高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式练习题

这是一份高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式练习题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

养成好习惯
一、单选题
1．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或，
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或 D．
4．设，表示不超过的最大整数，且，则方程（ ）
A．方程无实根B．方程存在整数解
C．方程存在无理数根D．方程有两个以上有理数根
5．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、 从小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
6．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． {x│-134 < x < 3}B． {x│-3< x < 134}
C． {x│x < 134}D． {x│x}3}
7．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的
最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题
8．已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B．C．D．
9．已知关于的不等式解集为，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集为
10．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集可以表示为形式
C．若不等式的解集恰为，则或
D．若不等式的解集恰为，则
三、填空题
11．不等式对一切实数都成立，则实数的范围是 .
12．对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
13．若对恒成立，则实数的取值范围为 .
14．已知不等式，若对任意x∈{x│1≤ x≤2}且y∈{y│2≤ x≤3}，该不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知不等式的解集为.
(1)求实数a和t的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数c的取值范围.
16．已知命题是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17．解不等式.
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P50-54
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-ba, x1x2=ca;
请将1-10题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
1．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或，
1．C
【分析】根据分式不等式即可求解.
【详解】不等式等价于，等价于，解集为．
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．D
【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合并集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，即，
又因为，所以.
故选：D.
3．已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
3．D
【分析】应用基本不等式“1”的代换求题设不等式左式的最小值，根据恒成立有，即可求的取值范围.
【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，
要使恒成立，则，可得.
故选：D
4．设，表示不超过的最大整数，且，则方程（ ）
A．方程无实根B．方程存在整数解
C．方程存在无理数根D．方程有两个以上有理数根
4．C
【分析】根据定义，方程可转化为，分析方程左边，可知为整数，原方程有根转化为，讨论此方程根的情况，注意检验原方程即可得出结论.
【详解】
方程可化为，
即， （1）
由此可知是整数，令，
则. （2）
方程（2）当且仅当时，为有理数时，方程才有有理根，此时，
而显然不是（1）的根，由此可知，方程（1）若有实根必为无理根，
取代入（2）得：，
，取，则，
经检验，知是方程（1）的根，
所以有根，且为无理根，
故选：C
【点睛】本题主要考查了取整函数的理解，方程的转化，判别式确定二次方程根的解，属于难题.
5．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
5．A
【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.
【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
6．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是
A． {x│-134 < x < 3}B． {x│-3< x < 134}
C． {x│x < 134}D． {x│x}3}
6．A
【解析】可将不等式转化为至少有一个负数解，再结合图形确定临界点，即可求解
【详解】由题，可将在上有解转化为至少有一个负数解，
构造，画出图形，如图：
当时，与相交于点，要使与相交于轴左侧，则需满足，
在函数不断左移的过程中，若与左侧曲线相切，则有，对应的，
解得，则，
综上所述，
故选：A
【点睛】本题考查二次不等式的等价转化，绝对值函数和二次函数的应用，属于中档题
7．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
7．B
【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解.
【详解】设（），（），
因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
由不等式恒成立，得：或，
即当时，恒成立，
当时，恒成立，
所以当时，，则，即，
则当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
8．已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
8．ABD
【分析】先求出的充要条件，再对照四个选项一一判断.
【详解】由命题：，．
故命题成立的一个充分条件是的子集，
对照四个选项，ABD符合要求.
故选：ABD．
9．已知关于的不等式解集为，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集为
9．BCD
【分析】利用二次不等式的解集的性质可得，，且是方程的两个不等实根，再利用韦达定理即可得解.
【详解】对于A，因为不等式解集为，所以，故A错误；
对于B，易得是方程的两个不等实根，所以，
又，所以，故B正确；
对于C，令，满足，则可化为，故C正确；
对于D，由选项AB分析可得，即，又，
所以可化为，故，解得，
即的解集为，故D正确.
故选：BCD.
10．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集可以表示为形式
C．若不等式的解集恰为，则或
D．若不等式的解集恰为，则
10．AD
【分析】A. 假设有解，求判别式可得b的范围；
B项作图，即可得到；
对于C、D两项，由题目可转化为，二次函数的给定范围与函数值范围相同，则应有，即可解得b的值，然后检验a的值即可.
【详解】A选项，若 有解，即有解，
则有，，
所以，.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为；
B选项，作出的图象以及y=a，y=b的图象.由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成；
C，D选项：因为不等式的解集恰为，即可以转化为二次函数在上的取值是.
则必有，即，解得，或.
又因为在R上的最小值为，则应有且.
当时，有.
即，解得，或，与不相符，舍去；
当时，有.
即，解得，a=0或a=4（舍去）.
所以，a=0,b=4.
故选：AD.
11．不等式对一切实数都成立，则实数的范围是 .
11．
【分析】分析可知，不等式对一切实数都成立，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】不等式可变形为,
由不等式对一切实数都成立，
，即，解得.
故答案为：.
12．对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
12．.
【分析】首先将题意转化为，再求出，解不等式即可.
【详解】对于，不等式恒成立，
等价于即可.
因为，
所以，解得：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了转化的思想，属于中档题.
13．若对恒成立，则实数的取值范围为 .
13．
【解析】根据绝对值定义，将不等式转化为两个不等式恒成立问题，最后求交集得结果.
【详解】因为对恒成立，
当时，或恒成立，
因此；
当时，恒成立，
因此；
综上：
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立、绝对值定义，考查综合分析求解能力，属较难题.
14．已知不等式，若对任意x∈{x│1≤ x≤2}且y∈{y│2≤ x≤3}，该不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
14．
【详解】试题分析：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥-2()2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令 t=，则1≤t≤3，∴a≥t-2t2在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t2+t=-2(t-)2+
∴ymax=-1，
∴a≥-1．
考点：主要主要考查函数恒成立问题，分离参数法的应用，二次函数在闭区间上的值域．
点评：中档题，本题综合性较强．一般的，函数恒成立问题，往往要转化成求函数的最值问题．分离参数法是处理此类问题的常用方法．
15．已知不等式的解集为.
(1)求实数a和t的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数c的取值范围.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由题意为方程的两根，结合韦达定理，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时，用开口方向和判别式控制，列出不等式，即得解
(1)
由题意为方程的两根
则，可得
(2)
由（1）得，恒成立
当时，，不等式恒成立；
当时，
解得：
综上：
故实数c的取值范围是
16．已知命题是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，由此得解；
（2）先由必要不充分条件的性质得到集合是集合的真子集，再分类讨论得到解集，从而列不等式求得的取值范围.
【详解】（1）因为命题是假命题，
所以命题是真命题，
所以在上恒成立，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
所以，即，故.
（2）因为是的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，又，
因为对应的方程的根为或，
当，即时，由得，则，
所以，则，故；
当，即时，由得，显然，即，满足题意；
当，即时，由得，则，
所以，则，故；
综上：，即.
17．解不等式.
17．当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
【分析】需要分类讨论，先讨论，和，时，相应方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集，时，相应方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类．
【详解】当，原不等式等价于，解得．
当时，原不等式
1）当时，原不等式，此时，原不等式解集为
2）当时，原不等式
①当，即时，原不等式解集为
②当，即时，易得原不等式解集为
③当，即时，易得原不等式解集为
综上所述得：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【点睛】思路点睛：本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论，分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小．