初中数学12.1 全等三角形课后复习题

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一、单选题
1．尺规作图：作 ∠A′O′B′ 角等于已知角 ∠AOB .示意图如图所示，则说明 ∠A′O′B′=∠AOB 的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【解析】【解答】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB.
故答案为：A.
【分析】由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以根据“SSS”即可判断.
2．如图，在OA，OB上分别截取OD，OE使OD＝OE，再分别以点D、E为圆心，大于 12 DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，射线OC就是∠AOB的角平分线.理由是连结CD，CE，证△COD≌△COE得∠COD＝∠COE.证△COD≌△COE的条件是（ ）
A．SASB．AASC．ASAD．SSS
【答案】D
【解析】【解答】解：在△COE和△COD中，
OC=OCOE=ODCE=CD ，
∴△COE≌△COD（SSS）.
故答案为：D.
【分析】由作图步骤可知：CE=CD，根据已知条件可知OE=OD，然后结合全等三角形的判定定理进行解答.
3．如图，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（ ）
A．∠1=∠DACB．∠B=∠DC．∠1=∠2D．∠C=∠E
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵AB=AD ， AC=AE ，
则可通过 ∠1=∠2 ，得到 ∠BAC=∠DAE ，
利用SAS证明△ABC≌△ADE.
故答案为：C.
【分析】根据角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
4．将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【解析】【解答】解：三根木条即为三角形的三边长，
即为利用SSS确定三角形，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的稳定性及SSS的方法求解即可。
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．21B．24C．27D．30
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
CB=BE∠CBD=∠DBEBD=BD，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，
故答案为：C．
【分析】在AB上截取BE＝BC，连接DE，根据三角形全等的判定，利用SAS证出△CBD≌△EBD，可得出∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，推出AD＝AE，再根据三角形周长公式计算即可。
6．如图，已知∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD ＝BCB．BD＝ACC．∠D＝∠CD．OA＝OB
【答案】B
【解析】【解答】解：已知∠1=∠2，AB=BA，根据SAS判定定理可知需添加BD＝AC.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可知：∠1=∠2，AB=BA，然后找出∠1、∠2的另一组邻边，令其相等即可.
7．如图， AB=AC ， AD=AE ， ∠BAC=∠DAE ， ∠1=25° ， ∠2=30° ，连接 BE ，点 D 恰好在 BE 上，则 ∠3= （ ）
A．60ºB．55ºC．50ºD．无法计算
【答案】B
【解析】【解答】∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC ，
∴∠BAD=∠CAE ，
在 △BAD 和 △CAE 中， AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，
∴△BAD≅△CAE(SAS) ，
∴∠ABD=∠2=30° ，
∵∠1=25° ，
∴∠3=∠ABD+∠1=55° ．
故答案为：B．
【分析】先利用“SAS”证明△BAD≅△CAE，再利用全等三角形的性质可得∠ABD=∠2=30°，最后利用三角形的外角计算即可。
8．如图， OA=OC ， OB=OD 且 OA⊥OB ， OC⊥OD ，下列结论：①ΔAOD≅ΔCOB ；②CD=AB ；③∠CDA=∠ABC ；其中正确的结论是 ()
A．①②B．①②③C．①③D．②③
【答案】B
【解析】【解答】解： ∵OA⊥OB ， OC⊥OD ，
∴∠AOB=∠COD=90° .
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC ，
即 ∠COB=∠AOD .
在 ΔAOB 和 ΔCOD 中，
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO ，
∴ΔAOB≅ΔCOD(SAS) ，
∴AB=CD ， ∠ABO=∠CDO .
在 ΔAOD 和 ΔCOB 中
AO=CO∠AOD=∠COBDO=BO ，
∴ΔAOD≅ΔCOB(SAS)
∴∠CBO=∠ADO ，
∴∠ABO−∠CBO=∠CDO−∠ADO ，
即 ∠ABC=∠CDA .
综上所述，①②③都是正确的.
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠AOB=∠COD=90°，推出∠COB=∠AOD，证明△AOB≌△COD，得到AB=CD，∠ABO=∠CDO，进而证明△AOD≌△COB，得到∠CBO=∠ADO，推出∠ABC=∠CDA，据此判断.
二、填空题
9．如图，OM=ON，若用“边边边”证明△CMO≅△CNO，则需要添加的条件是 ．
【答案】CM=CN
【解析】【解答】解：需要添加的条件是CM=CN，
OM=ONOC=OCCM=CN，
∴△CMO≅△CNO（SSS）．
故答案为：CM=CN．
【分析】利用“SSS”证明三角形全等的判定方法求解即可。
10．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF= .
【答案】6
【解析】【解答】解：∵AB∥CD、AE∥CF，
∴∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，又
AE=CF，
∴△AEF≌△CFD，
∴DF=EB，
∴DE=BF，
∴EF=BD-2BF=6.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质得∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，利用AAS证明△AEF≌△CFD，得DF=EB，推出DE=BF，然后根据EF=BD-2BF进行计算.
11．如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
【答案】80°
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，
在△BAP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠ACQAP=CQ，
∴△BAP≌△ACQ（SAS），
∴∠CAQ=∠ABP=20°，
∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.
故答案为：80°.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，然后利用SAS证明△BAP≌△ACQ，得出∠CAQ=∠ABP=20°，最后根据三角形外角的性质求∠AQB即可.
12．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上，且BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则∠A的度数是 ．（用含α的代数式表示）
【答案】180°−2α
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE，
∴△BDF≌△CED（SAS）
∴∠EDC＝∠DFB
∵∠FDC=∠EDF+∠EDC=∠B+∠BFD，
∴∠EDF＝∠B＝（180°−∠A）÷2＝90°−12∠A，
∵∠FDE＝α，
∴∠A＝180°−2α，
故答案为：180°−2α．
【分析】利用SAS先求出△BDF≌△CED，再求出∠EDC＝∠DFB，最后计算求解即可。
三、解答题
13．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm，BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，AE=2cm.求△AED的周长.
【答案】解：∵AB=8cm，BC=6cm，AE=2cm，
∴BE=AB−AE=8−2=6cm，BE=BC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD=∠EBD，
在△CBD和△EBD中，
BE=BC∠CBD=∠EBDBD=BD，
∴△CBD≅△EBD，
∴CD=DE，
∵AC=AD+DC=5cm，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AE+AD+DC=2+5=7cm.
【解析】【分析】用边角边可证△CBD≌△EBD，则CD=DE，则△AED的周长=AE+AD+DE=AE+AD+DC可求解.
14．如图，等边△ABC的内部有一点D，连接BD，以BD为边作等边△BDE，连接AD，CE，求证：AD=CE．
【答案】证明：∵△ABC和△DBE为等边三角形
∴∠ABC =∠DBE=60°，AB=BC，DB=EB
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC即∠ABD=∠CBE
在△ABD和△CBE中
AB=BC∠ABD=∠CBEBD=EB
∴△ABD≌△CBE(SAS)
∴AD=CE
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC =∠DBE=60°，AB=BC，DB=EB，再证明∠ABD=∠CBE，然后利用“SAS”证明△ABD≌△CBE，最后利用全等三角形的性质可得AD=CE。
四、综合题
15．如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点D在BC边上．
（1）求证：∠B＝∠ADE；
（2）直接写出∠1与∠2的数量关系．
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
AB=ADAC=AEBC=DE，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠B=∠ADE；
（2）解：∠1=∠2
【解析】【解答】解：（2）∠1=∠2．理由如下：
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠1，
∵∠ADC=∠ADE+∠2，且∠B=∠ADE，
∴∠1=∠2．
【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形对应角相等即得结论；
（2）∠1=∠2．理由：由三角形外角的性质可得∠ADC=∠B+∠1，根据∠ADC=∠ADE+∠2，且∠B=∠ADE，即得结论.
16．在一次数学探究活动中：如图，在 ΔABC 中， AB=5 ， AC=9 ， AD 是 BC 边上的中线，求 AD 的取值范围．小明给出了一种方法，步骤如下：
①过点 C 作一条与 AB 平行的线；②延长 AD 交这条平行线于点 E ；
③通过证明得到 AD=DE ， AB=CE ；
④利用 ΔACE 三边的数量关系得到 AD 的取值范围．
根据这个方法，请你完成下面两个问题：
（1）求证： AD=DE ， AB=CE ；
（2）求 AD 的取值范围．
【答案】（1）证明： ∵AB//CD ，
∴∠B=∠DCE ，
在 ΔADB 和 ΔEDC 中，
∠B=∠DCEBD=CD∠ADB=∠EDC ，
∴ΔADB≅ΔEDC(ASA) ，
∴AD=DE ， AB=CE
（2）解： ∵AC=9 ， EC=AB=5 ，
∴9−5∴4∵AD=DE ，
∴AE=2AD ，
∴4<2AD<14 ，
∴2【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠B=∠DCE，利用ASA可证得△ADB≌△EDC，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）利用三角形的三边关系定理，可得到AE的取值范围，从而可求出AD的取值范围.
全等三角形判定——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
注意：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

题型1：用边边边判定三角形全等
1.如图，A，F，B，D四点在同一条直线上，且AC＝DE，CB＝EF，AF＝DB．求证：△ABC≌△DFE．
【答案】证明： ∵AF=DB ，
∴AF+BF=DB+BF ，即 AB=DF ，
在 △ABC 和 △DFE 中， AC=DECB=EFAB=DF ，
∴△ABC≅△DFE(SSS) ．
【解析】【分析】根据A，F，B，D四点在同一条直线上，且AC＝DE，CB＝EF，AF＝DB，得出AB=DF ，利用全等三角形的性质即可证出△ABC≌△DFE．
【变式1-1】如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF．
求证：△ABC≌△DEF；
【答案】证明：∵AD＝BE，
∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中， AC＝DFAB＝DEBC＝EF ，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
【解析】【分析】由AD=BE推出AB＝DE，根据全等三角形的判定定理SSS证明即可.
【变式1-2】如图，已知AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC.
【答案】证明：∵在△ABC和△ADC中 AB=ADBC=DCAC=AC ，
∴△ABC≌△ADC（SSS）.
【解析】【分析】由题意两个三角形有一条公共边AC，然后用边边边可证△ABC≌△ADC.
【变式1-3】如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC ＝DF，BE＝CF.求证：△ABC ≌△DEF；
【答案】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∵AB=DEAC=DFBC=EF ，
∴△ABC ≌△DEF（SSS）.
【解析】【分析】根据SSS证明三角形全等即可；
题型2：格点与三角形全等对数问题
2.如图是5×5的正方形网格中，以D，E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，这样格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应相等的两个三角形全等画图即可.
【变式2-1】如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（ ）个．
A．8B．7C．6D．4
【答案】A
【解析】【解答】解： 如图，
图中与△DEF全等的格点三角形最多有：△DAF、△BGQ、△CGQ、△NFH、△AFH、△CKR、△KRW、△CGR，共8个.
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定定理（SSS），结合图形依次找出与 △DEF 全等的三角形.
【变式2-2】图①、图②均为边长为1的正方形网格．△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形．
（1）在图①中画一个三角形与△ABC全等，且只有1个公共顶点．
（2）在图②中画一个三角形与△ABC全等，且只有1条公共边．
【答案】（1）解：如图①中，△EFC即为所求．
在△EFC和△ABC中：
∵CE＝CA，CF＝CB，EF＝AB，
∴△EFC≌△ABC（SSS）．
（2）解：如图②中，△ABM即为所求．
在△ABM和△ABC中：
∵AM＝AC，BM＝BC，AB＝AB，
∴△ABM≌△ABC（SSS）．
【解析】【分析】（1）如图，以点C为公共点，利用SSS进行作图即可；
（2）如图，以AB为公共点，利用SSS进行作图即可.
题型3：用边边边尺规作图
3.请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
用直尺和圆规作 ΔDEF ，使得 ΔDEF ≌ ΔABC ，并指出判定 ΔDEF ≌ ΔABC 的依据（请在作图区内画图）
【答案】解：作图如下，
根据作图知：EF=BC，ED=BA，DF=AC，
∴ΔDEF≌ΔABC(SSS) ．
【解析】【分析】根据旋转中心的求法，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上即可做出旋转中心。
【变式3-1】作已知 △ ABC的全等三角形.（尺规作图，不写作法保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示：
全等的依据是“SSS”.
【解析】【分析】先画一条射线，以射线的端点 B′ 为圆心，BC长为半径画弧，与射线交于点 C′ ，再以 B′ 为圆心，AB长为半径画弧，以 C′ 为圆心，AC长为半径画弧，这两个弧有一个交点记作点 A′ ，连接 A′B′ 、 A′C′ ，得到 △A′B′C′ 与 △ABC 全等.
全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
注意：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
题型4：用边角边判定三角形全等
4.如图，点B、E、F、D在同一直线上，AB∥CD，AB=CD，BE=DF．求证：△ABF≅△CDE．
【答案】解：∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即：BF=DE，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠B=∠DBF=DE，
∴△ABF≅△CDE(SAS).
【解析】【分析】根据三角形全等的判定即可得出结论。
【变式4-1】已知：如图，AB、CD相交于点E，且E是AB、CD的中点.求证： △AEC≌△BED .
【答案】证明：∵E是AB、CD的中点.
∴AE=BE，CE=DE，
在 △AEC 和 △BED 中，
AE=BE∠AEC=∠BEDCE=DE
∴△AEC ≌ △BED(SAS) .
【解析】【分析】根据线段中点的概念可得AE=BE，CE=DE，由对顶角的性质可得∠AEC=∠BED，然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明.
【变式4-2】如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中
AB=DE∠A=∠DAC=DF ，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠A=∠D，由AF＝DC，可得到AC＝DF；再利用SAS可证得结论.
题型5：判定三角形全等求线段长度
5.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的平分线，若DE=2，求DF的长.
【答案】解：如图，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠1=∠2，
∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠BDE=45°，∠ADF=∠FDC=45°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△ADE和△ADF中，
∠1=∠2AD=AD∠ADE=∠ADF
∴△ADE≌△ADF(ASA)，
∴DF=DE=2.
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 ∠ADB=∠ADC=90°，∠1=∠2， 根据角平分线的定义得出 ∠ADE=∠ADF=45°，从而利用ASA判断出 △ADE≌△ADF ，根据全等三角形的对应边相等得出DF=DE.
【变式5-1】已知：如图, AC ⊥ BC于C , DE ⊥ AC于E , AD ⊥ AB于A , BC =AE.若AB = 5 ,求AD 的长。
【答案】解：∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，
∴∠C=∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°，
∵AD⊥AB于A，
∴∠CAB+∠EAD=90°，
∴∠B=∠EAD（同角的余角相等）
∵BC=AE，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴AD=AB=5
【解析】【分析】根据同角的余角相等得出 ∠B=∠EAD ，从而利用ASA判断出 △ABC≌△DAE ，根据全等三角形的对应边相等得出AD=AB=5.
【变式5-2】已知：如图，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，
求证： AE＝AF
【答案】 解：连接AC，
在△ADC和△ABC中，
AB＝ADBC＝DCAC=AC
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠ECA=∠FCA
∵点E，F分别是DC、BC的中点，
∴2CE=DC，2CF=BC
∵DC=BC
∴CE=CF；
在△AEC和△AFC中，
CE＝CF∠ECA=∠FCAAC=AC
∴△AEC≌△AFC（SAS）
∴AE=AF.
【解析】【分析】连接AC，图形中隐含公共边AC=AC，利用SSS证明△ADC≌△ABC，利用全等三角形的性质，易证∠ECA=∠FCA；再利用线段中点的定义，可证得CE=CF，利用SAS证明△AEC≌△AFC，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
题型6：判定三角形全等求角度
6.如图， △ACD 是等边三角形，若 AB=DE ， BC=AE ， ∠E=115° ，求 ∠BAE 的度数．
【答案】解：∵△ACD 是等边三角形，
∴AC=AD ， ∠CAD=60° ，
在 △ABC 与 △DEA 中， AB=DEBC=AEAC=AD ，
∴△ABC ≌ △DEA （SSS），
∴∠BAC=∠ADE ，
∴∠BAC+∠DAE=∠ADE+∠DAE=180°−115°=65° ，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125° ．
【解析】【分析】根据△ACD 是等边三角形，得出AC=AD ， ∠CAD=60° ，利用SSS证明出△ABC ≌ △DEA ，得出∠BAC=∠ADE ，得出∠BAC+∠DAE=65° ，从而得出答案。
【变式6-1】如图，在△ABC中，AB=AC，BD＝CF，BE＝CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数．
【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△EDB和△DFC中，
BD=CF∠B=∠CBE=CD
∴△EDB≌△DFC（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
对于△BED，有∠B+∠BED=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDE+∠CDF，
∴∠B=∠FDE=58°，
∴∠C=∠B=58°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-58°-58°=64°．
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，证明△EDB≌△DFC，得到∠BED=∠CDF，由外角的性质可得∠B+∠BED=∠EDC，由角的和差关系可得∠EDC=∠FDE+∠CDF，进而求出∠B、∠C的度数，接下来根据三角形内角和定理进行求解.
【变式6-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，D为BC上一点，BF＝CD，CE＝BD，求∠EDF的度数．
【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△FBD与△DCE中，
BF＝CE∠B＝∠CBD＝CE ，
∴△FBD≌△DCE（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，
∴∠B=180°-∠BDF-∠BFD=∠EDF=180°-∠BDF-∠CDE，
∵∠B=65°，
∴∠EDF=65°．
【解析】【分析】先求出 ∠B=∠C， 再利用SAS证明 △FBD≌△DCE ，最后求解即可。
题型7：判定三角形全等与证明
7.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，证明：BD=CE．
【答案】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD=CE
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，再利用“SAS”证明△BAD≌△CAE，即可证明结论。
【变式7-1】如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，则AE、BD有什么关系？请证明你的结论.
【答案】解：AE=BD，AE⊥BD，证明如下：
如图，设AC与BD交于点N，
∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠ACD=∠ACD，
∴∠DCB=∠ECA，
在△DCB和△ECA中， AC=BC∠DCB=∠ECACD=CE ，
∴△DCB≌△ECA（SAS），
∴∠A=∠B，BD=AE，
∵∠AND=∠BNC，∠B+∠BNC=90°，
∴∠A+∠AND=90°，
∴AE⊥BD.
【解析】【分析】首先根据SAS证明△DCB≌△ECA，然后可得BD=AE，然后根据等量代换可得∠A+∠AND=90°，从而证明AE⊥BD.
题型8：判定三角形全等与探究
8.探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，则∠ADB+∠ADE＝ 度；
（3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：结论：CE//AB．
理由：如图1中，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB//CE．
（2）180
（3）解：结论：BE＝AE+EC．
理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝60°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠BAO＝∠OEC＝60°，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠ABH＝∠ACE，
∵BA＝CA，BH＝CE，
∴△ABH≌△ACE（SAS）
∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，
∴∠HAE＝∠BAC＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH，
∴BE＝BH+EH＝EC+AE，
即BE＝AE+EC．
【解析】【解答】解：（2）证明：如图2中，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED=∠ADE=60°，
∵∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠AED+∠BEC=120°，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠ADB+∠ADE=120°+60°=180°，
故答案为：180；
【分析】（1）利用“SAS”证明 △BAD≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到 ∠B＝∠ACE＝60°， 根据平行线的判定证明即可；
（2）根据题意可证明∠AEC=120°，证明 △BAD≌△CAE ，得到∠ADB=∠AEC=120°，进而得到答案；
（3） 在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O． 利用“SAS”证明 △ABH≌△ACE ，得到 ∠BAH＝∠CAE，AH＝AE， 证出 △AEH是等边三角形， 再利用等边三角形的性质求解即可。
【变式8-1】综合与探究：如图，在 △ABC ， AB=AC ， ∠CAB=α ，
（1）操作与证明：如图①，点D为边 BC 上一动点．连接 AD ，将线段 AD 绕点A逆时针旋转角度 α 至 AE 的位置，连接 DE ， CE ．求证： BD=CE ；
（2）探究与发现：如图②，当 α=90° 时，点D变为 BC 延长线上一动点，连接 AD ，将线段 AD 绕点A按照逆时针旋转角度 α 至 AE 位置，连接 DE ， CE ．可以发现：线段 BD 和 CE 的数量关系是 ；
（3）判断与思考：判断（2）中的线段 BD 和 CE 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：由旋转可知， AD=AE ， ∠DAE=∠CAB=α
∴∠CAB−∠CAD=∠DAE−∠CAD ，则 ∠BAD=∠CAE
在 △BAD 和 △CAE 中
∵AB=AC ， ∠BAD=∠CAE ， AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE
（2）BD=CE
（3）解： BD⊥CE 理由如下：
∵∠CAB=α=90° ， AB=AC ．
∴∠B=∠ACB=45°
由旋转，可得 AD=AE ， ∠DAE=∠CAB=90°
∴∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，则 ∠BAD=∠CAE
在 △BAD 和 △CAE 中
∵AB=AC ， ∠BAD=∠CAE ， AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴∠B=∠ACE=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°
∴BD⊥CE
【解析】【解答】解：（2）由旋转可知， AD=AE ， ∠DAE=∠CAB=α ，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，则 ∠BAD=∠CAE
在 △BAD 和 △CAE 中
∵AB=AC ， ∠BAD=∠CAE ， AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE ，
故答案是： BD=CE ；
【分析】（1）由旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=∠CAB，从而证明△BAD≌△CAE(SAS)，即可得到结论；
（2）同（1）小题的方法，证明△BAD≌△CAE(SAS)，即可得到结论；
（3）先证明△BAD≌△CAE(SAS)，从而得到∠B=∠ACE=45°，进而即可得到结论。