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人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念同步训练题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念同步训练题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
养成好习惯：
一、单选题
1．下列描述正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有5个元素；
（4）偶数集可以表示为.
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．设数集，且M、N中的元素也都是集合的元素，如果把叫做集合的“长度”，那么由集合M、N的公共元素组成的集合“长度”的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．若集合且}，则N中元素的个数为（ ）
A．9B．6C．4D．2
4．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个判断：
①若m=1，则S={1}； ②若m= ，则 ≤ l ≤ 1； ③ l=，则
其中正确判断的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．若必有则称集合为自倒关系集合．从集合中取一些元素组成新的集合，这些新的集合中具有自倒关系的集合个数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
7．下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生
8．当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．④⑤
三、填空题
9．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数为______个．
10．已知集合，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是______；
11．已知，集合中有且仅有三个整数，则实数的取值范围为________.
12．已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝______.
四、双空题
13．设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有____个．
14．已知集合至多有一个元素，则的取值范围_________；
若至少有一个元素，则的取值范围__________．
五、解答题
15．已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合．
16．已知集合，，试问集合与有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合．
17．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）求an=30时n的最大值.
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P2-5
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
1. 不等式系数含变量时，要考虑正负和零等不同情况；
2. 使用判别式的前提：方程是一元二次方程!
请将1-8题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
1.1 集合的概念
一、单选题
1．下列描述正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有5个元素；
（4）偶数集可以表示为.
A．0个B．1个C．2个D．3个
1．B
【分析】利用集合的确定性判断（1）；集合的元素的属性判断（2）；集合的元素的互异性判断（3）；集合的含义判断（4），即可得出正确选项.
【详解】对于（1），很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；
对于（2），集合中的元素为实数；
集合中的元素为点的坐标，
集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；
对于（3），这些数组成的集合中，
由于，，由集合元素的互异性，
集合中的元素不是5个，故不正确；
对于（4），偶数集可以表示为，正确，符合集合的含义；
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的特征，需理解并掌握集合的特征，属于基础题.
2．设数集，且M、N中的元素也都是集合的元素，如果把叫做集合的“长度”，那么由集合M、N的公共元素组成的集合“长度”的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．C
【详解】试题分析：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是，故选C．
考点：新定义；集合运算
3．若集合且}，则N中元素的个数为（ ）
A．9B．6C．4D．2
3．C
【详解】略
4．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个判断：
①若m=1，则S={1}； ②若m= ，则 ≤ l ≤ 1； ③ l=，则
其中正确判断的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．D
【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．
【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S.
对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；
对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对；
对于③，若l=，可得，则.∴③对
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.
5．若必有则称集合为自倒关系集合．从集合中取一些元素组成新的集合，这些新的集合中具有自倒关系的集合个数为（ ）
A．B．C．D．
5．D
【详解】试题分析：在自倒关系集合中，满足自倒关系的有-1，1，，，所以满足自倒关系的集合就是含有这4组元素的非空子集的个数，所以是，故选D．
考点：新定义
【易错点睛】本题考查了集合与元素的关系，以新定义的形式考察，属于中档题型，本题具有自倒关系的元素有-1，1，，，而容易出错就在有时会忽略了1和-1也具有自倒关系，本题渗透了集合的关系，体现了基础与应用性．
6．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．B
【解析】分别讨论的符号，然后对进行化简，进而求出集合A，最后根据集合元素的确定性即可得出答案.
【详解】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，.
故选：B.
【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.
7．下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生
7．BD
【分析】根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可
【详解】解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；
对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；
对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；
对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，
故选：BD
8．当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．④⑤
8．AD
【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证.
【详解】①当时，由数域的定义可知，
若，则有，即，
故①是真命题;
②当时，由数域的定义可知，
若，则有，即，
若，则，则，
则，故②是真命题；
③当时，，故③是假命题；
④若，则，且时,
，故④是真命题；
⑤，当且时，则，
因此只要这个数不为就一定成对出现，
所以有限数域的元素个数必为奇数，所以⑤是真命题.
故选：.
【点睛】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键，题目着重考查学生的构造性思维，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.
9．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数为______个．
9．3
【分析】分别对、进行赋值，求出的所有可能取值即可求解.
【详解】由题意，得当时，；
当且时，；
当且时，；
当且时，；
所以含有的元素有：1、2、，
即中元素个数为3个.
故答案为：3.
10．已知集合，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是______；
10．
【分析】根据中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解．
【详解】解：若中至少有一个元素，则方程至少有一个解．
当时，方程等价为，即，满足条件．
当，判别式，解得且．
综上所述，的取值范围为，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查元素和集合之间关系的应用，利用一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．
11．已知，集合中有且仅有三个整数，则实数的取值范围为________.
11．
【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为，，
三种情况讨论，求的取值范围.
【详解】 ， ，所以集合里的元素一定有1，
集合有3个元素，
当集合是时，有 ，集合是空集；
当集合是时，有 ，解得： ；
当集合是时，有 ，集合是空集；
综上：的取值范围是
故答案为
【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.
12．已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝______.
12．－4或0
【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.
【详解】当时，当时，则，
当时，则，
即当时，；当时，；所以，
当时，；当时，，所以，
因此有；
当时，当时，则，
当时，则，
即当时，；当时，；所以，
当时，；当时，，所以，
因此有，
当时，同理可得无解，
综上所述：实数t的值为－4或0，
故答案为：－4或0
【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键.
13．设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有____个．
13． 5 6
【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；
②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可.
【详解】解：①对于1，，则1不是“孤立元”；
对于2，，且，则2不是“孤立元”；
对于3，，则3不是“孤立元”；
对于5，，且，则5是“孤立元”；
②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，
所以由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6个，
故答案为：5；6.
14．已知集合至多有一个元素，则的取值范围_________；
若至少有一个元素，则的取值范围__________．
14．
【详解】由题意可知:
当A中仅有一个元素时, ,或,解得: ,;
当A中有0个元素时, ,解得: ;
当A中有两个元素时, ,解得: ;
所以,集合A至多有一个元素时的取值范围为: ,或;
集合A至少有一个元素时的取值范围为: .
【点睛】本题考查的集合中元素的个数问题．在解答时,首先应将集合的元素个数问题转化为一元二次方程的根的个数问题,二次项系数为字母时，要讨论字母为0和字母不为0，在字母不为0时则要讨论判别式等于0，大于0，小于0时一元二次方程的根的个数问题．
15．已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合．
15．.，，
【分析】当时化方程为．由判别式为0得，当时，当时，验证有唯一实数解，由此能求出结果．
【详解】当时，化方程为．
方程有唯一实数根，
由判别式为零可得，得，
此时的解为，符合题意．
当时，有唯一实数解．
当时，有唯一实数解．
，，．
16．已知集合，，试问集合与有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合．
16．有个相同的元素，.
【分析】根据集合、中描述列举出这两个集合中的元素，可得出两集合相同元素的个数，并得出由这两个集合中相同元素组成的集合.
【详解】对于集合，因为，，所以当时，；当时，；当时，．所以，．
所以集合与有个相同的元素，集合、的相同元素组成的集合为．
【点睛】本题考查列举法表示集合，正确理解集合元素所满足的特征是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
17．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）求an=30时n的最大值.
17．（1）{1，3，6}不具有，{1，3，4，12}具有；（2）证明见解析；（3）8
【分析】(1)根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证两集合集{1，3，6}与{1，3，4，12}中的任何两个元素的积、商是否为该集合中的元素；(2)运用反证法，结合A具有性质P，即可得证;(3)运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n的最大值.
【详解】（1）由于3×6与均不属于数集{1，3，6}，∴数集{1，3，6} 不具有性质P；
由于1×3，1×4，1×12，3×4，，都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，3，4，12} 具有性质P.
（2）证明：设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P，
即有对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
运用反证法证明.假设存在一个数ai不是an的因数，
即有aian与或，都不属于A，这与条件A具有性质P矛盾.
故假设不成立.
则对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）由（2）可知，均为的因数，
由于30=2×3×5，由组合的知识可知2，3，5都有选与不选2种可能.
共有2×2×2=8种，即n的最大值为8.
养成好习惯：
一、单选题
1．下列描述正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有5个元素；
（4）偶数集可以表示为.
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．设数集，且M、N中的元素也都是集合的元素，如果把叫做集合的“长度”，那么由集合M、N的公共元素组成的集合“长度”的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．若集合且}，则N中元素的个数为（ ）
A．9B．6C．4D．2
4．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个判断：
①若m=1，则S={1}； ②若m= ，则 ≤ l ≤ 1； ③ l=，则
其中正确判断的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．若必有则称集合为自倒关系集合．从集合中取一些元素组成新的集合，这些新的集合中具有自倒关系的集合个数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
7．下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生
8．当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．④⑤
三、填空题
9．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数为______个．
10．已知集合，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是______；
11．已知，集合中有且仅有三个整数，则实数的取值范围为________.
12．已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝______.
四、双空题
13．设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有____个．
14．已知集合至多有一个元素，则的取值范围_________；
若至少有一个元素，则的取值范围__________．
五、解答题
15．已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合．
16．已知集合，，试问集合与有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合．
17．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）求an=30时n的最大值.
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P2-5
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
1. 不等式系数含变量时，要考虑正负和零等不同情况；
2. 使用判别式的前提：方程是一元二次方程!
请将1-8题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
1.1 集合的概念
一、单选题
1．下列描述正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有5个元素；
（4）偶数集可以表示为.
A．0个B．1个C．2个D．3个
1．B
【分析】利用集合的确定性判断（1）；集合的元素的属性判断（2）；集合的元素的互异性判断（3）；集合的含义判断（4），即可得出正确选项.
【详解】对于（1），很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；
对于（2），集合中的元素为实数；
集合中的元素为点的坐标，
集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；
对于（3），这些数组成的集合中，
由于，，由集合元素的互异性，
集合中的元素不是5个，故不正确；
对于（4），偶数集可以表示为，正确，符合集合的含义；
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的特征，需理解并掌握集合的特征，属于基础题.
2．设数集，且M、N中的元素也都是集合的元素，如果把叫做集合的“长度”，那么由集合M、N的公共元素组成的集合“长度”的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．C
【详解】试题分析：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是，故选C．
考点：新定义；集合运算
3．若集合且}，则N中元素的个数为（ ）
A．9B．6C．4D．2
3．C
【详解】略
4．设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个判断：
①若m=1，则S={1}； ②若m= ，则 ≤ l ≤ 1； ③ l=，则
其中正确判断的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．D
【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．
【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S.
对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；
对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对；
对于③，若l=，可得，则.∴③对
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.
5．若必有则称集合为自倒关系集合．从集合中取一些元素组成新的集合，这些新的集合中具有自倒关系的集合个数为（ ）
A．B．C．D．
5．D
【详解】试题分析：在自倒关系集合中，满足自倒关系的有-1，1，，，所以满足自倒关系的集合就是含有这4组元素的非空子集的个数，所以是，故选D．
考点：新定义
【易错点睛】本题考查了集合与元素的关系，以新定义的形式考察，属于中档题型，本题具有自倒关系的元素有-1，1，，，而容易出错就在有时会忽略了1和-1也具有自倒关系，本题渗透了集合的关系，体现了基础与应用性．
6．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．B
【解析】分别讨论的符号，然后对进行化简，进而求出集合A，最后根据集合元素的确定性即可得出答案.
【详解】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，.
故选：B.
【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.
7．下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生
7．BD
【分析】根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可
【详解】解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；
对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；
对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；
对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，
故选：BD
8．当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．④⑤
8．AD
【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证.
【详解】①当时，由数域的定义可知，
若，则有，即，
故①是真命题;
②当时，由数域的定义可知，
若，则有，即，
若，则，则，
则，故②是真命题；
③当时，，故③是假命题；
④若，则，且时,
，故④是真命题；
⑤，当且时，则，
因此只要这个数不为就一定成对出现，
所以有限数域的元素个数必为奇数，所以⑤是真命题.
故选：.
【点睛】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键，题目着重考查学生的构造性思维，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.
9．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数为______个．
9．3
【分析】分别对、进行赋值，求出的所有可能取值即可求解.
【详解】由题意，得当时，；
当且时，；
当且时，；
当且时，；
所以含有的元素有：1、2、，
即中元素个数为3个.
故答案为：3.
10．已知集合，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是______；
10．
【分析】根据中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解．
【详解】解：若中至少有一个元素，则方程至少有一个解．
当时，方程等价为，即，满足条件．
当，判别式，解得且．
综上所述，的取值范围为，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查元素和集合之间关系的应用，利用一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．
11．已知，集合中有且仅有三个整数，则实数的取值范围为________.
11．
【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为，，
三种情况讨论，求的取值范围.
【详解】 ， ，所以集合里的元素一定有1，
集合有3个元素，
当集合是时，有 ，集合是空集；
当集合是时，有 ，解得： ；
当集合是时，有 ，集合是空集；
综上：的取值范围是
故答案为
【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.
12．已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝______.
12．－4或0
【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.
【详解】当时，当时，则，
当时，则，
即当时，；当时，；所以，
当时，；当时，，所以，
因此有；
当时，当时，则，
当时，则，
即当时，；当时，；所以，
当时，；当时，，所以，
因此有，
当时，同理可得无解，
综上所述：实数t的值为－4或0，
故答案为：－4或0
【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键.
13．设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有____个．
13． 5 6
【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；
②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可.
【详解】解：①对于1，，则1不是“孤立元”；
对于2，，且，则2不是“孤立元”；
对于3，，则3不是“孤立元”；
对于5，，且，则5是“孤立元”；
②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，
所以由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6个，
故答案为：5；6.
14．已知集合至多有一个元素，则的取值范围_________；
若至少有一个元素，则的取值范围__________．
14．
【详解】由题意可知:
当A中仅有一个元素时, ,或,解得: ,;
当A中有0个元素时, ,解得: ;
当A中有两个元素时, ,解得: ;
所以,集合A至多有一个元素时的取值范围为: ,或;
集合A至少有一个元素时的取值范围为: .
【点睛】本题考查的集合中元素的个数问题．在解答时,首先应将集合的元素个数问题转化为一元二次方程的根的个数问题,二次项系数为字母时，要讨论字母为0和字母不为0，在字母不为0时则要讨论判别式等于0，大于0，小于0时一元二次方程的根的个数问题．
15．已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合．
15．.，，
【分析】当时化方程为．由判别式为0得，当时，当时，验证有唯一实数解，由此能求出结果．
【详解】当时，化方程为．
方程有唯一实数根，
由判别式为零可得，得，
此时的解为，符合题意．
当时，有唯一实数解．
当时，有唯一实数解．
，，．
16．已知集合，，试问集合与有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合．
16．有个相同的元素，.
【分析】根据集合、中描述列举出这两个集合中的元素，可得出两集合相同元素的个数，并得出由这两个集合中相同元素组成的集合.
【详解】对于集合，因为，，所以当时，；当时，；当时，．所以，．
所以集合与有个相同的元素，集合、的相同元素组成的集合为．
【点睛】本题考查列举法表示集合，正确理解集合元素所满足的特征是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
17．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）求an=30时n的最大值.
17．（1）{1，3，6}不具有，{1，3，4，12}具有；（2）证明见解析；（3）8
【分析】(1)根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证两集合集{1，3，6}与{1，3，4，12}中的任何两个元素的积、商是否为该集合中的元素；(2)运用反证法，结合A具有性质P，即可得证;(3)运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n的最大值.
【详解】（1）由于3×6与均不属于数集{1，3，6}，∴数集{1，3，6} 不具有性质P；
由于1×3，1×4，1×12，3×4，，都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，3，4，12} 具有性质P.
（2）证明：设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P，
即有对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
运用反证法证明.假设存在一个数ai不是an的因数，
即有aian与或，都不属于A，这与条件A具有性质P矛盾.
故假设不成立.
则对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）由（2）可知，均为的因数，
由于30=2×3×5，由组合的知识可知2，3，5都有选与不选2种可能.
共有2×2×2=8种，即n的最大值为8.
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