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初中北师大版（2024）7 二次根式学案设计
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这是一份初中北师大版（2024）7 二次根式学案设计，共32页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
知识点一：二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.
知识点二：二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；
知识点三：二次根式的性质
1.二次根式（）的非负性
（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．
2.二次根式的性质：（）
3.二次根式的性质：
考点一：判断二次根式
例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（ ）
A．B．5C．D．
【变式1-2】（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个B．4个C．3个D．2个
考点二：根据二次根式的定义求字母的值
例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11B．12C．15D．19
【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2B．3C．8D．11
【变式2-2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0B．4C．5D．20
考点三：求二次根式的值
例3.（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．B．2C．D．
【变式3-3】当时，二次根式的值是（ ）
A．3B．2C．1D．
考点四：根据二次根式有意义条件求范围
例4.（23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（ ）
A．B．C．0D．
【变式4-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（ ）
A．全体实数B．C．D．
考点五：根据二次根式有意义求值
例5.（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则．
【变式5-1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为．
【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是．
【变式5-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则．
考点六：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
例6.（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简：．
【变式6-1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是．
【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为．
【变式6-3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式．
考点七：含隐含条件的参数范围化简二次根式
例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简：．
考点八：复杂的复合二次根式化简
例8.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：
．
请仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
【变式8-1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式8-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【变式8-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
一、单选题
1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如果二次根式有意义，那么a的值不能是（ ）
A．B．0C．D．9
2．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
5．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若二次根式有意义，则a的取值范围是，当时，二次根式的值是．
7．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知，，则化简的结果是．
8．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）若，化简二次根式．
9．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得．
10．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知是有理数，且，则化简的结果为．
三、解答题
11．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒
12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
(3)先化简，再求值：，其中．
13．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简．
例如：化简：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为的三边长．
化简：．
15．（22-23八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：．
例：化简．
解：首先把化为，这里，由于
即．
．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空：___________，___________；
(2)化简：写出计算过程
(3)化简：为正整数
第08讲二次根式
知识点一：二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.
知识点二：二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；
知识点三：二次根式的性质
1.二次根式（）的非负性
（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．
2.二次根式的性质：（）
3.二次根式的性质：
考点一：判断二次根式
例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键．
根据二次根式的定义逐项分析判断即可，
【详解】A．是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意；
B．，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意；
C．是二次根式，故该选项符合题意；
D．是三次根式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式．
【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式；
B. 5是整数，不是二次根式；
C. 是二次根式；
D. 是三次根式，不是二次根式；
故选C．
【变式1-2】（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义进行判断即可．
【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式．
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键．
【变式1-3】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式．
考点二：根据二次根式的定义求字母的值
例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11B．12C．15D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选：D．
【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2B．3C．8D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得：，解得，
又因为是整数，
∴是完全平方数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
【变式2-2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．
【详解】∵是一个整数,且m是正整数，,
∴m的最小值为3，此时的值是整数3.
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【变式2-3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0B．4C．5D．20
【答案】C
【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解：，
∵是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是5．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
考点三：求二次根式的值
例3.（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．
【详解】当时，
．
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可．
【详解】解：当时，
故选：B．
【变式3-2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可．
【详解】解：当时，原式，
故选：B．
【变式3-3】当时，二次根式的值是（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A
【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
考点四：根据二次根式有意义条件求范围
例4.（23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数非负得，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：B．
【变式4-1】（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴
∴．
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．
利用二次根式有意义的性质得到，运算后判断即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，C符合
故选：C．
【变式4-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（ ）
A．全体实数B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：；
故选C．
考点五：根据二次根式有意义求值
例5.（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键．
先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分．
【详解】解：由题意可得：，
则，
则，
，
，
则的小整数部分是2，小数部分是，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则．
【答案】25
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可；
【详解】解：由题意知：，
解得：，
，
，
故答案为：25；
考点六：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
例6.（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，，
∴中，，
∴，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是．
【答案】5
【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键.
根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果.
【详解】解：∵
∴.
故答案为：5
【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【变式6-3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式．
【答案】/
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键．
根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解．
【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，，
∴
，
故答案为：．
考点七：含隐含条件的参数范围化简二次根式
例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简．
【详解】∵，，
∴原式，
，
故选：．
【变式7-1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果．
【详解】
解：，与异号，
，，
，
则．
故选：C．
【变式7-2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案．
【详解】解：∵，
∴，故，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】根据题意有：，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
考点八：复杂的复合二次根式化简
例8.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：
．
请仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
（2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
【变式8-1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
【变式8-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【答案】(1)④，
(2)①；②
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第④步出现了错误，
故答案为：④，；
（2）解：①原式
；
②原式
．
【变式8-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．
（1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论
（2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可．
【详解】（1）
，
，
故答案为：，；
（2）．
一、单选题
1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如果二次根式有意义，那么a的值不能是（ ）
A．B．0C．D．9
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；二次根式有意义，则被开方数非负，由此即可判断．
【详解】解：由于二次根式有意义，则，
即负数使二次根式无意义；
故选：A．
2．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；
B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式；
C、，含有三次根号，不是二次根式；
D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式．
【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为2，
故选：A．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为．
先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
5．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质化简，根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：根据数轴可知，
，
原式
故选：B．
二、填空题
6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若二次根式有意义，则a的取值范围是，当时，二次根式的值是．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的值，由被开方数为非负数可得，再解不等式可得a的范围，再把代入计算即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：；
当时，；
故答案为：，
7．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知，，则化简的结果是．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．利用二次根式的性质化简()即可．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
8．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）若，化简二次根式．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．先将化成，再根据二次根式的非负性即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解．
【详解】解：∵，有意义，
∴，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知是有理数，且，则化简的结果为．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
将代入得，
，
故答案为：．
三、解答题
11．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒
【答案】(1)④，
(2)
【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可；
（2）仿照题意进行化简即可．
【详解】（1）解：①
②
③
④
，
∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为，
故答案为：④，；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键．
12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)小亮
(2)（或）
(3)；2030
【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质进行判断即可；
（2）根据二次根式的性质进行回答即可；
（3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的；
故答案为：小亮
（2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或），
故答案为：（或）
（3）原式，
，
，
原式
．
13．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简．
例如：化简：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据，确定后化简计算．
(2)根据，确定后化简计算．
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，
所以．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．
14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为的三边长．
化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义：
（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围；
（2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案；
（3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得答案．
【详解】解：（1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，
∴隐含条件，
解得：，
（2）∵，
，
∴
；
（2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
∴，，，
∴
．
15．（22-23八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：．
例：化简．
解：首先把化为，这里，由于
即．
．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空：___________，___________；
(2)化简：写出计算过程
(3)化简：为正整数
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（）利用题干中的方法解答即可；
（）利用题干中的方法解答即可；
（）利用题干中的方法将每个二次根式转化成两个二次根式的差后，利用加法的运算律解答即可．
【详解】（1）这里，
，
即：，
这里，
，
即：，
故答案为：；
（2）
这里，
，
即：，
（3）
．．．．．．，
原式．．．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简与性质，数字变化的规律，本题是阅读型题目，理解题干中的解题方法并熟练应用是解题的关键．
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解二次根式的概念；
2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解二次根式的概念；
2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。
知识点一：二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.
知识点二：二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；
知识点三：二次根式的性质
1.二次根式（）的非负性
（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．
2.二次根式的性质：（）
3.二次根式的性质：
考点一：判断二次根式
例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（ ）
A．B．5C．D．
【变式1-2】（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个B．4个C．3个D．2个
考点二：根据二次根式的定义求字母的值
例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11B．12C．15D．19
【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2B．3C．8D．11
【变式2-2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0B．4C．5D．20
考点三：求二次根式的值
例3.（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．B．2C．D．
【变式3-3】当时，二次根式的值是（ ）
A．3B．2C．1D．
考点四：根据二次根式有意义条件求范围
例4.（23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（ ）
A．B．C．0D．
【变式4-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（ ）
A．全体实数B．C．D．
考点五：根据二次根式有意义求值
例5.（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则．
【变式5-1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为．
【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是．
【变式5-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则．
考点六：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
例6.（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简：．
【变式6-1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是．
【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为．
【变式6-3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式．
考点七：含隐含条件的参数范围化简二次根式
例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简：．
考点八：复杂的复合二次根式化简
例8.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：
．
请仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
【变式8-1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式8-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【变式8-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
一、单选题
1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如果二次根式有意义，那么a的值不能是（ ）
A．B．0C．D．9
2．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
5．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若二次根式有意义，则a的取值范围是，当时，二次根式的值是．
7．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知，，则化简的结果是．
8．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）若，化简二次根式．
9．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得．
10．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知是有理数，且，则化简的结果为．
三、解答题
11．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒
12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
(3)先化简，再求值：，其中．
13．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简．
例如：化简：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为的三边长．
化简：．
15．（22-23八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：．
例：化简．
解：首先把化为，这里，由于
即．
．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空：___________，___________；
(2)化简：写出计算过程
(3)化简：为正整数
第08讲二次根式
知识点一：二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.
知识点二：二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；
知识点三：二次根式的性质
1.二次根式（）的非负性
（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．
2.二次根式的性质：（）
3.二次根式的性质：
考点一：判断二次根式
例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键．
根据二次根式的定义逐项分析判断即可，
【详解】A．是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意；
B．，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意；
C．是二次根式，故该选项符合题意；
D．是三次根式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式．
【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式；
B. 5是整数，不是二次根式；
C. 是二次根式；
D. 是三次根式，不是二次根式；
故选C．
【变式1-2】（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义进行判断即可．
【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式．
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键．
【变式1-3】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式．
考点二：根据二次根式的定义求字母的值
例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11B．12C．15D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选：D．
【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2B．3C．8D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得：，解得，
又因为是整数，
∴是完全平方数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
【变式2-2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．
【详解】∵是一个整数,且m是正整数，,
∴m的最小值为3，此时的值是整数3.
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【变式2-3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0B．4C．5D．20
【答案】C
【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解：，
∵是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是5．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
考点三：求二次根式的值
例3.（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．
【详解】当时，
．
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可．
【详解】解：当时，
故选：B．
【变式3-2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可．
【详解】解：当时，原式，
故选：B．
【变式3-3】当时，二次根式的值是（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A
【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
考点四：根据二次根式有意义条件求范围
例4.（23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数非负得，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：B．
【变式4-1】（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴
∴．
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．
利用二次根式有意义的性质得到，运算后判断即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，C符合
故选：C．
【变式4-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（ ）
A．全体实数B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：；
故选C．
考点五：根据二次根式有意义求值
例5.（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键．
先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分．
【详解】解：由题意可得：，
则，
则，
，
，
则的小整数部分是2，小数部分是，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则．
【答案】25
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可；
【详解】解：由题意知：，
解得：，
，
，
故答案为：25；
考点六：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
例6.（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，，
∴中，，
∴，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是．
【答案】5
【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键.
根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果.
【详解】解：∵
∴.
故答案为：5
【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【变式6-3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式．
【答案】/
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键．
根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解．
【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，，
∴
，
故答案为：．
考点七：含隐含条件的参数范围化简二次根式
例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简．
【详解】∵，，
∴原式，
，
故选：．
【变式7-1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果．
【详解】
解：，与异号，
，，
，
则．
故选：C．
【变式7-2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案．
【详解】解：∵，
∴，故，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】根据题意有：，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
考点八：复杂的复合二次根式化简
例8.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：
．
请仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
（2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
【变式8-1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
【变式8-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【答案】(1)④，
(2)①；②
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第④步出现了错误，
故答案为：④，；
（2）解：①原式
；
②原式
．
【变式8-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．
（1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论
（2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可．
【详解】（1）
，
，
故答案为：，；
（2）．
一、单选题
1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如果二次根式有意义，那么a的值不能是（ ）
A．B．0C．D．9
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；二次根式有意义，则被开方数非负，由此即可判断．
【详解】解：由于二次根式有意义，则，
即负数使二次根式无意义；
故选：A．
2．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；
B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式；
C、，含有三次根号，不是二次根式；
D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式．
【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为2，
故选：A．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为．
先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
5．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质化简，根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：根据数轴可知，
，
原式
故选：B．
二、填空题
6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若二次根式有意义，则a的取值范围是，当时，二次根式的值是．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的值，由被开方数为非负数可得，再解不等式可得a的范围，再把代入计算即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：；
当时，；
故答案为：，
7．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知，，则化简的结果是．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．利用二次根式的性质化简()即可．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
8．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）若，化简二次根式．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．先将化成，再根据二次根式的非负性即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解．
【详解】解：∵，有意义，
∴，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知是有理数，且，则化简的结果为．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
将代入得，
，
故答案为：．
三、解答题
11．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒
【答案】(1)④，
(2)
【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可；
（2）仿照题意进行化简即可．
【详解】（1）解：①
②
③
④
，
∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为，
故答案为：④，；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键．
12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)小亮
(2)（或）
(3)；2030
【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质进行判断即可；
（2）根据二次根式的性质进行回答即可；
（3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的；
故答案为：小亮
（2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或），
故答案为：（或）
（3）原式，
，
，
原式
．
13．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简．
例如：化简：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据，确定后化简计算．
(2)根据，确定后化简计算．
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，
所以．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．
14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为的三边长．
化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义：
（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围；
（2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案；
（3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得答案．
【详解】解：（1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，
∴隐含条件，
解得：，
（2）∵，
，
∴
；
（2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
∴，，，
∴
．
15．（22-23八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：．
例：化简．
解：首先把化为，这里，由于
即．
．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空：___________，___________；
(2)化简：写出计算过程
(3)化简：为正整数
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（）利用题干中的方法解答即可；
（）利用题干中的方法解答即可；
（）利用题干中的方法将每个二次根式转化成两个二次根式的差后，利用加法的运算律解答即可．
【详解】（1）这里，
，
即：，
这里，
，
即：，
故答案为：；
（2）
这里，
，
即：，
（3）
．．．．．．，
原式．．．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简与性质，数字变化的规律，本题是阅读型题目，理解题干中的解题方法并熟练应用是解题的关键．
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解二次根式的概念；
2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解二次根式的概念；
2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。
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