人教A版（2019）必修第二册第6章平面向量及其应用章末重难点归纳总结(原卷版+解析)

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第6章 平面向量及其应用 章末重难点归纳总结考点一 平面向量的概念【例1】（2023·高一课时练习）下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④若，，则；⑤若，，；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑦任何一个非零向量都可以平行移动．其中，假命题的个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【一隅三反】1．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（    ）A． B． C． D．2．（2023广东深圳）（多选）给出下列命题正确的是（    ）A．空间中所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若满足，且同向，则D．对于任意向量，必有3．（2022福建福州）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（　　　）A．若 ，则 或B．若向量 是向量 的相反向量，则C．在正方体 中， D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则考点二 平面向量的运算【例2-1】（2022甘肃甘南）已知的重心为O，则向量（    ）A． B． C． D．【例2-2】（2023·四川绵阳）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（    ）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·高一课时练习）对于非零向量与，下列不等式中恒成立的是（    ）A．； B．； C．； D．．2．（2023·高一课时练习）己知，，且与的夹角为，则________．3．（2022·四川德阳）已知,是单位向量，且，若，那么当时，______．4．（2023·高一课时练习）给出下列等式：①；②；③；④．其中等式成立的个数为________．考点三 平面向量运算的坐标表示【例3-1】（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，，则下列结论不正确的是（    ）A． B． C． D．【例3-2】（2023·安徽）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（    ）A．B．若，则的值为C．若，则的值为D．若，则与的夹角为锐角【例3-3】（广东省佛山市2023届）（多选）已知点、、、，则（    ）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）（多选）已知，则（    ）A． B．C． D．2．（2022秋·广西）（多选）下列命题正确的是（    ）A．已知，则向量在方向上的投影向量的长度为4B．若向量的夹角为钝角，则C．若向量满足，则或D．设是同一平面内两个不共线的向量，若，则可作为该平面的一个基底3．（2023江苏南京）（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为C．与共线的单位向量只有一个为D．存在，使得考点四 平面向量的基本定理【例4-1】（2023·四川绵阳）如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（    ）A．1 B．2 C． D．【例4-2】（2022重庆南岸）如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（    ）．A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023河北石家庄）中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（    ）.A． B． C． D．2（2023·湖南永州）设为所在平面内一点，，则（    ）A． B．C． D．3．（2023·郑州）在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（    ）A． B． C． D．4．（2022上海）在中，为直线上的任意一点，为的中点，若，则（    ）A． B． C． D．5．（2022秋·河南）如图，在平行四边形中，，，点为与的交点，则（    ）A． B． C． D．考点五 正余弦定理【例5-1】（2022广东深圳）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．的面积为【例5-2】（2022春·广西百色·高一校考期中）（多选）在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）A．，有唯一解B．，无解C．，有两解D．，有唯一解【一隅三反】1．（2022秋·河北张家口）（多选）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）已知是的内角，分别是其对边长，向量，，．(1)求角的大小；(2)若，，求的长．3．（2022山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知的三个角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，求的面积的最大值．第6章 平面向量及其应用 章末重难点归纳总结考点一 平面向量的概念【例1】（2023·高一课时练习）下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④若，，则；⑤若，，；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑦任何一个非零向量都可以平行移动．其中，假命题的个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若，方向不确定，则不一定相同，∴②错误；对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，若，，，当时，不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；对于⑦，任何一个非零向量都可以平行移动，∴⑦正确；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选：C.【一隅三反】1．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误；对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确；对于③，当时，可以为任意实数，③错误；对于④，当时，，此时可以不共线，④错误；对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.故选：A.2．（2023广东深圳）（多选）给出下列命题正确的是（    ）A．空间中所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若满足，且同向，则D．对于任意向量，必有【答案】BD【解析】对于A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；对于B：根据相反向量的定义可知B正确；对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；对于D：根据三角形三边关系知正确；故选：BD.3．（2022福建福州）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（　　　）A．若 ，则 或B．若向量 是向量 的相反向量，则C．在正方体 中， D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则【答案】BCD【解析】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；对于选项C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C正确；对于选项D：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D正确.故选：BCD.考点二 平面向量的运算【例2-1】（2022甘肃甘南）已知的重心为O，则向量（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以.故选：C.【例2-2】（2023·四川绵阳）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：B.【一隅三反】1．（2023·高一课时练习）对于非零向量与，下列不等式中恒成立的是（    ）A．； B．； C．； D．．【答案】B【解析】设非零向量与的夹角为，则，，则故选：2．（2023·高一课时练习）己知，，且与的夹角为，则________．【答案】【解析】.故答案为：.3．（2022·四川德阳）已知,是单位向量，且，若，那么当时，______．【答案】【解析】因为,是单位向量，所以，当时，，所以，所以，所以，所以，解得.故答案为：.4．（2023·高一课时练习）给出下列等式：①；②；③；④．其中等式成立的个数为________．【答案】【解析】对于①，，①正确；对于②，，，②正确；对于③，，③错误；对于④，，④正确；等式成立的个数为.故答案为：.考点三 平面向量运算的坐标表示【例3-1】（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，，则下列结论不正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】设，因为向量，，则，解得，所以，对于A，因为，故A错误；对于B，因为，故与不共线，故B错误；对于C，，所以，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D错误.故选：ABD..【例3-2】（2023·安徽）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（    ）A．B．若，则的值为C．若，则的值为D．若，则与的夹角为锐角【答案】AC【解析】因为，所以选项A说法正确；因为，所以，所以选项B说法不正确；因为，所以，所以选项C说法正确；当时，，所以，因此选项D说法不正确，故选：AC【例3-3】（广东省佛山市2023届）（多选）已知点、、、，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】对于A选项，，，则，故，A对；对于B选项，，所以，，B对；对于C选项，，所以，，C对；对于D选项，，则，D错.故选：ABC.【一隅三反】1．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）（多选）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，，，与不垂直，A不正确；对于B，，有，B正确；对于C，，有，C不正确；对于D，，由选项C知，，D正确.故选：BD2．（2022秋·广西）（多选）下列命题正确的是（    ）A．已知，则向量在方向上的投影向量的长度为4B．若向量的夹角为钝角，则C．若向量满足，则或D．设是同一平面内两个不共线的向量，若，则可作为该平面的一个基底【答案】ABD【解析】对于选项A，因为，所以向量在方向上的投影向量的长度为，A正确；对于选项B，因为向量的夹角为钝角，所以，所以，B正确；对于选项C，当时，，但且，C错误；对于选项D，假设共线，则，又，所以，因为不共线，所以，方程组无解，故假设错误，即不共线，所以可作为该平面的一个基底，D正确；故选：ABD.3．（2023江苏南京）（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为C．与共线的单位向量只有一个为D．存在，使得【答案】BD【解析】A选项，若，则，，A选项错误.B选项，在上的投影向量为，所以， ，由于，所以，B选项正确.C选项，与共线的单位向量可以是，即和，所以C选项错误.D选项，若，则，，，，其中，所以，由于，，则当时，，所以存在，使得，D选项正确.故选：BD考点四 平面向量的基本定理【例4-1】（2023·四川绵阳）如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】在边长为2的等边中, BD为中线，则故选：A【例4-2】（2022重庆南岸）如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因为P是上一点，故可设，因为M是边上的中点，所以，所以，，又，所以，故，所以，所以，因为，，，所以，所以，故选：D.【一隅三反】1．（2023河北石家庄）中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（    ）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因为点M是BC的中点，所以，故，则，故，因为三点共线，所以存在使得，即，则，所以，解得：.故选：A2（2023·湖南永州）设为所在平面内一点，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意作上图，则 ；故选：D.3．（2023·郑州）在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，连接则，∴，，则.故选：A.4．（2022上海）在中，为直线上的任意一点，为的中点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为的中点，且，所以所以，且，，三点共线，所以，则．故选：A．5．（2022秋·河南）如图，在平行四边形中，，，点为与的交点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，知，分别为，的中点.如图，设与的交点为，易得，所以，所以.因为点是的中点，所以.由，，三点共线知，存在，满足.由，，三点共线知，存在，满足.所以.又因为，为不共线的非零向量，所以，解得，所以.故选：.考点五 正余弦定理【例5-1】（2022广东深圳）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．的面积为【答案】BC【解析】由题设，则，即，故，所以不为钝角，否则、都为钝角，则，又，即，整理得，故，，且为三角形内角，则，综上，的面积，故A、D错误，B、C正确.故选：BC【例5-2】（2022春·广西百色·高一校考期中）（多选）在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）A．，有唯一解B．，无解C．，有两解D．，有唯一解【答案】AD【解析】选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；选项，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.故选：AD.【一隅三反】1．（2022秋·河北张家口）（多选）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；对于B，因为，所以由正弦定理得，因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；对于C，因为，所以由正弦定理得，即，因为，所以有两解（，或，），故C正确；对于D，因为，所以由正弦定理得，由于，故，所以只有一解，故D错误；故选：BC2．（2023·全国·高一专题练习）已知是的内角，分别是其对边长，向量，，．(1)求角的大小；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2）解：在中，，，，又∴．由正弦定理知：，∴，∴．3．（2022山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知的三个角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）由题意可得，由正弦定理，得．又，则．∵，∴．又，∴．（2）∵，由余弦定理，得，即∵，∴．∴，当且仅当时等号成立∴，故的面积S的最大值为．