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北师大版（2024）八年级上册3 立方根学案
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这是一份北师大版（2024）八年级上册3 立方根学案，共31页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
知识点1：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点2：立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
考点一：立方根概念理解
例1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是的立方根B．是的立方根
C．是的立方根D．是的立方根
【变式1-1】（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是B．是27的负的立方根
C．的立方根是2D．的立方根是
【变式1-2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．是25的一个平方根B．的平方根是
C．的平方根是D．64的立方根是
【变式1-3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是B．的立方根是
C．的立方根是D．的立方根是
考点二：求一个数的立方根
例2.（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算：．
【变式2-1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）的立方根是．
【变式2-2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）81的算术平方根是；的立方根是；．
【变式2-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简；；；；
考点三：已知一个数的立方根，求这个数
例3.（23-24七年级下·四川广元·阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是．
【变式3-1】（23-24七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么．
【变式3-2】（17-18八年级上·全国·课后作业）若是的立方根，则的立方根是
【变式3-3】（22-23七年级下·甘肃陇南·期末）如果的立方根是，则．
考点四：立方根的性质
例4.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）若和互为相反数，则的值．
【变式4-1】（23-24七年级下·北京·期中）若和互为相反数，则．
【变式4-2】（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【变式4-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）一个正数的两个平方根分别是和，且，则，．
考点五：开立方运算中小数点移动规律
例5.（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则．
【变式5-1】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则．
【变式5-2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则．
【变式5-3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果，，
那么；．
考点六：利用开立方解方程
例6.（23-24七年级下·山西吕梁·期中）解方程
(1)
(2)
【变式6-1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组）
(1)
(2)
【变式6-2】（23-24七年级下·北京·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【变式6-3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值
(1)；
(2)．
考点七：平方根与立方根的综合
例7.（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2)的平方根．
【变式7-1】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的算术平方根．
【变式7-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
【变式7-3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)求的平方根．
考点八：立方根的应用
例8.（23-24七年级下·全国·假期作业）如图是一个体积为的长方体工件，其中表示的是它的长、宽、高，且，请你求出这个工件的表面积（结果精确到）．
【变式8-1】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知一个正方体木块的表面积为cm2．
(1)求这个正方体的棱长和体积；
(2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长．
【变式8-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【变式8-3】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
我有一个正方体的魔方，它的体积是
我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．
(1)求该魔方的棱长．
(2)求该长方体纸盒的长．
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）的立方根为（ ）
A．4B．C．2D．
2．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知是无理数，则a的值可以为（ ）
A．B．C．0D．8
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．8的立方根是B．没有立方根
C．的立方根等于的立方D．立方根等于本身的数只有0
4．（23-24七年级下·广东云浮·期中）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（16-17七年级上·浙江杭州·期中）如果，，那么约等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24七年级下·四川广安·期中）36的平方根是，的立方根是．
7．（23-24七年级下·天津南开·期中）若一个正数的两个平方根是和，则的立方根为．
8．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为．
9．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知，则的立方根是
10．（23-24七年级下·河北保定·期中）对于如下运算程序：
（1）若，则．
（2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是．
三、解答题
11．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值．
(1)
(2)．
12．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块．
(1)求每个小正方体木块的棱长；
(2)求这个大长方体木块的表面积．
13．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
14．（23-24七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求这个正数；
(3)求的算术平方根．
15．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)求．
①由，，可以确定是位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是，由此求得．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①，②．
第06讲立方根
知识点1：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点2：立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
考点一：立方根概念理解
例1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是的立方根B．是的立方根
C．是的立方根D．是的立方根
【答案】B
【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键，根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可．
【详解】解：，
是的立方根，故选项A、C、D均错误；B正确．
故选：B．
【变式1-1】（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是B．是27的负的立方根
C．的立方根是2D．的立方根是
【答案】C
【分析】本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于，那么这个数x就叫做a的立方根是解题的关键．
根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可．
【详解】解：A、的立方根是，故本选项错误，不合题意；
B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意；
C、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意；
D、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
【变式1-2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．是25的一个平方根B．的平方根是
C．的平方根是D．64的立方根是
【答案】A
【分析】本题考查了平方根和立方根，根据相关定义逐一判断即可．
【详解】解：A、是25的一个平方根，原说法正确，符合题意；
B、的平方根是，原说法错误，不符合题意；
C、没有平方根，原说法错误，不符合题意；
D、64的立方根是，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是B．的立方根是
C．的立方根是D．的立方根是
【答案】D
【分析】根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可．
【详解】、的立方根是，此选项错误，不符合题意；
、的立方根是，此选项错误，不符合题意；
、的立方根是，此选项错误，不符合题意；
、的立方根是，此选项正确，符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
考点二：求一个数的立方根
例2.（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算：．
【答案】/
【分析】本题考查求一个数的立方根．根据立方根的意义求出立方根即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式2-1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）的立方根是．
【答案】
【分析】本题考查立方根．根据立方根的意义求解即可．
【详解】解：因为，
所以的立方根为，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）81的算术平方根是；的立方根是；．
【答案】 9 2
【分析】本题主要考查了求一个数算术平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：81的算术平方根是9；的立方根是2；；
故答案为：9；2；．
【变式2-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简；；；；
【答案】 3 3
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根．解题的关键在于灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
【详解】解：，，，，
故答案为：3，，3，．
考点三：已知一个数的立方根，求这个数
例3.（23-24七年级下·四川广元·阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是．
【答案】0
【分析】本题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，其中分别利用了：求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方；求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数．
【详解】解：一个数的平方根与立方根相同，
这个数为0．
故答案为：0．
【变式3-1】（23-24七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么．
【答案】
【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：∵实数a的立方根是3，
∴，
故答案为：
【变式3-2】（17-18八年级上·全国·课后作业）若是的立方根，则的立方根是
【答案】
【分析】先求出的值，即可进一步求解．
【详解】解：∵是的立方根
∴
即
∴
的立方根是
故答案为：
【点睛】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键．
【变式3-3】（22-23七年级下·甘肃陇南·期末）如果的立方根是，则．
【答案】9
【分析】先根据立方根的定义求得x的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵的立方根是，
∴，解得：，
∴．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了立方根、代数式求值等知识点，根据立方根的知识列式求得是解答本题的关键．
考点四：立方根的性质
例4.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）若和互为相反数，则的值．
【答案】1
【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴
∴，
∴．
故答案为：1．
【变式4-1】（23-24七年级下·北京·期中）若和互为相反数，则．
【答案】1
【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴
∴，
∴．
故答案为：1．
【变式4-2】（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键；根据数轴可得：，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可．
【详解】由数轴可得：
∴
∴
∴
故答案为：．
【变式4-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）一个正数的两个平方根分别是和，且，则，．
【答案】 2 3
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式，得出的值，再求出的值，根据立方根的性质得出的值，再代入，即可作答．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2，3．
考点五：开立方运算中小数点移动规律
例5.（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，立方根扩大倍，被开方数扩大倍．根据被开方数的小数点向右移动6位则立方根的小数点向右移动2位，即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
【变式5-1】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据结合已知条件即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则．
【答案】
【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．
依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可．
【详解】若，
则，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果，，
那么；．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据立方根，算术平方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】解：，
；
故答案为：，．
考点六：利用开立方解方程
例6.（23-24七年级下·山西吕梁·期中）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的知识求解方程的解的知识，掌握平方根和立方根的求解方法是解答本题的关键．
（1）利用立方根的意义解方程即可；
（2）利用平方根的意义解方程即可．
【详解】（1）原式为，
解：
．
（2）原式为，
解：
即或
或．
【变式6-1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组）
(1)
(2)
【答案】(1)和
(2)
【分析】本题考查了考查实数的综合运算能力以及立方根和平方根的应用，熟练掌握立方根和平方根的运算是本题的关键．
（1）开平方得出两个一元一次方程，继而可得出x的值．
（2）化简后，两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出即可．
【详解】（1），
化简为：，
开平方得：，
即和，
解得：和．
（2），
移项得：，
开立方得：，
解得：．
【变式6-2】（23-24七年级下·北京·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，能把方程利用平方根和立方根转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据平方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可．
【详解】（1）
∴或
解得或；
（2）
解得．
【变式6-3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根求解方程，注意计算的准确性．
（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
解得：．
考点七：平方根与立方根的综合
例7.（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)的平方根是
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算．
（1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可；
（2）把，代入求出，然后求出的平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是，
∴，，
解得：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
【变式7-1】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键．
（1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可；
（2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可．
【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，，
，，，
，，；
（2）解：由（1）可知，，，，
，
的算术平方根是5．
【变式7-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)
【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键
（1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可；
（2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可．
【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数，
，，，
，；
（2）解：由（1）可知，，，；
，
的平方根是．
【变式7-3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键．
（1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值；
（2）将的值代入代数式，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根，
∴，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的整数部分为3，
∴；
（2）解：由（1）
∴，
∴的平方根是．
考点八：立方根的应用
例8.（23-24七年级下·全国·假期作业）如图是一个体积为的长方体工件，其中表示的是它的长、宽、高，且，请你求出这个工件的表面积（结果精确到）．
【答案】
【分析】本题考查立方根在实际问题中的应用．正确列出方程是解题关键．设长方体的长、宽、高分别为：，根据体积可建立方程求解，即可求出表面积．
【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为：
则：，
解得：，
∴表面积为：．
【变式8-1】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知一个正方体木块的表面积为cm2．
(1)求这个正方体的棱长和体积；
(2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长．
【答案】(1)正方体的棱长为cm，体积为cm3
(2)cm
【分析】本题考查正方体的表面积、体积、棱长，涉及平方根，立方根．
（1）设正方体的棱长为，依题意可得：，求出棱长为，再求体积即可；
（2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，求出棱长为即可．
【详解】（1）设正方体的棱长为，依题意可得：，
解得：或（舍去），即棱长为cm，
体积为(cm3)，
答：正方体的棱长为cm，体积为cm3；
（2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，
解得：，
所以每个小正方体的棱长为cm．
答：每个小正方体的棱长为cm．
【变式8-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【答案】(1)8厘米
(2)8厘米
【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）由立方根的含义可得答案；
（2）由原立方体的体积减去三个棱长为4厘米的小立方体铁块的体积，再结合算术平方根的含义可得答案．
【详解】（1）解：（厘米）
答：棱长为8厘米；
（2）解：（厘米）
答：正方形的边长为8厘米．
【变式8-3】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
我有一个正方体的魔方，它的体积是
我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．
(1)求该魔方的棱长．
(2)求该长方体纸盒的长．
【答案】(1)该魔方的棱长
(2)该长方体纸盒的长为
【分析】此题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握立体图形的体积公式是解本题的关键．
（1）设魔方的棱长为，由长方体的体积公式得方程为，利用立方根定义求解即可；
（2）设该长方体纸盒的长为，则长方体纸盒的高为，由长方体的体积公式得方程为，利用平方根定义求解即可．
【详解】（1）解：设魔方的棱长为，
可得：，
解得：，
答：该魔方的棱长；
（2）解：设该长方体纸盒的长为，
则，
故，解得：，
因为是正数，所以，
答：该长方体纸盒的长为．
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）的立方根为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题考查了立方根的定义，解题的关键是掌握立方根的定义．根据立方根的定义，即可求解．
【详解】
的立方根为．
故选：D．
2．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知是无理数，则a的值可以为（ ）
A．B．C．0D．8
【答案】D
【分析】本题考查无理数的定义，把各数代入计算，然后根据无理数的定义判断即可解题．
【详解】解：A.当时，，是有理数；
B.当时，，是有理数；
C.当时，，是有理数；
D.当时，，是无理数；
故选：D．
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．8的立方根是B．没有立方根
C．的立方根等于的立方D．立方根等于本身的数只有0
【答案】C
【分析】本题考查了平方根、立方根，理解平方根和立方根的定义是解答的关键．根据立方根、平方根的定义对相关选项作出判断即可．
【详解】解：A．8的立方根是2，故不正确；
B．的立方根为，故不正确；
C．的立方根等于的立方，正确；
D．立方根等于本身的数有0，1，，故不正确；
故选C．
4．（23-24七年级下·广东云浮·期中）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义，根据算术平方根与立方根的定义，进行计算即可求解．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．（16-17七年级上·浙江杭州·期中）如果，，那么约等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右（左）移动三位，其立方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级下·四川广安·期中）36的平方根是，的立方根是．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：36的平方根是，的立方根是，
故答案为：；．
7．（23-24七年级下·天津南开·期中）若一个正数的两个平方根是和，则的立方根为．
【答案】
【分析】本题考查平方根及立方根，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据平方根的性质求得的值后代入进行计算，再根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：一个正数的两个平方根是和，
，
解得：，
则，
那么的立方根为，
故答案为：．
8．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为．
【答案】2
【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可．
【详解】解：由题意可得每个方块的体积为
则其边长为
故答案为：．
9．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知，则的立方根是
【答案】2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，算术平方根的定义，根据被开方数要大于等于0求出，进而求出，则可求出，再由立方根的定义即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵8的立方根是2，
∴的立方根是2，
故答案为：2．
10．（23-24七年级下·河北保定·期中）对于如下运算程序：
（1）若，则．
（2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是．
【答案】或
【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义．
（1）根据题目中的运算程序代入计算即可；
（2）综合立方根和无理数的定义即可求解．
【详解】解：（1）输入，得到，
不是无理数不能输出，返回可得：，
是无理数可以输出，
，
故答案为：，
（2），，，
输入的值为，或时，无法得到的值，
故答案为：或．
三、解答题
11．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程，
（1）根据立方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
12．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块．
(1)求每个小正方体木块的棱长；
(2)求这个大长方体木块的表面积．
【答案】(1)每个小正方体木块的棱长是
(2)这个大长方体木块的表面积是
【分析】本题考查了立方根的应用，长方体表面积的计算，求出正方体的棱长是解题关键．
（1）先求出每个小正方体的体积，再利用平方根求出棱长即可；
（2）先求出大长方体的长，宽，高，进而得出表面积即可
【详解】（1）解：∵大正方体木块的体积是，
∴每个小正方体木块的体积是
∴每个小正方体木块的棱长是：
答：每个小正方体木块的棱长是．
（2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是，高是，
∴这个大长方体木块的表面积是：
答：这个大长方体木块的表面积是．
13．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)3和
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的理解、求算术平方根的整数部分、解方程、求平方根，掌握概念、正确计算是解题的关键．
（1）先估算的大小，得出它的整数部分c，再根据的算术平方根是3，的立方根是2，得出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可；
（2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而求出它的平方根即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为2，
∵的算术平方根是3，c是的整数部分，
∴，，
解得：，
又∵的立方根是2，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴的平方根为3和．
14．（23-24七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求这个正数；
(3)求的算术平方根．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数及立方根的定义计算即可；
（2）把的值代入计算即可；
（3）先把、的值代入求解，再计算算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和，的立方根是，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴这个正数为；
（3）解：∵，
∴，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质以及求代数式的值，准确计算是解题的关键．
15．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)求．
①由，，可以确定是位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是，由此求得．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①，②．
【答案】(1)①两；②9；③3；39
(2)①；②0.81
【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小．
通过比较立方根的大小，即可得出答案．
【详解】（1）解：①，，，
，
是两位数，
故答案为：两；
②的个位上的数是9，而，
个位上都是9，
的个位上的数是9，
故答案为9；
③，，，
的十位上的数是3，
又的个位上的数是9，
，
故答案为：3，39；
（2）解：①的立方根是负数，
，，，
，
是两位数，
∵的前三位为117，后三位为649，，，
，
十位上的数为4，
∵的个位上的数是9，而，
个位上是9，
∴的立方根为49，
∴；
②∵，
∵，，，
，
是两位数，
∵的前三位为531，后三位为441，而，
∴，
∴十位数为8，
∵，
∴个位数是1，
∴531441的立方根为81，
∴，
故答案为：，0.81．
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解立方根的含义；
2．会表示、计算一个数的立方根，求含参数的立方根；
3．掌握立方根的有关运算及实际应用.
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解立方根的含义；
2．会表示、计算一个数的立方根，求含参数的立方根；
3．掌握立方根的有关运算及实际应用.
知识点1：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点2：立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
考点一：立方根概念理解
例1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是的立方根B．是的立方根
C．是的立方根D．是的立方根
【变式1-1】（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是B．是27的负的立方根
C．的立方根是2D．的立方根是
【变式1-2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．是25的一个平方根B．的平方根是
C．的平方根是D．64的立方根是
【变式1-3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是B．的立方根是
C．的立方根是D．的立方根是
考点二：求一个数的立方根
例2.（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算：．
【变式2-1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）的立方根是．
【变式2-2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）81的算术平方根是；的立方根是；．
【变式2-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简；；；；
考点三：已知一个数的立方根，求这个数
例3.（23-24七年级下·四川广元·阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是．
【变式3-1】（23-24七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么．
【变式3-2】（17-18八年级上·全国·课后作业）若是的立方根，则的立方根是
【变式3-3】（22-23七年级下·甘肃陇南·期末）如果的立方根是，则．
考点四：立方根的性质
例4.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）若和互为相反数，则的值．
【变式4-1】（23-24七年级下·北京·期中）若和互为相反数，则．
【变式4-2】（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【变式4-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）一个正数的两个平方根分别是和，且，则，．
考点五：开立方运算中小数点移动规律
例5.（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则．
【变式5-1】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则．
【变式5-2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则．
【变式5-3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果，，
那么；．
考点六：利用开立方解方程
例6.（23-24七年级下·山西吕梁·期中）解方程
(1)
(2)
【变式6-1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组）
(1)
(2)
【变式6-2】（23-24七年级下·北京·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【变式6-3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值
(1)；
(2)．
考点七：平方根与立方根的综合
例7.（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2)的平方根．
【变式7-1】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的算术平方根．
【变式7-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
【变式7-3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)求的平方根．
考点八：立方根的应用
例8.（23-24七年级下·全国·假期作业）如图是一个体积为的长方体工件，其中表示的是它的长、宽、高，且，请你求出这个工件的表面积（结果精确到）．
【变式8-1】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知一个正方体木块的表面积为cm2．
(1)求这个正方体的棱长和体积；
(2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长．
【变式8-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【变式8-3】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
我有一个正方体的魔方，它的体积是
我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．
(1)求该魔方的棱长．
(2)求该长方体纸盒的长．
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）的立方根为（ ）
A．4B．C．2D．
2．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知是无理数，则a的值可以为（ ）
A．B．C．0D．8
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．8的立方根是B．没有立方根
C．的立方根等于的立方D．立方根等于本身的数只有0
4．（23-24七年级下·广东云浮·期中）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（16-17七年级上·浙江杭州·期中）如果，，那么约等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24七年级下·四川广安·期中）36的平方根是，的立方根是．
7．（23-24七年级下·天津南开·期中）若一个正数的两个平方根是和，则的立方根为．
8．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为．
9．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知，则的立方根是
10．（23-24七年级下·河北保定·期中）对于如下运算程序：
（1）若，则．
（2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是．
三、解答题
11．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值．
(1)
(2)．
12．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块．
(1)求每个小正方体木块的棱长；
(2)求这个大长方体木块的表面积．
13．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
14．（23-24七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求这个正数；
(3)求的算术平方根．
15．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)求．
①由，，可以确定是位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是，由此求得．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①，②．
第06讲立方根
知识点1：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2：立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点2：立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
考点一：立方根概念理解
例1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是的立方根B．是的立方根
C．是的立方根D．是的立方根
【答案】B
【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键，根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可．
【详解】解：，
是的立方根，故选项A、C、D均错误；B正确．
故选：B．
【变式1-1】（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是B．是27的负的立方根
C．的立方根是2D．的立方根是
【答案】C
【分析】本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于，那么这个数x就叫做a的立方根是解题的关键．
根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可．
【详解】解：A、的立方根是，故本选项错误，不合题意；
B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意；
C、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意；
D、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
【变式1-2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．是25的一个平方根B．的平方根是
C．的平方根是D．64的立方根是
【答案】A
【分析】本题考查了平方根和立方根，根据相关定义逐一判断即可．
【详解】解：A、是25的一个平方根，原说法正确，符合题意；
B、的平方根是，原说法错误，不符合题意；
C、没有平方根，原说法错误，不符合题意；
D、64的立方根是，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是B．的立方根是
C．的立方根是D．的立方根是
【答案】D
【分析】根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可．
【详解】、的立方根是，此选项错误，不符合题意；
、的立方根是，此选项错误，不符合题意；
、的立方根是，此选项错误，不符合题意；
、的立方根是，此选项正确，符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
考点二：求一个数的立方根
例2.（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算：．
【答案】/
【分析】本题考查求一个数的立方根．根据立方根的意义求出立方根即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式2-1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）的立方根是．
【答案】
【分析】本题考查立方根．根据立方根的意义求解即可．
【详解】解：因为，
所以的立方根为，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）81的算术平方根是；的立方根是；．
【答案】 9 2
【分析】本题主要考查了求一个数算术平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：81的算术平方根是9；的立方根是2；；
故答案为：9；2；．
【变式2-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简；；；；
【答案】 3 3
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根．解题的关键在于灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
【详解】解：，，，，
故答案为：3，，3，．
考点三：已知一个数的立方根，求这个数
例3.（23-24七年级下·四川广元·阶段练习）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是．
【答案】0
【分析】本题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，其中分别利用了：求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方；求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数．
【详解】解：一个数的平方根与立方根相同，
这个数为0．
故答案为：0．
【变式3-1】（23-24七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么．
【答案】
【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：∵实数a的立方根是3，
∴，
故答案为：
【变式3-2】（17-18八年级上·全国·课后作业）若是的立方根，则的立方根是
【答案】
【分析】先求出的值，即可进一步求解．
【详解】解：∵是的立方根
∴
即
∴
的立方根是
故答案为：
【点睛】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键．
【变式3-3】（22-23七年级下·甘肃陇南·期末）如果的立方根是，则．
【答案】9
【分析】先根据立方根的定义求得x的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵的立方根是，
∴，解得：，
∴．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了立方根、代数式求值等知识点，根据立方根的知识列式求得是解答本题的关键．
考点四：立方根的性质
例4.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）若和互为相反数，则的值．
【答案】1
【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴
∴，
∴．
故答案为：1．
【变式4-1】（23-24七年级下·北京·期中）若和互为相反数，则．
【答案】1
【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴
∴，
∴．
故答案为：1．
【变式4-2】（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键；根据数轴可得：，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可．
【详解】由数轴可得：
∴
∴
∴
故答案为：．
【变式4-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）一个正数的两个平方根分别是和，且，则，．
【答案】 2 3
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式，得出的值，再求出的值，根据立方根的性质得出的值，再代入，即可作答．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2，3．
考点五：开立方运算中小数点移动规律
例5.（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，立方根扩大倍，被开方数扩大倍．根据被开方数的小数点向右移动6位则立方根的小数点向右移动2位，即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
【变式5-1】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据结合已知条件即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则．
【答案】
【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．
依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可．
【详解】若，
则，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果，，
那么；．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据立方根，算术平方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】解：，
；
故答案为：，．
考点六：利用开立方解方程
例6.（23-24七年级下·山西吕梁·期中）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的知识求解方程的解的知识，掌握平方根和立方根的求解方法是解答本题的关键．
（1）利用立方根的意义解方程即可；
（2）利用平方根的意义解方程即可．
【详解】（1）原式为，
解：
．
（2）原式为，
解：
即或
或．
【变式6-1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组）
(1)
(2)
【答案】(1)和
(2)
【分析】本题考查了考查实数的综合运算能力以及立方根和平方根的应用，熟练掌握立方根和平方根的运算是本题的关键．
（1）开平方得出两个一元一次方程，继而可得出x的值．
（2）化简后，两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出即可．
【详解】（1），
化简为：，
开平方得：，
即和，
解得：和．
（2），
移项得：，
开立方得：，
解得：．
【变式6-2】（23-24七年级下·北京·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，能把方程利用平方根和立方根转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据平方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可．
【详解】（1）
∴或
解得或；
（2）
解得．
【变式6-3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根求解方程，注意计算的准确性．
（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
解得：．
考点七：平方根与立方根的综合
例7.（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)的平方根是
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算．
（1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可；
（2）把，代入求出，然后求出的平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是，
∴，，
解得：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
【变式7-1】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键．
（1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可；
（2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可．
【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，，
，，，
，，；
（2）解：由（1）可知，，，，
，
的算术平方根是5．
【变式7-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)
【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键
（1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可；
（2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可．
【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数，
，，，
，；
（2）解：由（1）可知，，，；
，
的平方根是．
【变式7-3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键．
（1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值；
（2）将的值代入代数式，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根，
∴，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的整数部分为3，
∴；
（2）解：由（1）
∴，
∴的平方根是．
考点八：立方根的应用
例8.（23-24七年级下·全国·假期作业）如图是一个体积为的长方体工件，其中表示的是它的长、宽、高，且，请你求出这个工件的表面积（结果精确到）．
【答案】
【分析】本题考查立方根在实际问题中的应用．正确列出方程是解题关键．设长方体的长、宽、高分别为：，根据体积可建立方程求解，即可求出表面积．
【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为：
则：，
解得：，
∴表面积为：．
【变式8-1】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知一个正方体木块的表面积为cm2．
(1)求这个正方体的棱长和体积；
(2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长．
【答案】(1)正方体的棱长为cm，体积为cm3
(2)cm
【分析】本题考查正方体的表面积、体积、棱长，涉及平方根，立方根．
（1）设正方体的棱长为，依题意可得：，求出棱长为，再求体积即可；
（2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，求出棱长为即可．
【详解】（1）设正方体的棱长为，依题意可得：，
解得：或（舍去），即棱长为cm，
体积为(cm3)，
答：正方体的棱长为cm，体积为cm3；
（2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，
解得：，
所以每个小正方体的棱长为cm．
答：每个小正方体的棱长为cm．
【变式8-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【答案】(1)8厘米
(2)8厘米
【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）由立方根的含义可得答案；
（2）由原立方体的体积减去三个棱长为4厘米的小立方体铁块的体积，再结合算术平方根的含义可得答案．
【详解】（1）解：（厘米）
答：棱长为8厘米；
（2）解：（厘米）
答：正方形的边长为8厘米．
【变式8-3】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
我有一个正方体的魔方，它的体积是
我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．
(1)求该魔方的棱长．
(2)求该长方体纸盒的长．
【答案】(1)该魔方的棱长
(2)该长方体纸盒的长为
【分析】此题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握立体图形的体积公式是解本题的关键．
（1）设魔方的棱长为，由长方体的体积公式得方程为，利用立方根定义求解即可；
（2）设该长方体纸盒的长为，则长方体纸盒的高为，由长方体的体积公式得方程为，利用平方根定义求解即可．
【详解】（1）解：设魔方的棱长为，
可得：，
解得：，
答：该魔方的棱长；
（2）解：设该长方体纸盒的长为，
则，
故，解得：，
因为是正数，所以，
答：该长方体纸盒的长为．
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）的立方根为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题考查了立方根的定义，解题的关键是掌握立方根的定义．根据立方根的定义，即可求解．
【详解】
的立方根为．
故选：D．
2．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知是无理数，则a的值可以为（ ）
A．B．C．0D．8
【答案】D
【分析】本题考查无理数的定义，把各数代入计算，然后根据无理数的定义判断即可解题．
【详解】解：A.当时，，是有理数；
B.当时，，是有理数；
C.当时，，是有理数；
D.当时，，是无理数；
故选：D．
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．8的立方根是B．没有立方根
C．的立方根等于的立方D．立方根等于本身的数只有0
【答案】C
【分析】本题考查了平方根、立方根，理解平方根和立方根的定义是解答的关键．根据立方根、平方根的定义对相关选项作出判断即可．
【详解】解：A．8的立方根是2，故不正确；
B．的立方根为，故不正确；
C．的立方根等于的立方，正确；
D．立方根等于本身的数有0，1，，故不正确；
故选C．
4．（23-24七年级下·广东云浮·期中）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义，根据算术平方根与立方根的定义，进行计算即可求解．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．（16-17七年级上·浙江杭州·期中）如果，，那么约等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右（左）移动三位，其立方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级下·四川广安·期中）36的平方根是，的立方根是．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：36的平方根是，的立方根是，
故答案为：；．
7．（23-24七年级下·天津南开·期中）若一个正数的两个平方根是和，则的立方根为．
【答案】
【分析】本题考查平方根及立方根，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据平方根的性质求得的值后代入进行计算，再根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：一个正数的两个平方根是和，
，
解得：，
则，
那么的立方根为，
故答案为：．
8．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为．
【答案】2
【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可．
【详解】解：由题意可得每个方块的体积为
则其边长为
故答案为：．
9．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知，则的立方根是
【答案】2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，算术平方根的定义，根据被开方数要大于等于0求出，进而求出，则可求出，再由立方根的定义即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵8的立方根是2，
∴的立方根是2，
故答案为：2．
10．（23-24七年级下·河北保定·期中）对于如下运算程序：
（1）若，则．
（2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是．
【答案】或
【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义．
（1）根据题目中的运算程序代入计算即可；
（2）综合立方根和无理数的定义即可求解．
【详解】解：（1）输入，得到，
不是无理数不能输出，返回可得：，
是无理数可以输出，
，
故答案为：，
（2），，，
输入的值为，或时，无法得到的值，
故答案为：或．
三、解答题
11．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程，
（1）根据立方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
12．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块．
(1)求每个小正方体木块的棱长；
(2)求这个大长方体木块的表面积．
【答案】(1)每个小正方体木块的棱长是
(2)这个大长方体木块的表面积是
【分析】本题考查了立方根的应用，长方体表面积的计算，求出正方体的棱长是解题关键．
（1）先求出每个小正方体的体积，再利用平方根求出棱长即可；
（2）先求出大长方体的长，宽，高，进而得出表面积即可
【详解】（1）解：∵大正方体木块的体积是，
∴每个小正方体木块的体积是
∴每个小正方体木块的棱长是：
答：每个小正方体木块的棱长是．
（2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是，高是，
∴这个大长方体木块的表面积是：
答：这个大长方体木块的表面积是．
13．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)3和
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的理解、求算术平方根的整数部分、解方程、求平方根，掌握概念、正确计算是解题的关键．
（1）先估算的大小，得出它的整数部分c，再根据的算术平方根是3，的立方根是2，得出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可；
（2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而求出它的平方根即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为2，
∵的算术平方根是3，c是的整数部分，
∴，，
解得：，
又∵的立方根是2，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴的平方根为3和．
14．（23-24七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求这个正数；
(3)求的算术平方根．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数及立方根的定义计算即可；
（2）把的值代入计算即可；
（3）先把、的值代入求解，再计算算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和，的立方根是，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴这个正数为；
（3）解：∵，
∴，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质以及求代数式的值，准确计算是解题的关键．
15．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)求．
①由，，可以确定是位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是，由此求得．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①，②．
【答案】(1)①两；②9；③3；39
(2)①；②0.81
【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小．
通过比较立方根的大小，即可得出答案．
【详解】（1）解：①，，，
，
是两位数，
故答案为：两；
②的个位上的数是9，而，
个位上都是9，
的个位上的数是9，
故答案为9；
③，，，
的十位上的数是3，
又的个位上的数是9，
，
故答案为：3，39；
（2）解：①的立方根是负数，
，，，
，
是两位数，
∵的前三位为117，后三位为649，，，
，
十位上的数为4，
∵的个位上的数是9，而，
个位上是9，
∴的立方根为49，
∴；
②∵，
∵，，，
，
是两位数，
∵的前三位为531，后三位为441，而，
∴，
∴十位数为8，
∵，
∴个位数是1，
∴531441的立方根为81，
∴，
故答案为：，0.81．
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解立方根的含义；
2．会表示、计算一个数的立方根，求含参数的立方根；
3．掌握立方根的有关运算及实际应用.
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