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数学北师大版（2024）6 实数学案
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这是一份数学北师大版（2024）6 实数学案，共39页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
知识点1：无理数
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点2：实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分：按与0的大小关系分：
实数实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点3：实数的运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
考点一：无理数的概念
例1．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）下列各数中，无理数的个数是（ ）
，3.141，，，0，5，0.21，0.1010010001…（每两个相邻的1之间依次多一个0）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-1】（23-24七年级下·四川泸州·期中）在实数，，1.313313331…，，中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】（23-24七年级下·山东德州·期中）实数，，，，，，，（每两个之间依次多一个），其中无理数有（）
A．B．C．D．
【变式1-3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）在实数，，，，，，0中，无理数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
考点二：实数概念理解
例2.（22-23七年级下·河南许昌·期中）下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限小数B．无理数都是带根号的数
C．无理数的和还是无理数D．实数包括有理数、无理数和0
【变式2-1】（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是( )
A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数
【变式2-2】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；
C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．
【变式2-3】（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是带有根号的数
C．、都是分数D．实数分为正实数，负实数和零
考点三：实数的分类
例3.（23-24七年级下·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【变式3-1】（23-24七年级下·湖北·期中）选择下列各数对应的序号填入相应的集合里
①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（每相邻两个1之间0的个数逐次加1）
无理数集合：{____________________．．．}
分数集合：{____________________．．．}
负实数集合：{____________________．．．}
【变式3-2】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）把下列各数填入相应的集合内：
0，，，，，，，．
(1)整数集合{____________________________________________________________}；
(2)分数集合{____________________________________________________________}；
(3)无理数集合{____________________________________________________________}．
【变式3-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩．
(1)整数集合：{ }：
(2)分数集合：{ }，
(3)无理数集合：{ }．
考点四：实数的性质
例4.（2024·四川广元·一模）的相反数是（ ）
A．B．C．D．23
【变式4-1】（2024·湖北宜昌·二模）实数的绝对值是（ ）．
A．B．C．D．
【变式4-2】（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中互为相反数的一组是（ ）．
A．与B．与C．与D．与
【变式4-3】（23-24七年级下·天津河西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的相反数为B．的绝对值是
C．若，则D．若，则
考点五：实数的数轴
例5.（2024·江苏南通·模拟预测）实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式5-1】（23-24七年级下·福建福州·期中）点在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【变式5-2】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数是2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ）
A．2.2B．C．D．
考点六：实数的大小比较
例6.（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小：5（填、或）
【变式6-1】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）比较大小：9（填“”，“”或“”）．
【变式6-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小：．（填“”“”或“”）
【变式6-3】（23-24七年级下·山东滨州·期中）比较大小：，，．
考点七：实数的混合运算
例7.（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【变式7-1】（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【变式7-2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式7-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算
(1)
(2)
考点八：程序设计与实数运算
例8.（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序：
当输入x的值是时，输出的结果是
【变式8-1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：
当输入的时，输出的等于．
【变式8-2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是．
【变式8-3】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．
（1）当输入的x为16时，输出的．
（2）若始终输不出y值、则输入的．
考点九：新定义下的实数运算
例9.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是．
【变式9-1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等．
共轭实数定义：把形如和（a，b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题：
(1)根据共轭实数定义我们可以判定：与共轭实数；与共轭实数（填“是”或“不是”）；
(2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是与；
(3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差．
①；
②．
【变式9-2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”．
(1)点，点，点中，是“秀点“的是；
(2)若点是“秀点”，求的值；
(3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和．
(1)数对的一对“和谐数对”是______；
(2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______；
(3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______．
考点十：与实数运算相关的规律题
例10.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是．
【变式10-1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是
【变式10-2】（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是；与表示的两数之积是．
【变式10-3】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数．
（1）当，时，为；
（2）则表示的数是．
一、单选题
1．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．5
2．（2024七年级下·安徽·专题练习）在下列四个说法中，正确的有（ ）个：
①不带根号的数一定是有理数；
②是一个负数；
③已知是实数，则；
④全体实数和数轴上的点是一一对应．
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24七年级下·黑龙江·期中）在实数，，，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2024·辽宁大连·二模）如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2024·重庆·二模）计算：．
7．（23-24八年级下·重庆永川·期中）比较大小：，．
8．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为．
9．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）对于任意不相等的两个数a，b．定义一种运算※如下：，如，那么．
10．（23-24七年级下·山东济宁·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．
三、解答题
11．（23-24七年级下·河南新乡·期中）计算：
(1)．(2)．
12．（23-24七年级下·广东珠海·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩．
(1)负实数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
13．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，数轴上点，，所表示的数分别为，，，且点在原点的左侧，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
14．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图：
(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.
15．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么，，运用上述知识解决下列问题：
(1)若m，n为有理数，且，求m，n的值；
(2)若m，n为有理数，且，求的立方根；
(3)若m，n为有理数，且，则______．
第07讲实数
知识点1：无理数
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点2：实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分：按与0的大小关系分：
实数实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点3：实数的运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
考点一：无理数的概念
例1．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）下列各数中，无理数的个数是（ ）
，3.141，，，0，5，0.21，0.1010010001…（每两个相邻的1之间依次多一个0）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，3.141，，0，5，0.21都不是无理数
∴，0.1010010001…（每两个相邻的1之间依次多一个0）是无理数，
故选：A．
【变式1-1】（23-24七年级下·四川泸州·期中）在实数，，1.313313331…，，中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了无理数，计算立方根，再根据无限不循环小数是无理数进行判断即可．
【详解】解：是整数，是分数，它们不是无理数；
，1.313313331…，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个，
故选：C．
【变式1-2】（23-24七年级下·山东德州·期中）实数，，，，，，，（每两个之间依次多一个），其中无理数有（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的判断，无理数是无限不循环小数，据此逐个判断即可求解．
【详解】解：是有限小数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是无限不循环小数，是无理数；
，是有限小数，是有理数；
是整数，是有理数；
是分数，是有理数；
（每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，是无理数
∴有理数共有3个．
故选：C
【变式1-3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）在实数，，，，，，0中，无理数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的概念，准确掌握无理数的概念是解题的关键．
根据无限不循环的小数是无理数判断即可．
【详解】解：∵
∴，，0是有理数，
，，，是无理数，共4个；
故选：C．
考点二：实数概念理解
例2.（22-23七年级下·河南许昌·期中）下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限小数B．无理数都是带根号的数
C．无理数的和还是无理数D．实数包括有理数、无理数和0
【答案】A
【分析】利用实数、有理数、无理数的定义判断即可得到结果．
【详解】解：无理数都是无限小数，符合定义，所以A选项正确；
带根号的数都是无理数，可以举反例，是有理数，所以B选项错误；
无理数的和还是无理数，可以举反例，是有理数，所以C选项错误；
实数包括有理数、无理数，0也是有理数，所以D选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查实数、有理数、无理数的概念，理解无理数的分类中各自的含义是解题的关键．
【变式2-1】（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是( )
A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数
【答案】D
【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.
【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；
B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；
C.带根号的数不一定是无理数，如，等，故此选项错误；
D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；
故选：D
【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键.
【变式2-2】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；
C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．
【答案】D
【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可．
【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意；
无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意；
无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意；
无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键．
【变式2-3】（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是带有根号的数
C．、都是分数D．实数分为正实数，负实数和零
【答案】D
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意；
B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；
D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
考点三：实数的分类
例3.（23-24七年级下·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解： ③是整数，④0是整数，⑥是整数，
整数集合： ③④⑥
故答案为： ③④⑥
（2）①是分数，⑨是分数，⑩是分数．
分数集合： ①⑨⑩
故答案为： ①⑨⑩
（3）②是无理数，⑤是无理数，⑦是无理数，⑧ (相邻的两个3之间依次多1个0)是无理数，无理数集合
故答案为： ②⑤⑦⑧
【变式3-1】（23-24七年级下·湖北·期中）选择下列各数对应的序号填入相应的集合里
①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（每相邻两个1之间0的个数逐次加1）
无理数集合：{____________________．．．}
分数集合：{____________________．．．}
负实数集合：{____________________．．．}
【答案】②③⑦⑩；①④⑧⑨；①②⑦⑧⑨
【分析】本题考查了实数的分类，根据无理数是无限不循环小数、分数的定义、负实数的定义逐项分析即可得出答案，熟练掌握无理数的定义、分数的定义、负实数的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
无理数集合：{②③⑦⑩}，
分数集合：{①④⑧⑨}，
负实数集合：{①②⑦⑧⑨}．
【变式3-2】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）把下列各数填入相应的集合内：
0，，，，，，，．
(1)整数集合{____________________________________________________________}；
(2)分数集合{____________________________________________________________}；
(3)无理数集合{____________________________________________________________}．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了实数的分类：
（1）先计算算术平方根和立方根，再根据整数的定义求解即可；
（2）根据分数的定义求解即可；
（3）无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此求解即可．
【详解】（1）解：，，，
∴整数集合：，
故答案为：；
（2）解：分数集合：，
故答案为：；
（3）解：无理数集合：，
故答案为：．
【变式3-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩．
(1)整数集合：{ }：
(2)分数集合：{ }，
(3)无理数集合：{ }．
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）①是分数，②是无理数，③是整数，④0是整数，⑤是无理数，⑥是整数，⑦是无理数，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数，⑨是分数，⑩是分数．
整数集合：{③④⑥}：
故答案为：③④⑥．
（2）分数集合：{①⑨⑩}，
故答案为：①⑨⑩．
（3）无理数集合：{②⑤⑦⑧}．
故答案为：②⑤⑦⑧．
考点四：实数的性质
例4.（2024·四川广元·一模）的相反数是（ ）
A．B．C．D．23
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：C．
【变式4-1】（2024·湖北宜昌·二模）实数的绝对值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义，可得答案．
【详解】解：，
故选：A．
【变式4-2】（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中互为相反数的一组是（ ）．
A．与B．与C．与D．与
【答案】B
【分析】本题考查实数的运算，实数的性质，化简各数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是相反数，不符合题意；
B、与是相反数，符合题意；
C、，不是相反数，不符合题意；
D、与不是相反数，不符合题意；
故选B．
【变式4-3】（23-24七年级下·天津河西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的相反数为B．的绝对值是
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】．本题主要考查了相反数的定义，平方根，立方根定义以及绝对值的性质．根据相反数的定义，平方根，立方根定义以及绝对值的性质即可得到答案．
【详解】解：A．的相反数为，故本选项正确，符合题意；
B．的绝对值是，故本选项错误，不符合题意；
C．若，则，故本选项错误，不符合题意；
D．若，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
考点五：实数的数轴
例5.（2024·江苏南通·模拟预测）实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义，理解数轴表示数的意义是正确详解的关键．估算无理数的大小，进而得出的取值范围，再根据数轴表示数的意义进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
而点D所表示的数大于2且小于3，
因此无理数在数轴上对应的点可能是点D，
故选：D．
【变式5-1】（23-24七年级下·福建福州·期中）点在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【答案】C
【分析】本题主要考查实数与数轴的一一对应，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
根据无理数的估算，先确定的范围，再根据数轴与实数的一一对应关系即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由数轴可知，只有点的取值范围在1和2之间，
故选：C．
【变式5-2】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数是2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及实数与数轴，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，进而可而出结论．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵点B对应的数是2，
∴D点表示．
故选：D．
【变式5-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ）
A．2.2B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴点表示的数是；
故选：B．
考点六：实数的大小比较
例6.（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小：5（填、或）
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，利用平方法比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）比较大小：9（填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出两个实数的平方是关键．先求两个数的平方，进而即可比较大小．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【变式6-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小：．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查实数的比较大小，根据两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【变式6-3】（23-24七年级下·山东滨州·期中）比较大小：，，．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的方法，即可解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
即
∵
∴
∵
∴
故答案为：，，．
考点七：实数的混合运算
例7.（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【答案】
【分析】根据求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值是解题的关键．
【变式7-1】（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算．先算算术平方根，立方根，绝对值，乘方，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
【变式7-2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根，算术平方根的定义是解题的关键．
（1）先计算绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减；
（2）先计算绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式7-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
（1）先求出算术平方根、立方根，然后计算加减法即可；
（2）先化简绝对值、去括号、求出立方根，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
考点八：程序设计与实数运算
例8.（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序：
当输入x的值是时，输出的结果是
【答案】
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
【变式8-1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：
当输入的时，输出的等于．
【答案】
【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案．
【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算；
当时，，是无理数，输出；
故答案为：．
【变式8-2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是．
【答案】
【分析】本题考查实数的分类及运算．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：25的算术平方根是5，5是有理数，
再取5的平方根，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为25，则最后输出的y值是．
故答案为：．
【变式8-3】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．
（1）当输入的x为16时，输出的．
（2）若始终输不出y值、则输入的．
【答案】 0或1/1或0
【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．
（1）根据数值转换器，输入，进行计算即可；
（2）根据的算术平方根是1，的算术平方根是0，即可得出答案．
【详解】解：（1）第1次计算得，，而4是有理数，
因此第2次计算得，，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
因此输出结果是；
故答案为：；
（2）∵的算术平方根是1，的算术平方根是0，且1和0都是有理数，
∴输入的或0始终输不出y值．
故答案为：0或1．
考点九：新定义下的实数运算
例9.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是．
【答案】3
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：根据题中的新定义得：
．
故答案为：3．
26．
【变式9-1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等．
共轭实数定义：把形如和（a，b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题：
(1)根据共轭实数定义我们可以判定：与共轭实数；与共轭实数（填“是”或“不是”）；
(2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是与；
(3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差．
①；
②．
【答案】(1)不是，是
(2)，（答案不唯一）
(3)①10②
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭实数的定义，进行判断即可；
（2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可；
（3）先去括号，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数；
故答案为：不是，是；
（2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与；
故答案为：，（答案不唯一）；
（3）①原式；
②原式．
【变式9-2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”．
(1)点，点，点中，是“秀点“的是；
(2)若点是“秀点”，求的值；
(3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)0或
【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键．
（1）根据“秀点”的定义，计算即可判断；
（2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解；
（3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
又∵，
∴点不是 “秀点”；
∵，，
又∵，
∴点不是 “秀点”；
∵，，
∴点是“秀点”．
故答案为：；
（2）∵点是“秀点”，
∴，
∴，
解得；
（3）∵点是“秀点”，
∴，整理可得，
∴或，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为0或．
【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和．
(1)数对的一对“和谐数对”是______；
(2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______；
(3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了新定义的实数运算：
（1）利用“和谐数对”的规定解答即可；
（2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可；
（3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可．
【详解】（1）解：数对的一对“和谐数对”是和，即和；
故答案为：，
（2）解：∵数对的一对“和谐数对”相同，
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：∵数对的一个“和谐数对”是，
∴或，
∴或，
∴或．
故答案为：，
考点十：与实数运算相关的规律题
例10.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是．
【答案】
【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键．
根据已知数据总结规律后即可求得．
【详解】解：第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
第4个数：；
故第6个数：；
故答案为：．
【变式10-1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是
【答案】
【分析】此题主要考查实数的规律探索，根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第100个数．
【详解】一列实数：，，，，，，，，，，…
这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
这一列数中的第100个数应是，
故答案为：．
【变式10-2】（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是；与表示的两数之积是．
【答案】 2
【分析】此题主要考查了数字的变化规律．根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每五个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算．
【详解】解：表示第7排从左向右第3个数，
，
，
则所表示的数是；
从图示中知道，所表示的数是；
第19排最后一个数的序号是：，则表示的是第个数，
，
表示的数是．
与表示的两数之积是：．
故答案为：；．
【变式10-3】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数．
（1）当，时，为；
（2）则表示的数是．
【答案】 1
【分析】本题考查了无理数，数字类规律探索；
（1）根据图可知第4排第3个数为1；
（2）由图得出规律：前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环，然后计算即可．
【详解】解：（1）由图得：当，时，为1，
故答案为：1；
（2）由图可得：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…第7排有7个数，则前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环，
∵，
∴表示的数是，
∴表示的数是，
故答案为：．
一、单选题
1．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数的性质，解题的关键是掌握绝对值的定义，此题基础题．根据绝对值的定义选择正确选项即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：C．
2．（2024七年级下·安徽·专题练习）在下列四个说法中，正确的有（ ）个：
①不带根号的数一定是有理数；
②是一个负数；
③已知是实数，则；
④全体实数和数轴上的点是一一对应．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数，掌握实数的分类以及全体实数和数轴上的点是一一对应关系是解决本题的关键．
根据有理数、无理数、实数的定义即可解答．
【详解】解：①不带根号的数不一定是有理数，例如：是无理数，故错误；
②是一个正数，故错误；
③已知是实数，则，正确；
④全体实数和数轴上的点是一一对应，正确．
所以正确的有2个．
故选：B．
3．（23-24七年级下·黑龙江·期中）在实数，，，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了无理数，根据无理数是无限不循环小数，可得答案，熟知无理数有：①开不尽方的数；②类似的数；③这样的数，是解题的关键
【详解】解：，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）是无理数，
故无理数有3个，
故选：C．
4．（2024·辽宁大连·二模）如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，利用“夹逼法”得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵M，N表示两个连续整数，且A在M、N之间，
∴点N表示的数是4，
故选：B．
5．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可．
【详解】解：，，，，
∴第个数为，
∴第8个数为；
故选C．
二、填空题
6．（2024·重庆·二模）计算：．
【答案】/
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，立方根，计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·重庆永川·期中）比较大小：，．
【答案】＜＞
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．先把根号外的因式移入根号内，通过比较被开方数的大小即可得出其算术平方根的大小；根据两个负数比较，绝对值大的反而小得出比较结果．
【详解】解：，，
又，
；
，，
又，
．
故答案为：＜，＞．
8．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为．
【答案】/
【分析】此题的考查了实数与数轴，一元一次方程的应用等知识，点C所对应的实数为x，根据列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设点C所对应的实数为x，
∵，
∴
解得
即点C所对应的实数为．
故答案为：
9．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）对于任意不相等的两个数a，b．定义一种运算※如下：，如，那么．
【答案】1
【分析】直接利用已知运算公式，进而计算得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确利用运算公式是解题关键．
【详解】解：由题意可得：6※．
故答案为：1
10．（23-24七年级下·山东济宁·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．
【答案】255
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到，，进而得到对只需进行3次操作后变成1，对只需进行4次操作后变成1，据此可得答案．
【详解】解：，，，
，，，，
，，，
∴对只需进行3次操作后变成1．
，，，，
∴对只需进行4次操作后变成1．
∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是．
故答案为：．
三、解答题
11．（23-24七年级下·河南新乡·期中）计算：
(1)．(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据立方根，算术平方根计算即可．
（2）根据立方根，绝对值计算即可．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关定义和实数的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）
．
12．（23-24七年级下·广东珠海·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩．
(1)负实数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【答案】(1)①③⑤⑥⑦
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
（1）根据负实数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
∴，，，，是负实数，
故答案为：①③⑤⑥⑦；
（2）解：由题意知，，，是分数，
故答案为：①⑨⑩；
（3）解：由题意知，，，，（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数，
故答案为：②⑤⑦⑧．
13．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，数轴上点，，所表示的数分别为，，，且点在原点的左侧，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，化简绝对值：
（1）根据数轴上两点距离计算公式得到，则；
（2）先估算出，据此化简绝对值即可．
【详解】（1）解：∵，所表示的数分别为，，
∴，
∵点到点的距离与点到点的距离相等，
∴，
又∵点在原点的左侧，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
14．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图：
(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.
【答案】(1)
(2)0和1
(3)5
【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．
【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，
继续取6算术平方根，是无理数，
所以输出的y值为；
故答案为：；
（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；
故答案为：0，1；
（3）∵输出的，
∴，
∴输入的，
当时，5的算术平方根是，是无理数，
所以输出的y值为，
∴x的最小整数值是．
15．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么，，运用上述知识解决下列问题：
(1)若m，n为有理数，且，求m，n的值；
(2)若m，n为有理数，且，求的立方根；
(3)若m，n为有理数，且，则______．
【答案】(1)
(2)0
(3)3或5
【分析】本题考查了实数的运算，立方根，绝对值等知识．根据题意确定关于的等量关系是解题的关键．
（1）由题意得，，计算求解即可；
（2）由题意得，，计算求解，然后根据代值求解即可；
（3）由题意得，，计算求解，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：∵，m，n为有理数，
∴，
解得，；
（2）解：∵，m，n为有理数，
∴，
解得，，
∵，
∴的立方根为0；
（3）解：∵，m，n为有理数，
∴，
解得，，
当时，；
当时，；
故答案为：3或5．
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解无理数的概念，能识别无理数及分类；
2．掌握实数的概念及分类，掌握实数在数轴上的表示；
3．熟练掌握实数的运算的法则及相关运算.
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解无理数的概念，能识别无理数及分类；
2．掌握实数的概念及分类，掌握实数在数轴上的表示；
3．熟练掌握实数的运算的法则及相关运算.
知识点1：无理数
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点2：实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分：按与0的大小关系分：
实数实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点3：实数的运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
考点一：无理数的概念
例1．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）下列各数中，无理数的个数是（ ）
，3.141，，，0，5，0.21，0.1010010001…（每两个相邻的1之间依次多一个0）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-1】（23-24七年级下·四川泸州·期中）在实数，，1.313313331…，，中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】（23-24七年级下·山东德州·期中）实数，，，，，，，（每两个之间依次多一个），其中无理数有（）
A．B．C．D．
【变式1-3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）在实数，，，，，，0中，无理数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
考点二：实数概念理解
例2.（22-23七年级下·河南许昌·期中）下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限小数B．无理数都是带根号的数
C．无理数的和还是无理数D．实数包括有理数、无理数和0
【变式2-1】（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是( )
A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数
【变式2-2】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；
C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．
【变式2-3】（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是带有根号的数
C．、都是分数D．实数分为正实数，负实数和零
考点三：实数的分类
例3.（23-24七年级下·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【变式3-1】（23-24七年级下·湖北·期中）选择下列各数对应的序号填入相应的集合里
①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（每相邻两个1之间0的个数逐次加1）
无理数集合：{____________________．．．}
分数集合：{____________________．．．}
负实数集合：{____________________．．．}
【变式3-2】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）把下列各数填入相应的集合内：
0，，，，，，，．
(1)整数集合{____________________________________________________________}；
(2)分数集合{____________________________________________________________}；
(3)无理数集合{____________________________________________________________}．
【变式3-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩．
(1)整数集合：{ }：
(2)分数集合：{ }，
(3)无理数集合：{ }．
考点四：实数的性质
例4.（2024·四川广元·一模）的相反数是（ ）
A．B．C．D．23
【变式4-1】（2024·湖北宜昌·二模）实数的绝对值是（ ）．
A．B．C．D．
【变式4-2】（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中互为相反数的一组是（ ）．
A．与B．与C．与D．与
【变式4-3】（23-24七年级下·天津河西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的相反数为B．的绝对值是
C．若，则D．若，则
考点五：实数的数轴
例5.（2024·江苏南通·模拟预测）实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式5-1】（23-24七年级下·福建福州·期中）点在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【变式5-2】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数是2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ）
A．2.2B．C．D．
考点六：实数的大小比较
例6.（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小：5（填、或）
【变式6-1】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）比较大小：9（填“”，“”或“”）．
【变式6-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小：．（填“”“”或“”）
【变式6-3】（23-24七年级下·山东滨州·期中）比较大小：，，．
考点七：实数的混合运算
例7.（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【变式7-1】（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【变式7-2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式7-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算
(1)
(2)
考点八：程序设计与实数运算
例8.（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序：
当输入x的值是时，输出的结果是
【变式8-1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：
当输入的时，输出的等于．
【变式8-2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是．
【变式8-3】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．
（1）当输入的x为16时，输出的．
（2）若始终输不出y值、则输入的．
考点九：新定义下的实数运算
例9.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是．
【变式9-1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等．
共轭实数定义：把形如和（a，b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题：
(1)根据共轭实数定义我们可以判定：与共轭实数；与共轭实数（填“是”或“不是”）；
(2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是与；
(3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差．
①；
②．
【变式9-2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”．
(1)点，点，点中，是“秀点“的是；
(2)若点是“秀点”，求的值；
(3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和．
(1)数对的一对“和谐数对”是______；
(2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______；
(3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______．
考点十：与实数运算相关的规律题
例10.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是．
【变式10-1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是
【变式10-2】（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是；与表示的两数之积是．
【变式10-3】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数．
（1）当，时，为；
（2）则表示的数是．
一、单选题
1．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．5
2．（2024七年级下·安徽·专题练习）在下列四个说法中，正确的有（ ）个：
①不带根号的数一定是有理数；
②是一个负数；
③已知是实数，则；
④全体实数和数轴上的点是一一对应．
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24七年级下·黑龙江·期中）在实数，，，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2024·辽宁大连·二模）如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2024·重庆·二模）计算：．
7．（23-24八年级下·重庆永川·期中）比较大小：，．
8．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为．
9．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）对于任意不相等的两个数a，b．定义一种运算※如下：，如，那么．
10．（23-24七年级下·山东济宁·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．
三、解答题
11．（23-24七年级下·河南新乡·期中）计算：
(1)．(2)．
12．（23-24七年级下·广东珠海·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩．
(1)负实数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
13．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，数轴上点，，所表示的数分别为，，，且点在原点的左侧，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
14．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图：
(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.
15．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么，，运用上述知识解决下列问题：
(1)若m，n为有理数，且，求m，n的值；
(2)若m，n为有理数，且，求的立方根；
(3)若m，n为有理数，且，则______．
第07讲实数
知识点1：无理数
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点2：实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分：按与0的大小关系分：
实数实数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点3：实数的运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
考点一：无理数的概念
例1．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）下列各数中，无理数的个数是（ ）
，3.141，，，0，5，0.21，0.1010010001…（每两个相邻的1之间依次多一个0）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，3.141，，0，5，0.21都不是无理数
∴，0.1010010001…（每两个相邻的1之间依次多一个0）是无理数，
故选：A．
【变式1-1】（23-24七年级下·四川泸州·期中）在实数，，1.313313331…，，中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了无理数，计算立方根，再根据无限不循环小数是无理数进行判断即可．
【详解】解：是整数，是分数，它们不是无理数；
，1.313313331…，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个，
故选：C．
【变式1-2】（23-24七年级下·山东德州·期中）实数，，，，，，，（每两个之间依次多一个），其中无理数有（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的判断，无理数是无限不循环小数，据此逐个判断即可求解．
【详解】解：是有限小数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是无限不循环小数，是无理数；
，是有限小数，是有理数；
是整数，是有理数；
是分数，是有理数；
（每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，是无理数
∴有理数共有3个．
故选：C
【变式1-3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）在实数，，，，，，0中，无理数有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的概念，准确掌握无理数的概念是解题的关键．
根据无限不循环的小数是无理数判断即可．
【详解】解：∵
∴，，0是有理数，
，，，是无理数，共4个；
故选：C．
考点二：实数概念理解
例2.（22-23七年级下·河南许昌·期中）下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限小数B．无理数都是带根号的数
C．无理数的和还是无理数D．实数包括有理数、无理数和0
【答案】A
【分析】利用实数、有理数、无理数的定义判断即可得到结果．
【详解】解：无理数都是无限小数，符合定义，所以A选项正确；
带根号的数都是无理数，可以举反例，是有理数，所以B选项错误；
无理数的和还是无理数，可以举反例，是有理数，所以C选项错误；
实数包括有理数、无理数，0也是有理数，所以D选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查实数、有理数、无理数的概念，理解无理数的分类中各自的含义是解题的关键．
【变式2-1】（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是( )
A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数
【答案】D
【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.
【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；
B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；
C.带根号的数不一定是无理数，如，等，故此选项错误；
D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；
故选：D
【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键.
【变式2-2】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；
C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．
【答案】D
【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可．
【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意；
无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意；
无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意；
无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键．
【变式2-3】（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是带有根号的数
C．、都是分数D．实数分为正实数，负实数和零
【答案】D
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意；
B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；
D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
考点三：实数的分类
例3.（23-24七年级下·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解： ③是整数，④0是整数，⑥是整数，
整数集合： ③④⑥
故答案为： ③④⑥
（2）①是分数，⑨是分数，⑩是分数．
分数集合： ①⑨⑩
故答案为： ①⑨⑩
（3）②是无理数，⑤是无理数，⑦是无理数，⑧ (相邻的两个3之间依次多1个0)是无理数，无理数集合
故答案为： ②⑤⑦⑧
【变式3-1】（23-24七年级下·湖北·期中）选择下列各数对应的序号填入相应的集合里
①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（每相邻两个1之间0的个数逐次加1）
无理数集合：{____________________．．．}
分数集合：{____________________．．．}
负实数集合：{____________________．．．}
【答案】②③⑦⑩；①④⑧⑨；①②⑦⑧⑨
【分析】本题考查了实数的分类，根据无理数是无限不循环小数、分数的定义、负实数的定义逐项分析即可得出答案，熟练掌握无理数的定义、分数的定义、负实数的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
无理数集合：{②③⑦⑩}，
分数集合：{①④⑧⑨}，
负实数集合：{①②⑦⑧⑨}．
【变式3-2】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）把下列各数填入相应的集合内：
0，，，，，，，．
(1)整数集合{____________________________________________________________}；
(2)分数集合{____________________________________________________________}；
(3)无理数集合{____________________________________________________________}．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了实数的分类：
（1）先计算算术平方根和立方根，再根据整数的定义求解即可；
（2）根据分数的定义求解即可；
（3）无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此求解即可．
【详解】（1）解：，，，
∴整数集合：，
故答案为：；
（2）解：分数集合：，
故答案为：；
（3）解：无理数集合：，
故答案为：．
【变式3-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩．
(1)整数集合：{ }：
(2)分数集合：{ }，
(3)无理数集合：{ }．
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）①是分数，②是无理数，③是整数，④0是整数，⑤是无理数，⑥是整数，⑦是无理数，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数，⑨是分数，⑩是分数．
整数集合：{③④⑥}：
故答案为：③④⑥．
（2）分数集合：{①⑨⑩}，
故答案为：①⑨⑩．
（3）无理数集合：{②⑤⑦⑧}．
故答案为：②⑤⑦⑧．
考点四：实数的性质
例4.（2024·四川广元·一模）的相反数是（ ）
A．B．C．D．23
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：C．
【变式4-1】（2024·湖北宜昌·二模）实数的绝对值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义，可得答案．
【详解】解：，
故选：A．
【变式4-2】（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中互为相反数的一组是（ ）．
A．与B．与C．与D．与
【答案】B
【分析】本题考查实数的运算，实数的性质，化简各数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是相反数，不符合题意；
B、与是相反数，符合题意；
C、，不是相反数，不符合题意；
D、与不是相反数，不符合题意；
故选B．
【变式4-3】（23-24七年级下·天津河西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的相反数为B．的绝对值是
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】．本题主要考查了相反数的定义，平方根，立方根定义以及绝对值的性质．根据相反数的定义，平方根，立方根定义以及绝对值的性质即可得到答案．
【详解】解：A．的相反数为，故本选项正确，符合题意；
B．的绝对值是，故本选项错误，不符合题意；
C．若，则，故本选项错误，不符合题意；
D．若，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
考点五：实数的数轴
例5.（2024·江苏南通·模拟预测）实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义，理解数轴表示数的意义是正确详解的关键．估算无理数的大小，进而得出的取值范围，再根据数轴表示数的意义进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
而点D所表示的数大于2且小于3，
因此无理数在数轴上对应的点可能是点D，
故选：D．
【变式5-1】（23-24七年级下·福建福州·期中）点在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【答案】C
【分析】本题主要考查实数与数轴的一一对应，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
根据无理数的估算，先确定的范围，再根据数轴与实数的一一对应关系即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由数轴可知，只有点的取值范围在1和2之间，
故选：C．
【变式5-2】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数是2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及实数与数轴，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，进而可而出结论．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵点B对应的数是2，
∴D点表示．
故选：D．
【变式5-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ）
A．2.2B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴点表示的数是；
故选：B．
考点六：实数的大小比较
例6.（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小：5（填、或）
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，利用平方法比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）比较大小：9（填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出两个实数的平方是关键．先求两个数的平方，进而即可比较大小．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【变式6-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小：．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查实数的比较大小，根据两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【变式6-3】（23-24七年级下·山东滨州·期中）比较大小：，，．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的方法，即可解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
即
∵
∴
∵
∴
故答案为：，，．
考点七：实数的混合运算
例7.（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【答案】
【分析】根据求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值是解题的关键．
【变式7-1】（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算．先算算术平方根，立方根，绝对值，乘方，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
【变式7-2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根，算术平方根的定义是解题的关键．
（1）先计算绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减；
（2）先计算绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式7-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
（1）先求出算术平方根、立方根，然后计算加减法即可；
（2）先化简绝对值、去括号、求出立方根，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
考点八：程序设计与实数运算
例8.（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序：
当输入x的值是时，输出的结果是
【答案】
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
【变式8-1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：
当输入的时，输出的等于．
【答案】
【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案．
【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算；
当时，，是无理数，输出；
故答案为：．
【变式8-2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是．
【答案】
【分析】本题考查实数的分类及运算．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：25的算术平方根是5，5是有理数，
再取5的平方根，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为25，则最后输出的y值是．
故答案为：．
【变式8-3】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．
（1）当输入的x为16时，输出的．
（2）若始终输不出y值、则输入的．
【答案】 0或1/1或0
【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．
（1）根据数值转换器，输入，进行计算即可；
（2）根据的算术平方根是1，的算术平方根是0，即可得出答案．
【详解】解：（1）第1次计算得，，而4是有理数，
因此第2次计算得，，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
因此输出结果是；
故答案为：；
（2）∵的算术平方根是1，的算术平方根是0，且1和0都是有理数，
∴输入的或0始终输不出y值．
故答案为：0或1．
考点九：新定义下的实数运算
例9.（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是．
【答案】3
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：根据题中的新定义得：
．
故答案为：3．
26．
【变式9-1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等．
共轭实数定义：把形如和（a，b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题：
(1)根据共轭实数定义我们可以判定：与共轭实数；与共轭实数（填“是”或“不是”）；
(2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是与；
(3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差．
①；
②．
【答案】(1)不是，是
(2)，（答案不唯一）
(3)①10②
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭实数的定义，进行判断即可；
（2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可；
（3）先去括号，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数；
故答案为：不是，是；
（2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与；
故答案为：，（答案不唯一）；
（3）①原式；
②原式．
【变式9-2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”．
(1)点，点，点中，是“秀点“的是；
(2)若点是“秀点”，求的值；
(3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)0或
【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键．
（1）根据“秀点”的定义，计算即可判断；
（2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解；
（3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
又∵，
∴点不是 “秀点”；
∵，，
又∵，
∴点不是 “秀点”；
∵，，
∴点是“秀点”．
故答案为：；
（2）∵点是“秀点”，
∴，
∴，
解得；
（3）∵点是“秀点”，
∴，整理可得，
∴或，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为0或．
【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和．
(1)数对的一对“和谐数对”是______；
(2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______；
(3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了新定义的实数运算：
（1）利用“和谐数对”的规定解答即可；
（2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可；
（3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可．
【详解】（1）解：数对的一对“和谐数对”是和，即和；
故答案为：，
（2）解：∵数对的一对“和谐数对”相同，
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：∵数对的一个“和谐数对”是，
∴或，
∴或，
∴或．
故答案为：，
考点十：与实数运算相关的规律题
例10.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是．
【答案】
【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键．
根据已知数据总结规律后即可求得．
【详解】解：第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
第4个数：；
故第6个数：；
故答案为：．
【变式10-1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是
【答案】
【分析】此题主要考查实数的规律探索，根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第100个数．
【详解】一列实数：，，，，，，，，，，…
这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
这一列数中的第100个数应是，
故答案为：．
【变式10-2】（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是；与表示的两数之积是．
【答案】 2
【分析】此题主要考查了数字的变化规律．根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每五个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算．
【详解】解：表示第7排从左向右第3个数，
，
，
则所表示的数是；
从图示中知道，所表示的数是；
第19排最后一个数的序号是：，则表示的是第个数，
，
表示的数是．
与表示的两数之积是：．
故答案为：；．
【变式10-3】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数．
（1）当，时，为；
（2）则表示的数是．
【答案】 1
【分析】本题考查了无理数，数字类规律探索；
（1）根据图可知第4排第3个数为1；
（2）由图得出规律：前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环，然后计算即可．
【详解】解：（1）由图得：当，时，为1，
故答案为：1；
（2）由图可得：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…第7排有7个数，则前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环，
∵，
∴表示的数是，
∴表示的数是，
故答案为：．
一、单选题
1．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数的性质，解题的关键是掌握绝对值的定义，此题基础题．根据绝对值的定义选择正确选项即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：C．
2．（2024七年级下·安徽·专题练习）在下列四个说法中，正确的有（ ）个：
①不带根号的数一定是有理数；
②是一个负数；
③已知是实数，则；
④全体实数和数轴上的点是一一对应．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数，掌握实数的分类以及全体实数和数轴上的点是一一对应关系是解决本题的关键．
根据有理数、无理数、实数的定义即可解答．
【详解】解：①不带根号的数不一定是有理数，例如：是无理数，故错误；
②是一个正数，故错误；
③已知是实数，则，正确；
④全体实数和数轴上的点是一一对应，正确．
所以正确的有2个．
故选：B．
3．（23-24七年级下·黑龙江·期中）在实数，，，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了无理数，根据无理数是无限不循环小数，可得答案，熟知无理数有：①开不尽方的数；②类似的数；③这样的数，是解题的关键
【详解】解：，，（每两个相邻的2中间依次多一个0）是无理数，
故无理数有3个，
故选：C．
4．（2024·辽宁大连·二模）如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，利用“夹逼法”得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵M，N表示两个连续整数，且A在M、N之间，
∴点N表示的数是4，
故选：B．
5．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可．
【详解】解：，，，，
∴第个数为，
∴第8个数为；
故选C．
二、填空题
6．（2024·重庆·二模）计算：．
【答案】/
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，立方根，计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·重庆永川·期中）比较大小：，．
【答案】＜＞
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．先把根号外的因式移入根号内，通过比较被开方数的大小即可得出其算术平方根的大小；根据两个负数比较，绝对值大的反而小得出比较结果．
【详解】解：，，
又，
；
，，
又，
．
故答案为：＜，＞．
8．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为．
【答案】/
【分析】此题的考查了实数与数轴，一元一次方程的应用等知识，点C所对应的实数为x，根据列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设点C所对应的实数为x，
∵，
∴
解得
即点C所对应的实数为．
故答案为：
9．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）对于任意不相等的两个数a，b．定义一种运算※如下：，如，那么．
【答案】1
【分析】直接利用已知运算公式，进而计算得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确利用运算公式是解题关键．
【详解】解：由题意可得：6※．
故答案为：1
10．（23-24七年级下·山东济宁·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．
【答案】255
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到，，进而得到对只需进行3次操作后变成1，对只需进行4次操作后变成1，据此可得答案．
【详解】解：，，，
，，，，
，，，
∴对只需进行3次操作后变成1．
，，，，
∴对只需进行4次操作后变成1．
∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是．
故答案为：．
三、解答题
11．（23-24七年级下·河南新乡·期中）计算：
(1)．(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据立方根，算术平方根计算即可．
（2）根据立方根，绝对值计算即可．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关定义和实数的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）
．
12．（23-24七年级下·广东珠海·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩．
(1)负实数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【答案】(1)①③⑤⑥⑦
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
（1）根据负实数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
∴，，，，是负实数，
故答案为：①③⑤⑥⑦；
（2）解：由题意知，，，是分数，
故答案为：①⑨⑩；
（3）解：由题意知，，，，（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数，
故答案为：②⑤⑦⑧．
13．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，数轴上点，，所表示的数分别为，，，且点在原点的左侧，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，化简绝对值：
（1）根据数轴上两点距离计算公式得到，则；
（2）先估算出，据此化简绝对值即可．
【详解】（1）解：∵，所表示的数分别为，，
∴，
∵点到点的距离与点到点的距离相等，
∴，
又∵点在原点的左侧，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
14．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图：
(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.
【答案】(1)
(2)0和1
(3)5
【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．
【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，
继续取6算术平方根，是无理数，
所以输出的y值为；
故答案为：；
（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；
故答案为：0，1；
（3）∵输出的，
∴，
∴输入的，
当时，5的算术平方根是，是无理数，
所以输出的y值为，
∴x的最小整数值是．
15．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m，n为有理数，x为无理数，那么，，运用上述知识解决下列问题：
(1)若m，n为有理数，且，求m，n的值；
(2)若m，n为有理数，且，求的立方根；
(3)若m，n为有理数，且，则______．
【答案】(1)
(2)0
(3)3或5
【分析】本题考查了实数的运算，立方根，绝对值等知识．根据题意确定关于的等量关系是解题的关键．
（1）由题意得，，计算求解即可；
（2）由题意得，，计算求解，然后根据代值求解即可；
（3）由题意得，，计算求解，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：∵，m，n为有理数，
∴，
解得，；
（2）解：∵，m，n为有理数，
∴，
解得，，
∵，
∴的立方根为0；
（3）解：∵，m，n为有理数，
∴，
解得，，
当时，；
当时，；
故答案为：3或5．
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解无理数的概念，能识别无理数及分类；
2．掌握实数的概念及分类，掌握实数在数轴上的表示；
3．熟练掌握实数的运算的法则及相关运算.
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解无理数的概念，能识别无理数及分类；
2．掌握实数的概念及分类，掌握实数在数轴上的表示；
3．熟练掌握实数的运算的法则及相关运算.
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