人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式同步训练题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


养成好习惯
一、单选题
1．已知，则的最小值为（ ）.
A．9B．C．5D．
2．已知实数满足，则的最大值为( )
A．1B．2C．3D．4
3．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．若正数、满足，设，则的最大值是( )
A．12B．-12C．16D．-16
5．设实数，满足条件且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正数满足， 则的最小值是( )
A．B．C．D．
二、多选题
8．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若都是正数，且，则的最小值是3
C．若，则的最小值是2
D．若，则的最小值是4
9．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
10．已知，，且，则（ ）
A．的取值范围B．的取值范围是
C．D．的最小值是
三、填空题
11．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为 .
12．已知实数满足且，则的最小值为 .
13．已知，，，且，则的最小值为 .
14．已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为 ．
四、解答题
15．（1）若，且，求的最小值；
（2）若k为（1）中的最小值，且a，b，c满足，类比（1）的方法求证：；
16．已知正实数满足
(1)求的最小值.
(2)求的最小值
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P44-48
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
基本不等式a+b2≥ab前提：a>0, b>0；
请将1-10题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
17．已知（为常数，且，）.
（1）当，时，求证：；
（2）当时，如果对任意的都有恒成立.求证：.
养成好习惯：
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
2.2基本不等式
1．已知，则的最小值为（ ）.
A．9B．C．5D．
1．B
【分析】首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件.
【详解】.
，且，
，
当且仅当，即时，取得最小值2.
的最小值为.
故选B.
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，代数式的变形技巧，属于中等题.
2．已知实数满足，则的最大值为
A．1B．2C．3D．4
2．B
【详解】原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B.
3．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
4．若正数、满足，设，则的最大值是
A．12B．-12C．16D．-16
4．A
【分析】根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围.
【详解】解：
、
解得
当且仅当时取得最大值
故选：
【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题.
5．设实数，满足条件且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．A
【解析】对分成三种情况进行分类讨论，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意成立，故.由于，所以且.
当时，，当且仅当时，等号成立.
当时，，当且仅当时，等号成立.
综上所述，由于，所以的最小值为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
6．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．D
【分析】根据条件得，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】因为，所以
即
，当且仅当，即时，等号成立.
所以
故选:D.
7．已知正数满足， 则的最小值是( )
A．B．C．D．
7．B
【分析】利用不等式进行变型，转化为，所以原式
，结合基本不等式即可得到答案.
【详解】(当且仅当时取等号)

又因为已知正数满足，所以即
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值是
故选：B
【点睛】本题主要考查了不等式综合，利用基本不等式进行变型，然后还考查了导函数的应用，利用单调性求最值，属于较难题.
8．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若都是正数，且，则的最小值是3
C．若，则的最小值是2
D．若，则的最小值是4
8．ABD
【分析】由结合基本不等式求最值判断A；由，令则原式等价于结合基本不等式求最值判断B；由结合基本不等式求最值判断C；由题设，再应用“1”的代换求的最值，即可判断D；注意最值取值条件.
【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A正确；
由，则，且，
令，则，，
所以原式为，当且仅当，即时等号成立，B正确；
由且，则，故，当且仅当时等号成立，
所以的最小值是4，C错误；
由题设，而，
又，当且仅当时等号成立，
所以，D正确.
故选：ABD
9．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
9．BC
【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；
【详解】，且，，
对于A，利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
，，故D错误；
故选：BC
10．已知，，且，则（ ）
A．的取值范围B．的取值范围是
C．D．的最小值是
10．CD
【分析】对A利用基本不等式构造，解出范围即可，同时注意的前提，对B构造得到最小值，同时注意，对C把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式情形即可，对D依然把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式情形即可求出最值.
【详解】因为,且,所以，
当且仅当时取等号，注意到，则解得,
即,所以的取值范围为，故A错误;
又,且仅当时取等号,
解得，又，故B错误，
由,得,
所以，，
所以，
当且仅当，即或，无法取到，故，故C正确；
，
,当且仅当,即时取等号,
此时取得最小值，故D正确.
故选：CD.
【点睛】本题对基本不等式需要达到灵活运用，利用基本不等式构建一元二次不等式求范围，分离常数构造满足基本不等式的情形求解最值，同时一定要注意取等条件是否能达到.
11．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为 .
11．
【分析】由已知可得，利用两元换一元及基本不等式即得．
【详解】由x2+xy=1，得，
所以，
当且仅当 时取等号.
故答案为：.
12．已知实数满足且，则的最小值为 .
12．
【解析】利用可得，由基本不等式可求右式的最小值，从而得到原代数式的最小值.
【详解】因为，，故，
故，
因为，故，由基本不等式有：
，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查在二元不等式条件下二元代数式的最小值，注意根据条件和目标代数式分母的特征构造能使用基本不等式的结构形式，本题属于中档题.
13．已知，，，且，则的最小值为 .
13．12
【分析】根据得到，对变形后利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为12.
故答案为：12.
14．已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为 ．
14．
【分析】由题意将通分，变形为关于(a＋b)和ab的式子，先求出ab的取值范围，设，再由基本不等式即可得解.
【详解】由基本不等式可得，
由题意，
设，，
则，
当且仅当时等号成立，
所以，的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查了基本不等式求最值的应用，考查了换元法的应用及运算求解能力，对条件合理变形是解题关键，属于中档题.
15．（1）9；（2）详见解析.
【分析】（1）根据条件可得，然后利用基本不等式可求出的最小值；
（2）由（1）可得，从而得到，然后可由，利用基本不等式求出的最小值，从而证明结论．
【详解】（1），，且，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为9；
（2）证明：由（1）可得，则，
，
，当且仅当，，时取等号，
．
15．（1）若，且，求的最小值；
（2）若k为（1）中的最小值，且a，b，c满足，类比（1）的方法求证：；
16．已知正实数满足
(1)求的最小值.
(2)求的最小值
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用换元法将式子化简为，再结合，利用基本不等式“1”的妙用即可求得其最小值；
（2）利用（1）中的换元法，将式子化简为，再结合，利用基本不等式“1”的妙用即可求得其最小值.
【详解】（1）因为，，
令，则，且，
所以，
当且仅当且，即，等号成立，
所以当且仅当时，，
故的最小值为.
（2）由（1）得，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以当且仅当时，，
故的最小值为.
17．已知（为常数，且，）.
（1）当，时，求证：；
（2）当时，如果对任意的都有恒成立.求证：.
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）分别在和两种情况下，利用基本不等式证得结论；
（2）将问题转化为，即的最小值的求解，通过配凑的方式得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值，进而整理得到结论.
【详解】（1）当，时，.
当时，（当且仅当即时取“”）；
当时，，（当且仅当，即时取“”）；
综上所述：；
（2）当时，对任意的都有恒成立，.
，（当且仅当即时取“”），
，
又，.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”.
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.