初中数学浙教版（2024）八年级上册2.8 直角三角形全等的判定学案设计

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级上册2.8 直角三角形全等的判定学案设计，共10页。


课题
直角三角形全等的判定
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
掌握直角三角形全等的判定定理HL定理；
2.理解并掌握角平分线的性质定理的逆定理．
重点
直角三角形全等的判定的方法“HL”
难点
直角三角形判定方法的说理过程.
学法
探究法
教法
讲授法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾旧知
三角形全等的判定定理有哪些?
SSS:三组对应边分别相等的两个三角形全等
SAS:有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
ASA:有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
AAS:”有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等
回忆思考
回忆过去已经掌握的知识，为本课学习奠定基础
思考探索
有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？
不全等.理由如下：
如图△ABC与△ABD中，
AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，
但△ABC与△ABD不全等；
如果这个角是直角呢?
全等
证明你的结论
思考回答问题
引导学生思考
讲授新课
已知Rt△ABC和Rt△A´B´C´中，AC’=AC’,AB=A’B’.
证明Rt△ABC≌Rt△A´B´C´
证明一
∵Rt△ABC和Rt△A´B´C´
∴BC2=AB2 - AC2
B´C´2=A´B´2 - A´C´2
又∵AC=AC,AB=AB.
∴BC=B´C´
在△ABC和△A´B´C´中
AB=A´B´
AC=A´C´
BC= B´C´
∴△ABC≌△A´B´C´( SSS )
证明二
∵∠ACB=∠A’B’C’=90 °
∴B，C，B’在同一直线上，
AC⊥BB’
∵AB=A'B'
∴BC=B'C'（等腰三角形三线合一）
∵AC=A'C'（公共边）
∴RtΔABC≌RtΔA'B'C'（SSS）
直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写：“斜边、直角边”或“HL”
几何语言：
在Rt△ABC与Rt△A´B´C´中
AB=A´B´
AC=A´C´
（或BC= B´C´）
观察发现
通过学生观察发现得出
即时演练
如图，已知∠A=∠D=90°，E,F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE=OF
证明：（1）∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF；即BF=CE.
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BF=CE
AB=CD
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE(已证).
∴∠AFB=∠DEC
∴OE=OF
做练习
及时练习，巩固所学
做一做
已知线段a，c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90° ，一直角边CB=a，斜边AB=c.
画法：1.画∠MCN=90 °.
2.在射线CM上取CB=a.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB .
△ABC就是所要画的直角三角形.
动手实践
培养作图能力
例题讲解
例如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=Rt∠
又∵OP=OP（公共边），PD=PE（已知）
∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL )
∴∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上
听课思考
讲解例题，明白题型
讲授新知
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴OP平分∠AOB（或∠1= ∠2）
（角平分线的性质）
听课
讲授角平分线的性质
即时演练
如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，且BE=CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：在Rt△DEB和Rt△DFC中，
BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
练习
及时练习，巩固所学
达标测评
1.如图，△ABC与△ADC中，∠B=∠D=90°，要使△ABC≌△ADC，还需添加的一个条件是______________（写一个即可）．
解：已知∠B=∠D，AC是公共边，故添加CB=CD.AB=AD.∠1=∠2.∠3=∠4后可分别根据HL，AAS，AAS能判定△ABC≌△ADC．
2.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ C ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三边的垂直平分线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条高所在直线的交点
∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选C．
3.三条公路两两相交，现在决定在三角形区内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处？请画出图形
如图所示：
（1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；
（2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，
故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．
4.如图：在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD，CE相交于F
求证：AF平分∠BAC
证明：
∵BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠ADB＝∠AEC＝90
∵∠BAD＝∠CAE,AB＝AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AE＝AD
∵AF＝AF
∴△ADF≌△AEF（HL）
∴∠BAF＝∠CAF
∴AF平分∠BAC
5.已知：如图，E，B，F，C四点在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：∠E=∠C．
证明：∵BE=FC，
∴BE+BF=FC+BF，即EF=BC，
∵∠A=∠D=90°，
在RT△ABC和RT△DFE中，
EF＝CB
AB＝DF
∴△ABC≌△DFE（HL），
∴∠E=∠C．
做题
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B.C在DE的同侧（如图①所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B.C在DE的两侧（如图②所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
AB=AC
AD=CE
∴Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠EAC，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
思考练习
拓展思维
课堂小结
这节课我们学习了：
直角三角形全等的判定定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2.角平分线的性质
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
回忆总结
带领学生回忆本课所学