初中数学浙教版八年级上册2.8 直角三角形全等的判定精品达标测试

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知识提要
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
练习
选择题
1．到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的( D )
A．三条中线的交点
B．三条高线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条内角平分线的交点
[解析] D∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三角形三边距离相等的点是三条内角平分线的交点．故选D.
2.（2019春•雁塔区校级月考）下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（ A ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；
②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；
③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；
④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；
3．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再取BF的垂线DE，使点A，C，E在同一条直线上(如图所示)，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长．则判定△EDC≌△ABC的理由是( B )

A. SAS B. ASA C. SSS D. HL[来
4．如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定点P的方法中，正确的是( B )

A. P是∠BAC，∠ABC两角平分线的交点
B. P为∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点
C. P为AB，AC两边上的高线的交点
D. P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
5．已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.有下列条件：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.其中，能判定OC是∠AOB的平分线的有( D )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高线AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( B )

A. 2eq \r(,2) B. 4 C. 3eq \r(,2) D. 4eq \r(,2)
【解】B∵AD⊥BD，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD.
∵∠C＋∠DBF＝∠C＋∠DAC＝90°，
∴∠DBF＝∠DAC.
又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC(ASA)．
∴DF＝DC＝4.
7．如图，直线l1，l2，l3表示相交的道路，现要选定一个货物中转站，要求该站到三条道路的距离相等，可供选择的点有( D )

A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
【解】D如解图，作角平分线，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，
可知P1，P2，P3，P4都满足条件．
8. 已知：如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，垂足分别为B，D，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为( A )

A．1 B．2 C．5 D．无法确定
[解析]A 如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F.

∵∠EDF＋∠FDC＝90°，∠CDG＋∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠CDG.
又∵CD＝ED，∠DGC＝∠DFE＝90°，∴△DGC≌△DFE(AAS)，
∴EF＝CG＝3－2＝1，
∴S△ADE＝eq \f(1,2)AD·EF＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
9．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ C ）

A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③
【答案】C解：连接AP，

∵PR＝PS，∴AP是∠BAC的平分线，∴△APR≌△APS（HL）∴AS＝AR，①正确．
∵AQ＝PQ∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA∴QP∥AR，②正确．
BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．
如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（ B ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH＝∠ADB＝90°
∵∠HBD+∠BHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE∴∠HBD＝∠EAH
∵DH＝DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD＝AD，BH＝AC
②：∵BC＝AC∴∠BAC＝∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD＝AD
∴∠ABC＝45°∴∠BAC＝45°∴∠ACB＝90°
∵∠ACB+∠DAC＝90°，∠ACB＜90°∴结论②为错误结论．
③：由①证明知，△BDH≌△ADC∴BH＝AC
④：∵CE＝CD∵∠ACB＝∠ACB；∠ADC＝∠BEC＝90°∴△BEC≌△ADC
由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC∴结论④为错误结论
综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．
如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，
若∠B＝28°则∠AEC＝（ B ）
A．28°B．59°C．60°D．62°
【答案】B解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，
∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∵∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
二、填空题
1．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点F.若AD＝BD＝6 cm，则AF＋CD＝___6_____cm.

[答案] 6 [解析] 因为AD⊥BC，BE⊥AC(已知)，所以∠ADC＝∠BEC＝90°(垂直定义)，所以∠1＋∠C＝90°，∠2＋∠C＝90°(直角三角形两锐角互余)，所以∠1＝∠2(等量代换)，所以易证△ADC≌△BDF(ASA)，所以CD＝FD(全等三角形的对应边相等)，
故AF＋CD＝AF＋FD＝AD＝6 cm.
2．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ①②③ （填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
【答案】①②③解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD，
选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 0，2，6，8 秒时，△DEB与△BCA全等．

【答案】0，2，6，8 解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒）。
三、解答题
1．如图，已知BN为∠ABC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，
AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.

【解】 过点P作PE⊥射线BA于点E.
∵BN平分∠ABC，点P在BN上，PD⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PD，∠BEP＝∠BDP＝90°.
在Rt△PBE和Rt△PBD中，
∵PB＝PB，PE＝PD，∴Rt△PBE≌Rt△PBD(HL)，∴BE＝BD.
∵AB＋BC＝2BD，AB＝BE－AE，BC＝BD＋CD，
∴BE－AE＋BD＋CD＝2BD，∴AE＝CD.
在△PEA和△PDC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(PE＝PD，,∠PEA＝∠PDC，,AE＝CD，))∴△PEA≌△PDC(SAS)，
∴∠PAE＝∠PCD，即∠PAE＝∠BCP.
∵∠BAP＋∠PAE＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上．
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

【解】 (1)过点O作OM⊥AB于点M，连结AO.
∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC，OF⊥AC.
又∵BD平分∠ABC，OM⊥AB，OE⊥BC，
∴OM＝OE，∴OM＝OF.又∵AO＝AO，
∴Rt△AMO≌Rt△AFO(HL)，∴∠MAO＝∠FAO，
∴点O在∠BAC的平分线上．
(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13.又∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，CE＝CF＝OE，
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.易证BE＝BM，AF＝AM.
∵BM＋AM＝AB，∴BE＋AF＝13，
∴12－OE＋5－OE＝13，∴OE＝2
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.
求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DF＝DB，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF＝EB.
(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DC＝DE，,AD＝AD，))∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
4．如图所示，已知P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连结CD.
(1)∠PCD＝∠PDC吗？为什么？
(2)OP垂直平分线段CD吗？为什么？

解：(1)∠PCD＝∠PDC.理由：
∵OP是∠AOB的平分线，且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC.
(2)OP垂直平分线段CD.
理由：∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90°.
在Rt△POC和Rt△POD中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(PC＝PD，,OP＝OP，))∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，∴OC＝OD.
由PC＝PD，OC＝OD，可知O，P都是线段CD的垂直平分线上的点，
∴OP垂直平分线段CD.
5．如图①，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝CD.
(1)求证：BD平分EF；
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图②，其余的条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．

解：(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°.
∵AE＝CF，∴AF＝CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CD，,AF＝CE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.
在△GDE和△GBF中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EGD＝∠FGB，,∠DEG＝∠BFG＝90°，,DE＝BF，))∴△GDE≌△GBF(AAS)，
∴EG＝FG，即BD平分EF.
(2)结论仍成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°.
∵AE＝CF，∴AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CD，,AF＝CE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴BF＝DE.在△GDE和△GBF中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EGD＝∠FGB，,∠DEG＝∠BFG＝90°，,DE＝BF，))∴△GDE≌△GBF(AAS)，
∴EG＝FG，即BD平分EF。