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人教版(2024)八年级上册13.1.1 轴对称优秀单元测试课后复习题
展开1.下列常见的手机软件图标中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图,与关于直线对称,P为上任一点(,P,不共线),下列结论中不正确的是( )
A. B.垂直平分线段
C.与面积相等 D.直线,的交点不一定在直线上
3.如图,中,点D在边上,做点D关于直线的对称点E,连接,做点D关于直线的对称点F,连接.,则的度数为( )
A.B.C.D.
4.如图,在平面直角坐标系中,点关于点对称的点在x轴上,则m的值为( )
A.B.C.D.3
5.如图,两条平行直线a,b,从点光源M射出的光线射到直线a上的A点,入射角为,然后反射光线射到直线b上的B点,当这束光线继续从B点反射出去后,反射光线与直线b所夹锐角的度数为( )
A.B.C.D.
6.如图翻折纸带,若,则( )
A.B.C.D.70°
7.如图,分别以点为圆心,大于的长为半径作弧,连接两弧交点的直线交于点,连接AD.若,,则的周长是( )
A.B.8C.11D.13
8.如图,在中,,,点P为直线上一点,且,连接,则的度数是( )
A.B.C.或D.或
9.如图,在中,,的平分线交于点,过点作分别交,于点,,若,,则的周长是( )
A.B.C.D.
10.如图,在中,,,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,连接并延长交于点D,若,则的长为( )
A.4B.3C.2D.1
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
11.如果点和点关于y轴对称,那么的值是 .
12.如图,在中,,点是边上一点,点关于直线的对称点为,当时,则的度数为 .
13.如图,在中,的垂直平分线分别交于点E、F,,则的周长为 .
14.如图,",点E、F分别在射线上,,的面积为10,点P是直线上的动点,点P关于对称的点为,点P关于对称的点为,则 的面积最小值为 .
15.如图,点E在上,与相交于点F,,,,则的度数为 .
16.如图,在等边中,,是延长线上一点,且,是上一点,且,则的长为 .
17.如图,,点M,N分别是边,上的定点,点P,Q分别是边,上的动点,记,,当的值最小时,的大小_______(度).
18.如图,在中,于点,将沿着翻折得到,延长交于点,连接,设,以下四个结论:
(1)点是的中点;
(2)直线是的垂直平分线;
(3);
(4);
其中一定正确的是 (填写序号).
三、解答题(本大题共6小题,共58分)
19.(8分)如图1,在中,,垂足为.如图2,将沿所在直线翻折,使点落在边上,记为.
(1)若,求的度数.
(2)若,则的度数为______(用含的代数式表示).
20.(8分)如图,在四边形中,,点为边上一点,连接.请用尺规作图法,在上找一点,使得.(保留作图痕迹,不写作法)
21.(10分)如图,在中,,,是边上的中线,的垂直平分线交于点,交于点,点是上一点,且.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
22.(10分)如图,在四边形中,,是的中点,连接并延长交的延长线于点,点在边上,且.
(1)求证:.
(2)求证:.
(3)连接,垂直平分吗?说明理由.
23.(10分)如图,在中,,以为边作等边三角形.点E在外,,.
(1)求的度数;
(2)求证:是等边三角形;
(3)连接,若,,求的长.
24.(12分)【问题提出】如图1,在中,,D是延长线上的点.连AD,以AD为边作(E、D在同侧),使,连CE.若,判断CE与的位置关系,并说明理由.
(1)【问题探究】先将问题特殊化.如图2,当D在线段上,时,直接写出的度数 ;
(2)再探究具体情形、如图1,判断CE与的位置关系,并说明理由;
(3)如图3,在中,.点E为外一点,于D,.求BD的长.
参考答案:
1.A
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键.
根据轴对称图形的定义:在一个平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形;由此问题可求解.
【详解】解:符合轴对称图形的定义只有A选项;
故选:A.
2.D
【分析】本题考查轴对称的性质,掌握轴对称的性质:轴对称图形的对应角相等,对应边相等,轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键.
【详解】解:与关于直线对称,为上任意一点,
垂直平分,
∴,与面积相等,故A,B,C选项不符合题意;
直线,关于直线对称,因此交点一定在上,故D选项符合题意.
故选:D.
3.A
【分析】此题考查轴对称的性质,由点E和点F分别是点D关于和的对称点,得,再根据,所以,即可求出答案.
【详解】解:点E和点F分别是点D关于和的对称点,
,
,
,
,
故选:A.
4.A
【分析】本题主要考查了坐标与图形,全等三角形的性质与判定,轴对称的性质,过A作轴于H,则,,由轴对称的性质得到,证明,得到,据此可得答案.
【详解】解:过A作轴于H,
∵点,
∴,,
∵点A与点关于点对称,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∴,
故选:A.
5.D
【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质,根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到,由平行线的性质可得,即可得出结论.熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
【详解】解:如图,
∵从点光源射出的光线射到直线上的A点,入射角为,然后反射光线射到直线上的点,
∴,
∵,
∴,
∴当这束光线继续从点反射出去后,反射光线与直线的夹角度数为.
故选:D
6.D
【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质,先由平行线的性质得出,,因为折叠得,再结合平角概念列式计算,即可作答.
【详解】解:如图:
∵纸带的两边平行
∴,
∵翻折
∴
∴
故选:D
7.B
【分析】本题考查了垂直平分线的作图及性质,掌握垂直平分线的性质是解题的关键,根据作图可得线段AB的垂直平分线交于点,可得,再根据三角形的周长计算方法即可求解.
【详解】解:根据作图可得,线段AB的垂直平分线交于点,
∴,
∵的周长为:,
∴,
故选:B .
8.C
【分析】本题考查了三角形内角和性质,等边对等角,三角形外角性质,正确掌握相关性质内容是解题的关键.注意点P为直线上一点,分别作图,运用三角形内角和性质,等边对等角,三角形外角性质分别列式计算,即可作答.
【详解】解:如图所示:
以点C为圆心,为半径画弧,分别交直线于两点,即,连接
∵,
∴
∵
∴
∴
∵,
∴
∵
∴
∴
故选:C
9.B
【分析】本题考查角平分线,等腰三角形,平行线的知识,解题的关键是掌握等腰三角形的判定.根据角平分线的定义,则,;根据平行线的性质可证得,,然后根据等角对等边,则,,最后根据三角形的周长,即可.
【详解】∵,分别是,的角平分线,
∴,,
∵,
∴,,
∴,,
∴,,
∵,,
∴,,
∴,
故选:B.
10.C
【分析】作于点,根据角平分线的性质得,由知.本题主要考查作图基本作图,解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质.
【详解】解:如图,作于点,
为的平分线,
,
,
则,
∴
故选:C.
11.5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称,根据关于y轴对称的点横坐标为互为相反数,纵坐标相同进行求解即可.
【详解】解:∵和点关于y轴对称,
∴,
∴,
故答案为:5.
12./度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质,三角形内角和定理,平行线的性质,利用平行线的性质得到,则由平角的定义可得,然后根据轴对称的性质得到,则可得∠CDB的度数,进而问题可求解.
【详解】解:∵
∴,
∴,
∵点B关于直线的对称点为,
∴,
∴.
故答案为:.
13.13
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论.
【详解】解:的垂直平分线分别交于点E、F,
,
,
的周长为,
故答案为:13.
14. 90°/度
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点,连接,过点作交的延长线于,,先利用三角形的面积公式求出,再根据轴对称的性质可得,,,从而可得,然后利用三角形的面积公式可得的面积为,根据垂线段最短可得当点与点重合时,取得最小值,的面积最小,由此即可得.
【详解】解:如图,连接,过点作交的延长线于,
∵,且,
∴,
∵点关于对称的点为,点关于对称的点为,
∴,,,
∵,
∴,
∴的面积为,
由垂线段最短可知,当点与点重合时,取得最小值,最小值为,
∴的面积的最小值为,
故答案为:90°;.
15./70度
【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等边对等角和三角形内角和定理,根据题意得,结合全等三角形的性质有和,利用等边对等角和三角形内角和定理可求得和,即可求得答案.
【详解】解:∵,,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
则,
那么,.
故答案为:.
16.3
【分析】过点作于,先根据含的直角三角形的性质求出,再根据等腰三角形的三线合一性质求出,即可得出.本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识;熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.
【详解】解:过点作于;如图所示:
则,
是等边三角形,
,,
,
,
,
,
,,
,
;
故答案为:3.
17.50
【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质,三角形外角的性质,作M关于的对称点,N关于的对称点,连接,交于点P,交于点Q,连接,,可知此时最小,此时,,再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论.
【详解】解:作M关于的对称点,N关于的对称点,连接,交于点P,交于点Q,连接,,如图所示.
根据两点之间,线段最短,可知此时最小,即,
∴,,
∵,,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
故答案为:50.
18.①②③
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质,翻折的性质,三角形内角和定理等知识,根据等腰三角形三线合一的性质以及翻折的性质可判断①②,根据三角形内角和定理和平角的定义可判定③④.
【详解】解:∵,,
∴,
即点是的中点,故①正确.
∵将沿着翻折得到,
∴,,,,
∴,且平分,
即直线是的垂直平分线;故②正确.
∵,
∴,
∴,
∴,故③正确.
∵,
∴,
∴,故④错误.
综上①②③正确,
故答案为:①②③
19.(1)
(2)
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理,三角形外角的定义以及性质,折叠的性质,掌握翻折的性质是解本题的关键;
(1)先得到,再根据折叠的性质得,根据三角形外角性质即可求解;
(2)由已知条件可得出点落在线段上时,同(1)解题过程一样求解即可.
【详解】(1)解:,,
,
由翻折的性质可得出,
∵,
;
(2)∵,且点落在线段上时,
∵,
,
由翻折可知
.
20.见解析.
【分析】本题考查作图复杂作图,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.过点作于点即可.
【详解】解:如图,点即为所求.
21.(1)详见解析
(2)
【分析】(1)根据等腰三角形性质得,,由此可得 ,进而得,据此可得出结论;
(2)根据线段垂直平分线性质得,则,进而得,从而得为等边三角形,则,在中根据得,由此得,进而可得的长.
【详解】(1)证明:在中,
是边AB上的中线
, ,
(2)是线段BD的垂直平分线
为等边三角形
在中,,
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及含度角的直角三角形,熟练掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含度角的直角三角形是解决问题的关键.
22.(1)见解析
(2)见解析
(3)垂直平分,见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质等知识:
(1)根据,可得,可利用证明,即可;
(2)根据,可得,再由,可得,即可;
(3)根据,可得,再根据等腰三角形的性质解答,即可.
【详解】(1)证明:,
,
∵是的中点,
∴,
在和中,
,
;
(2)证明:,
,
,
,
.
(3)解:结论:垂直平分线段.理由如下:
∵,
,
,
,
垂直平分线段.
23.(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征:
(1)利用等边三角形的性质及可得,进而可得,则可求解;
(2)利用可证得,进而可得,再根据等边三角形的判定即可证结论;
(3)连接,可得,进而可得,再根据即可求解;
熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键.
【详解】(1)解:∵是等边三角形,
∴,.
在和中,
,
∴,
∴,
∴.
(2)证明:∵,
∴.
∵,,
∴.
在和中,
,
∴.
∴.
∵,
∴是等边三角形.
(3)解:连接,如图:
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,,
∴,
∴.
∵,,
∴,
∴.
24.(1)60°
(2)详见解析
(3)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质等知识点,熟记相关结论进行几何推理是解题关键.
(1)证即可求解;
(2)过D作,交的延长线于F,证得,即可求解;
(3)过A作交CE的延长线于F,证可得,再证即可求解.
【详解】(1)解:∵,,
∴是等边三角形
∵,
∴是等边三角形
∴
∴
即:
∴
∴,
故答案为:
(2)解:过D作,交的延长线于F,如图所示:
则,
∵,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∴,
∵,
∴
∴
(3)解:过A作交CE的延长线于F,如图所示:
则,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,又,
∴,
∴
∴,
∴.
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