【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第14讲《直角三角形全等的判定》预习讲学案

第14讲 直角三角形全等的判定

一、判定直角三角形全等的一般方法

由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.

二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.

要点：

（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.

例1．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（     ）

A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC

例2．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（       ）

A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等

C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等

例3．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠BAD的度数是(        )

A．90° B．60° C．30° D．15°

例4．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）

A． B．

C． D．

例5．如图，是的平分线上一点，于，于，下列结论中不正确的是（       ）

A． B．

C． D．

例6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）

A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定

例7．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

例8．如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当__________时，和全等．

例9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE=DC．若AB=5，AC=3，则EB=____．

例10．如图，，，点，，，分别在直线与上，点在上，，，，则________．

例11．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积_________．

例12．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为____．

一、单选题

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C

2．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（       ）

A．SAS B．SSS C．ASA D．HL

3．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（　　）

A．E为BC中点 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE

4．如图，在△ABC中，，，D为BC延长线上一点，点E在AC上，．若，则∠BAD的度数为（       ）

A． B． C． D．

5．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（　　）

A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°

C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°

6．如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（　　）

A． B．2 C． D．4

7．如图，ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝（　　）

A．70° B．75° C．60° D．65°

8．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AE＝AF；④∠ADE＝∠ADF，其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（       ）

A．4 B． C．5 D．

10．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（       ）

A．1 B． C．2 D．3

二、填空题

11．如图，在中，于点D，要使，若直接根据“”判定，还需要再添加的一个条件是__________．

12．如图，于E，AD平分，，cm，cm，则______．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是______．

14．如图，，于点，于点，，若，则=____．

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，满足BC＝BD，过点D做DE⊥AB交AC于点E．△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，DE＝4，则四边形BCED的面积为____．

16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝____________cm．

17．如图，在中，，，平分，，，则的周长为________．

18．如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．

三、解答题

19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．若CD＝3，则求CE的长．

20．已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．

21．在△ABC中，AB＝CB，AB⊥CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：BE＝BF．

22．已知，如图，DN＝EM，且DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，BM＝CN，求证：∠B＝∠C．

23．如图，在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，，于点F，于点G，且，求证：//．

24．如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．

(1)求证：；

(2)如果，求的度数．

25．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．

26．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AD与EF相交于点M．

(1)求证：△ADE≌△ADF；

(2)求证：AD垂直平分EF．

27．如图所示，点E，F在BC上且．

(1)求证：；

(2)若PO平分，则PO与线段BC有什么关系?为什么?

28．已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证：

(1)；

(2)；

(3)．

29．如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为．

(1)求证：

①平分；

②．

(2)如图②，若，，．求的度数．