高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课后复习题，共13页。试卷主要包含了下列函数中，相同的一组是，下列对应中，已知函数，则=，函数f，下面结论正确的是，若函数，数，则下列等式成立的是等内容，欢迎下载使用。

A．，B．，
C．，D．，
2．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
3．若函数y=f(x)的定义域为[－2，4]，则函数g(x)=f(x)+ f(－x)的定义域是
A．[－4，4]B．[－2，2]C．[－4，－2]D．[2，4]
4．下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）
5．已知函数，则=（ ）
A．1008B．1009C．2018D．2019
6．函数f（x）＝x的最小值为（ ）
A．B．C．﹣1D．0
7．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域是A,值域是;的定义域是C,值域是,且实数满足.下列命题中,正确的有( )
A．如果对任意,存在,使得,那么;
B．如果对任意,任意,使得,那么;
C．如果存在,存在,使得,那么;
D．如果存在,任意,使得,那么.
9．下面结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值是
B．函数的最小值是2
C．函数（）的值域是
D．，且，则的最小值是3
10．若函数，数，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．函数的值域为 .
12．已知为无理数，且代数式的值为整数，则 ．
13．记函数在处的值为（如函数也可记为，当时的函数值可记为）.已知，若且，，则的所有可能值为
14．定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是 .
（1） （2）
（3） （4）
15．已知函数（，且为常数）在区间上有意义，求实数的取值范围.
16．已知函数对任意正实数，，都有成立
（1）求的值；
（2）当时，求证：；
（3）若，（，均为常数），求的值
17．已知为实数，用表示不超过的最大整数.
（1）若函数，求的值；
（2）若函数，求的值域；
（3）若存在且，使得，则称函数是函数，若函数 是函数，求的取值范围.
3.1.1函数的概念
1．下列函数中，相同的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
1．D
【解析】逐项判断各选项中两个函数的定义域、解析式是否完全相同即可判断两函数是否相等.
【详解】A选项，的定义域为R，与的定义域，定义域不同，不是同一函数；
B选项，的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一函数；
C选项，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
D选项，两个函数定义域均为R，，解析式也相同，是同一函数.
故选：D
【点睛】方法点睛：函数的三要素是定义域，对应关系（解析式），值域，而定义域和对应关系决定值域，所以判断两个函数是否相同只需要判断两个要素：定义域，对应关系是否相同即可.
2．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
2．B
【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为
（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．
（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；
综上，的取值范围为
故选：B
3．若函数y=f(x)的定义域为[－2，4]，则函数g(x)=f(x)+ f(－x)的定义域是
A．[－4，4]B．[－2，2]C．[－4，－2]D．[2，4]
3．B
【详解】试题分析：由函数的定义域是，即，令，解得，即函数的定义域为，故选B.
考点：函数的定义域.
【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中涉及到函数的定义域的概念、不等式的求解、集合交集的运算等知识点的考查，其中紧扣函数的定义域的概念是解答关键，函数的定义域——函数的自变量的取值构成的集合，属于基础题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.
4．下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）
4．B
【分析】利用函数的定义，逐项分析是否满足定义判断即可．
【详解】（1），其中，；满足函数的定义，（1）正确；
（2），其中，，，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确；
（4），其中，，，当时，对应的，（4）不正确．
故选：B
5．已知函数，则=（ ）
A．1008B．1009C．2018D．2019
5．B
【分析】先证明对任意，，利用倒序相加法，求出.
【详解】解：对任意，．
对于任意，；
，，
．
故选：
【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力，值域倒序相加法的应用．
6．函数f（x）＝x的最小值为（ ）
A．B．C．﹣1D．0
6．A
【分析】采用换元法代换成关于二次函数的表达式，再求值域即可
【详解】令，则，则，故函数的最小值在取到，则，
故选A
【点睛】本题考查换元法求解析式，二次函数在给定区间的最值的求法，属于中档题
7．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为
A．B．C．D．
7．B
【详解】设函数u=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：x1，x2，x1＜x2
∵s为定义域的两个端点之间的部分，就是[x1，x2],f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）max]，且所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域
∴|x1-x2|=,∵|x1-x2|=,∴
8．已知函数的定义域是A,值域是;的定义域是C,值域是,且实数满足.下列命题中,正确的有( )
A．如果对任意,存在,使得,那么;
B．如果对任意,任意,使得,那么;
C．如果存在,存在,使得,那么;
D．如果存在,任意,使得,那么.
8．ABD
【解析】根据连个函数定义域和值域之间的关系,逐项判断,即可求得答案.
【详解】对于A, 如果对任意,存在,使得,可得,故A正确;
对于B, 如果对任意,任意,使得,即:的值域的最小值大于值域的最大值,可得,故B正确;
对于C,取的值域,值域,此时满足存在,存在,使得,但,故C错误;
对于D, 如果存在,任意,使得,即的值域的最大值大于值域的最小值,故D正确.
综上所述,正确的是ABD.
故选: ABD.
【点睛】本题考查了两个函数之间任意与存在性问题,解题关键是掌握函数定义域和值域的基础知识和存在性问题,任意性问题的解法,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.
9．下面结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值是
B．函数的最小值是2
C．函数（）的值域是
D．，且，则的最小值是3
9．ACD
【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C．
【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，
从而的最大值是，A正确；
，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；
时，，，
因为，所以时，，时，，
时，．
所以值域是，C正确；
，且，，
，
则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．
故选：ACD．
10．若函数，数，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．ACD
【分析】根据题意由可得，，，从而归纳出，然后对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】根据题意，函数，则，
同理：，
归纳可得：，依次分析选项：
对于AA正确；
对于BB错误；
对于CC正确；
对于DD正确；
故选:ACD.
11．函数的值域为 .
11．
【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为，所以，所以.
考点：二次函数的性质.
12．已知为无理数，且代数式的值为整数，则 ．
12．
【分析】先设（整数）,整理后根据定义域不空得到关于的方程对应判别式大于等于0,求出值,再代入假设即可求出对应的.
【详解】解：设,,
即,
由,可得,
即,
由为无理数,可得,
∴代数式
【点睛】本题主要考查函数的值.本题比较特殊的地方在于要求的是个无理数,增加了本题的难度,解决问题的关键在于设（整数）,整理后根据定义域不空得到关于的方程对应判别式大于等于0,求出的值.
13．记函数在处的值为（如函数也可记为，当时的函数值可记为）.已知，若且，，则的所有可能值为
13．1或
【解析】根据题意得，或，进而得的所有可能值为1或.
【详解】解：因为且，，
所以，或，
当，时，，
当，时，.
故答案为：1或
【点睛】本题考查函数值得求解，解题的关键在于由已知得，或，是基础题.
14．定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是 .
（1） （2）
（3） （4）
14．（1）（2）（4）
【解析】利用特征函数的定义知：（1）由，对与、关系分类讨论，可得（1）正确；利用特征函数的定义可判断（2）的正误；取特殊值情况，利用定义可判断（3）的正误；利用集合运算与函数运算可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】（1），分类讨论：
①当，则，此时；
②当，且，即，此时；
③当，且，即时，，，此时.
综合有，故（1）正确；
（2），故（2）正确；
（3）假设，任取，则，则，但，则，故（3）不正确；
（4）
，故（4）正确.
故答案为：（1）（2）（4）.
【点睛】本题考查子集与交集、并集运算的转换及应用，解题时要认真审题，注意特征函数的定义的灵活运用．
15．已知函数（，且为常数）在区间上有意义，求实数的取值范围.
15．
【分析】把函数（，且为常数）在区间上有意义，转化为的解集包含 ，列不等式求得的范围．
【详解】∵函数（，且为常数），∴，∴，即函数的定义域为.
∵函数在区间上有意义，∴，∴，即，∴实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
16．已知函数对任意正实数，，都有成立
（1）求的值；
（2）当时，求证：；
（3）若，（，均为常数），求的值
16．（1）（2）详见解析（3）
【分析】（1）利用赋值法，求得的值.（2）利用赋值法，结合（1）中的值，证得结论成立.（3）结合抽象函数表达式，利用赋值法，求得和的值，进而求得的值.
【详解】（1）令，，得，解得
（2）当时，令，，得，∴
（3）令，得，令，得
令，，得
【点睛】本小题主要考查抽象函数求值，考查赋值法证明与抽象函数有关的问题，属于基础题.
17．已知为实数，用表示不超过的最大整数.
（1）若函数，求的值；
（2）若函数，求的值域；
（3）若存在且，使得，则称函数是函数，若函数 是函数，求的取值范围.
17．（1）1，2；（2）{0，1}；（3）且且．
【分析】（1）根据取整函数的定义直接计算；
（2）考虑与之间的大小关系，从而得到的值域；
（3）对进行分类讨论：，利用单调性证明在时不成立，当时，再对分类讨论：，由此求解出的取值范围.
【详解】（1）f(1.2)=1,f(-1.2)=-2；
（2）因为[]=[]或[]=[]+1
所以若函数的值域为{0，1}
（3）当函数f（x）=x+是Ω函数时，
若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．
若a＜0，则是一个增函数，
所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，
此时不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），
同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），
又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，
所以此时f（x）=x+不是Ω函数．
当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，
当m＞0时，
因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，
所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，
当m＜0时，[m]＜0，
因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，
所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，
记k=[m]，综上，我们可以得到：a＞0且∀k∈N•，a≠k2且a≠k（k+1）．
【点睛】本题考查新定义背景下的取整函数问题，主要考查学生的运算和推理能力，难度较难.取整函数是一个比较常考的一个函数，它实际上可以看做是一个分段函数，其函数图象的每一段都是平行于轴的.