符合某个公式的特点，特别需注意检验中间的一项是否符合公式．
教学时要求学生通过充分地练习基本类型的题来记忆和运用公式，不要让学生死记硬背．
【教学建议】
这种图示对照的形式，是为了说明怎样运用完全平方公式来分解因式，关键是让学生能够指明哪一项相当于公式中的a2，哪一项相当于公式中的b2，哪一项相当于公式中的2ab.为了让学生看起来直观，这里采用这种对照的形式．学生做作业时不必如此，但让学生练习几道类似的题目对掌握公式有好处．
设计意图
再次强调因式分解需要分解彻底的问题，并以此活动总结因式分解的完整步骤．
探究点2 先提公因式，再用完全平方公式分解因式
问题1 对于多项式2a2＋4ab＋2b2，我们在进行因式分解的时候该怎么做？
先提公因式化为2(a2＋2ab＋b2)．
问题2 分解因式结束了吗？
我们发现，还可以继续分解，所以2a2＋4ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2.
按照这个思路，我们来看看下面这个例题．
例 [教材P118例6(1)]分解因式：3ax2＋6axy＋3ay2.
【教学建议】
教师总结：
因式分解的步骤
因式分解时可按下面三个步骤进行，一提公因式，二套公式，三检查．套公式时，若多项式有两项，可考虑用平方差公式法
教学步骤
师生活动
分析：原式中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.
解：3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2.
【对应训练】教材P119练习第2(5)～(6)题.
分解因式；若多项式有三项，可考虑用完全平方公式法分解因式．简记为“一提二套三变形，分解彻底才能停”.
活动三：拓展提升，巩固新知
设计意图
通过把一个多项式视为一个整体的处理方式，培养学生的整体思想和转化思想.
例 [教材P118例6(2)]分解因式：(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
分析：将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36.
解：(a＋b)2－12(a＋b)＋36
＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62
＝(a＋b－6)2.
【对应训练】
分解因式：a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.
解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.
【教学建议】
教师需提醒学生对于a2±2ab＋b2＝(a±b)2中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．当为多项式时，需把这个式子看作一个整体，再来识别是否符合完全平方式的特点.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
什么是完全平方式？如何利用完全平方公式分解因式？因式分解的步骤是什么？什么是公式法？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P119习题14.3第3，5题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
板书设计
第2课时 利用完全平方公式分解因式
符号语言：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
文字语言：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
教学反思
本节课在教学过程中，始终关注学生思维品质的培养和锻炼．由乘法公式得到因式分解公式的探索中，运用逆向思维发现新知识；在用公式法因式分解时，通过多项式与公式的对应比较，培养公式化思维；在解决复杂问题时所采用的整体思想，都有效促进了学生思维的发展.