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6.9 一次函数章末八大题型总结（拔尖篇）（苏科版）（学生版）
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专题6.9 一次函数章末八大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc32145" 【题型1 根据情景确定函数图象】 PAGEREF _Toc32145 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16415" 【题型2 一次函数与三角形的面积综合】 PAGEREF _Toc16415 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14335" 【题型3 一次函数与全等三角形】 PAGEREF _Toc14335 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc11441" 【题型4 一次函数与等腰三角形】 PAGEREF _Toc11441 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc10453" 【题型5 一次函数与等腰直角三角形】 PAGEREF _Toc10453 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc6189" 【题型6 一次函数与动点最值问题】 PAGEREF _Toc6189 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1933" 【题型7 一次函数的图象的应用】 PAGEREF _Toc1933 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc1828" 【题型8 一次函数的实际应用】 PAGEREF _Toc1828 \h 14【题型1 根据情景确定函数图象】【例1】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ） B． C． D． 【变式1-1】（2023·广西南宁·八年级校考期中）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ） B． C． D． 【变式1-2】（2023·北京怀柔·八年级校考期中）小丽早上从家出发骑车去上学，途中想起忘了带昨天晚上完成的数学作业，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回骑，遇到妈妈后停下说了几句话，接着继续骑车去学校．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与学校的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）．A．A B．B C．C D．D【变式1-3】（2023春·北京东城·八年级北京市第二中学分校校考期末）如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图像中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 一次函数与三角形的面积综合】【例2】（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，四边形ODEC为正方形，点C的坐标是(0,2)，点A的坐标是(2,1)，若直线l把▱OABC与正方形ODEC组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是( ) A．y=14x+54 B．y=12x+32 C．y=-14x+34 D．y=-14x+32【变式2-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，过点A(-2,0)的直线l1:y=kx+b与直线l2:y=-x+1交于P(-1,a)． (1)求直线l1对应的表达式；(2)求四边形PAOC的面积．【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示． (1)由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时距离点C cm．(2)求在点E的运动过程中，△ABE的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的关系是 ．(3)求点E停止运动后，求△ABE的面积．【变式2-3】（2023春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足a+42+b-6=0． (1)如图1，求点A的坐标；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．(3)在（2）的条件下，记AC与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接PB，PD，若三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．【题型3 一次函数与全等三角形】【例3】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，直线l1：y=-2x+6与过点B(0，3)的直线l2交于点C(1，m)，且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D． (1)求直线l2的函数表达式；(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．【变式3-1】（2023春·河北保定·八年级校联考期中）已知：如图点A(6，8)在正比例函数图象上，点B坐标为(12,0)，连接AB，AO=AB=10，点C是线段AB的中点，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段AO上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒．（1）正比例函数的关系式为 ；（2）当t=1秒，且SΔOPQ=6时，求点Q的坐标；（3）连接CP，在点P、Q运动过程中，ΔOPQ与ΔBPC是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由．【变式3-2】（2023春·辽宁阜新·八年级校考期末）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；（2）连接BE，求△DBE的面积；（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．【变式3-3】（2023春·山东济南·八年级统考期中）若直线y mx8和ynx3都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于A、C．（1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ____ ；（2）若BC平分∠ABO，求直线AB和CB的解析式；（3）点D是y轴上一个动点，是否存在 AB上的动点E，使得△ADE与△AOB全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4 一次函数与等腰三角形】【例4】（2023春·山西临汾·八年级校联考期中）已知正比例函数y=43x与一次函数y=3x-5的图象交于点A，且OA=OB．（1）求A点坐标；（2）求△AOB的面积；（3）已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标．【变式4-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）等腰三角形中，周长为20cm，设底边为x，腰长为y． (1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)在平面直角坐标系中画出函数的图象．【变式4-2】（2023春·江苏盐城·八年级校考期末）如图是8×8的正方形网格，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是格点（网格线的交点）．以网格线所在直线为坐标轴，在网格中建立平面直角坐标系xOy，使点A坐标为（－2，4）．(1)在网格中，画出这个平面直角坐标系；(2)在第二象限内的格点上找到一点C，使A、B、C三点组成以AB为底边的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是______；(3)点D为x轴上一动点，当△ABD的周长最小时，点D的坐标为_________．【变式4-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期中）如图，直线l1：y1=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l 1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动至 A，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②是否存在t的值，使△APQ面积为△APC的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．③是否存在t的值，使△APQ为以AQ为底的等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【题型5 一次函数与等腰直角三角形】【例5】（2023春·广东深圳·八年级统考期中）如图1，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC．（1）A（ ）；B（ ）；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE＝AC，AE与x轴相交于点F．①求证：BD＝ED；②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【变式5-1】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B=90°, OA=4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．（1）点B的坐标为____________；（2）点C的运动时间是t秒．①当2⩽t⩽4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；②当t>0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CN=32CM，求t的值．【变式5-2】（2023春·广东茂名·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线y=x与y=2x的交角内部作等腰Rt△ABC，使∠ABC=90°，边BC//x轴，AB//y轴，点A1,1在直线y=x上，点C在直线y=2x上，CB的延长线交直线y=x于点A1，作等腰Rt△A1B1C1，使∠A1B1C1=90°，B1C1//x轴，A1B1//y轴，点C1在直线y=2x上…按此规律，则等腰Rt△A2021B2021C2021的腰长为 ．【变式5-3】（2023春·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标(6,0)，点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°．(1)求直线AB的解析式以及C点坐标；(2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；(3)如图2，连接OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．【题型6 一次函数与动点最值问题】【例6】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对任意两点A(x1，y1)与B(x2，y2)的“YY距离”，给出如下定义：若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点A(x1，y1)与B(x2，y2)的“YY距离”是|x1-x2|；若|x1-x2|<|y1-y2|，则点A(x1，y1)与B(x2，y2)的“YY距离”的|y1-y2|．如图，已知点C(12,-1)，点D是直线l:y=34x-3图象上一个动点，则点C与点D的“YY距离”的最小值是 ，此时点D的坐标 ． 【变式6-1】（2023春·四川内江·八年级统考期末）如图所示，已知点C（2，0），直线y=-x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当ΔCDE的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）A．（2，1） B．（3，2） C．（73，2） D．（103，83）【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0,2，与正比例函数y=32x的图象交于点C4,c．（1）求k和b的值．（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当PA-PC最大时，求点P的坐标．（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE=2，分别连结BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标．【变式6-3】（2023春·河北衡水·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y=2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OA=OC．点P为线段AC（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O逆时针旋转90°，得线段OQ（见图2）（1）分别求出点B、点C的坐标；（2）如图2，连接AQ，求证：∠OAQ=45°；（3）如图2，连接BQ，试求出当线段BQ取得最小值时点Q的坐标．【题型7 一次函数的图象的应用】【例7】（2023春·重庆·八年级重庆市求精中学校校考期中）在一次趣味运动会中，“抢种抢收”的比赛规则如下：全程50米的直线跑道，在起点和终点之间，每隔10米放置一个小桶，共四个，参赛者用手托着放有4个乒乓球的盘子，在从起点跑到终点的过程中，将四个乒乓球依次放入4个小桶中（放入时间忽略不计），如果中途乒乓球掉出小桶，则需要返回将乒乓球放回桶中，率先到达终点者获胜．小明和小亮同时从起点出发，以各自的速度匀速跑步前进，小明在放入第二个乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二个桶的旁边，且落地后不再移动，但他并未发现，继续向前跑了一段距离，被裁判员提醒后立即原速返回捡球，并迅速放回桶中（捡球时间忽略不计），为了赶超小亮，小明将速度提高了1米/秒，小明和小亮之间的距离y（米）和出发时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则小明在掉出乒乓球后又继续跑了 米后开始返回．【变式7-1】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）如图，一束光线从点O射出，照在经过A(-2,0)、B(0,2)的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴反射后的光线恰好通过点A，则光线OD所在直线的函数表达式为 ． 【变式7-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考期末）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图像，请结合图像，回答下列问题：(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前2分钟的速度为______米/分；(2)已知线段FG∥x轴，前3分钟甲机器人的速度不变．①在3~4分钟的这段时间，甲机器人的速度为______米/分，F的坐标是______；②在整个运动过程中，两机器人相距30m时x的值______．【变式7-3】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，乙每小时走4千米，小狗随甲一起同向出发，小狗追上乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直匀速跑下去．如图，折线A-B-C，A-D-E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程ykm与甲行进时间x(h)之间的部分函数图象． (1)求AB所在直线的函数解析式；(2)小狗的速度为______km/h；求点E的坐标；(3) 小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，求x为何值时，它离乙的路程与离甲的路程相等？【题型8 一次函数的实际应用】【例8】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨，设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；(3)机器人公司的报价如下表：在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．【变式8-1】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【变式8-2】（2023春·河北沧州·八年级校考期中）A、B两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价80元，羽毛球每盒定价20元．现两家商店搞促销活动，A店：每买一副球拍赠一盒羽毛球；B店：按定价的9折优惠，八（1）班现需购羽毛球拍4副，羽毛球若干盒（不少于4盒）．(1)设购买羽毛球盒数为x（盒），在A店购买的付款数为yA（元），在B店购买的付款数为yB（元），分别写出在两家商店购买的付款数与羽毛球盒数x之间的函数关系式；(2)买多少盒羽毛球时，两家商店付款相同？(3)就羽毛球盒数讨论去哪家商店买合算？【变式8-3】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）“五一”期间，小华一家人开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油50升，当行驶100千米时，发现油箱剩余油量为41升（汽车行驶中的余油量与行驶路程是一次函数关系）．(1)求剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式．(2)当油箱中剩余油量低于5升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?说明理由． 型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折
专题6.9 一次函数章末八大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc32145" 【题型1 根据情景确定函数图象】 PAGEREF _Toc32145 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16415" 【题型2 一次函数与三角形的面积综合】 PAGEREF _Toc16415 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14335" 【题型3 一次函数与全等三角形】 PAGEREF _Toc14335 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc11441" 【题型4 一次函数与等腰三角形】 PAGEREF _Toc11441 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc10453" 【题型5 一次函数与等腰直角三角形】 PAGEREF _Toc10453 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc6189" 【题型6 一次函数与动点最值问题】 PAGEREF _Toc6189 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1933" 【题型7 一次函数的图象的应用】 PAGEREF _Toc1933 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc1828" 【题型8 一次函数的实际应用】 PAGEREF _Toc1828 \h 14【题型1 根据情景确定函数图象】【例1】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ） B． C． D． 【变式1-1】（2023·广西南宁·八年级校考期中）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ） B． C． D． 【变式1-2】（2023·北京怀柔·八年级校考期中）小丽早上从家出发骑车去上学，途中想起忘了带昨天晚上完成的数学作业，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回骑，遇到妈妈后停下说了几句话，接着继续骑车去学校．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与学校的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）．A．A B．B C．C D．D【变式1-3】（2023春·北京东城·八年级北京市第二中学分校校考期末）如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图像中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 一次函数与三角形的面积综合】【例2】（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，四边形ODEC为正方形，点C的坐标是(0,2)，点A的坐标是(2,1)，若直线l把▱OABC与正方形ODEC组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是( ) A．y=14x+54 B．y=12x+32 C．y=-14x+34 D．y=-14x+32【变式2-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，过点A(-2,0)的直线l1:y=kx+b与直线l2:y=-x+1交于P(-1,a)． (1)求直线l1对应的表达式；(2)求四边形PAOC的面积．【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示． (1)由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时距离点C cm．(2)求在点E的运动过程中，△ABE的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的关系是 ．(3)求点E停止运动后，求△ABE的面积．【变式2-3】（2023春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足a+42+b-6=0． (1)如图1，求点A的坐标；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．(3)在（2）的条件下，记AC与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接PB，PD，若三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．【题型3 一次函数与全等三角形】【例3】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，直线l1：y=-2x+6与过点B(0，3)的直线l2交于点C(1，m)，且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D． (1)求直线l2的函数表达式；(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．【变式3-1】（2023春·河北保定·八年级校联考期中）已知：如图点A(6，8)在正比例函数图象上，点B坐标为(12,0)，连接AB，AO=AB=10，点C是线段AB的中点，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段AO上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒．（1）正比例函数的关系式为 ；（2）当t=1秒，且SΔOPQ=6时，求点Q的坐标；（3）连接CP，在点P、Q运动过程中，ΔOPQ与ΔBPC是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由．【变式3-2】（2023春·辽宁阜新·八年级校考期末）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；（2）连接BE，求△DBE的面积；（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．【变式3-3】（2023春·山东济南·八年级统考期中）若直线y mx8和ynx3都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于A、C．（1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ____ ；（2）若BC平分∠ABO，求直线AB和CB的解析式；（3）点D是y轴上一个动点，是否存在 AB上的动点E，使得△ADE与△AOB全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4 一次函数与等腰三角形】【例4】（2023春·山西临汾·八年级校联考期中）已知正比例函数y=43x与一次函数y=3x-5的图象交于点A，且OA=OB．（1）求A点坐标；（2）求△AOB的面积；（3）已知在x轴上存在一点P，能使△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标．【变式4-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）等腰三角形中，周长为20cm，设底边为x，腰长为y． (1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)在平面直角坐标系中画出函数的图象．【变式4-2】（2023春·江苏盐城·八年级校考期末）如图是8×8的正方形网格，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是格点（网格线的交点）．以网格线所在直线为坐标轴，在网格中建立平面直角坐标系xOy，使点A坐标为（－2，4）．(1)在网格中，画出这个平面直角坐标系；(2)在第二象限内的格点上找到一点C，使A、B、C三点组成以AB为底边的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是______；(3)点D为x轴上一动点，当△ABD的周长最小时，点D的坐标为_________．【变式4-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期中）如图，直线l1：y1=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l 1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动至 A，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②是否存在t的值，使△APQ面积为△APC的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．③是否存在t的值，使△APQ为以AQ为底的等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【题型5 一次函数与等腰直角三角形】【例5】（2023春·广东深圳·八年级统考期中）如图1，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC．（1）A（ ）；B（ ）；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE＝AC，AE与x轴相交于点F．①求证：BD＝ED；②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【变式5-1】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B=90°, OA=4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．（1）点B的坐标为____________；（2）点C的运动时间是t秒．①当2⩽t⩽4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；②当t>0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CN=32CM，求t的值．【变式5-2】（2023春·广东茂名·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线y=x与y=2x的交角内部作等腰Rt△ABC，使∠ABC=90°，边BC//x轴，AB//y轴，点A1,1在直线y=x上，点C在直线y=2x上，CB的延长线交直线y=x于点A1，作等腰Rt△A1B1C1，使∠A1B1C1=90°，B1C1//x轴，A1B1//y轴，点C1在直线y=2x上…按此规律，则等腰Rt△A2021B2021C2021的腰长为 ．【变式5-3】（2023春·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标(6,0)，点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°．(1)求直线AB的解析式以及C点坐标；(2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；(3)如图2，连接OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．【题型6 一次函数与动点最值问题】【例6】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对任意两点A(x1，y1)与B(x2，y2)的“YY距离”，给出如下定义：若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点A(x1，y1)与B(x2，y2)的“YY距离”是|x1-x2|；若|x1-x2|<|y1-y2|，则点A(x1，y1)与B(x2，y2)的“YY距离”的|y1-y2|．如图，已知点C(12,-1)，点D是直线l:y=34x-3图象上一个动点，则点C与点D的“YY距离”的最小值是 ，此时点D的坐标 ． 【变式6-1】（2023春·四川内江·八年级统考期末）如图所示，已知点C（2，0），直线y=-x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当ΔCDE的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）A．（2，1） B．（3，2） C．（73，2） D．（103，83）【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0,2，与正比例函数y=32x的图象交于点C4,c．（1）求k和b的值．（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当PA-PC最大时，求点P的坐标．（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE=2，分别连结BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标．【变式6-3】（2023春·河北衡水·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y=2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OA=OC．点P为线段AC（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O逆时针旋转90°，得线段OQ（见图2）（1）分别求出点B、点C的坐标；（2）如图2，连接AQ，求证：∠OAQ=45°；（3）如图2，连接BQ，试求出当线段BQ取得最小值时点Q的坐标．【题型7 一次函数的图象的应用】【例7】（2023春·重庆·八年级重庆市求精中学校校考期中）在一次趣味运动会中，“抢种抢收”的比赛规则如下：全程50米的直线跑道，在起点和终点之间，每隔10米放置一个小桶，共四个，参赛者用手托着放有4个乒乓球的盘子，在从起点跑到终点的过程中，将四个乒乓球依次放入4个小桶中（放入时间忽略不计），如果中途乒乓球掉出小桶，则需要返回将乒乓球放回桶中，率先到达终点者获胜．小明和小亮同时从起点出发，以各自的速度匀速跑步前进，小明在放入第二个乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二个桶的旁边，且落地后不再移动，但他并未发现，继续向前跑了一段距离，被裁判员提醒后立即原速返回捡球，并迅速放回桶中（捡球时间忽略不计），为了赶超小亮，小明将速度提高了1米/秒，小明和小亮之间的距离y（米）和出发时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则小明在掉出乒乓球后又继续跑了 米后开始返回．【变式7-1】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）如图，一束光线从点O射出，照在经过A(-2,0)、B(0,2)的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴反射后的光线恰好通过点A，则光线OD所在直线的函数表达式为 ． 【变式7-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考期末）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图像，请结合图像，回答下列问题：(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前2分钟的速度为______米/分；(2)已知线段FG∥x轴，前3分钟甲机器人的速度不变．①在3~4分钟的这段时间，甲机器人的速度为______米/分，F的坐标是______；②在整个运动过程中，两机器人相距30m时x的值______．【变式7-3】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，乙每小时走4千米，小狗随甲一起同向出发，小狗追上乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直匀速跑下去．如图，折线A-B-C，A-D-E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程ykm与甲行进时间x(h)之间的部分函数图象． (1)求AB所在直线的函数解析式；(2)小狗的速度为______km/h；求点E的坐标；(3) 小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，求x为何值时，它离乙的路程与离甲的路程相等？【题型8 一次函数的实际应用】【例8】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨，设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；(3)机器人公司的报价如下表：在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．【变式8-1】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【变式8-2】（2023春·河北沧州·八年级校考期中）A、B两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价80元，羽毛球每盒定价20元．现两家商店搞促销活动，A店：每买一副球拍赠一盒羽毛球；B店：按定价的9折优惠，八（1）班现需购羽毛球拍4副，羽毛球若干盒（不少于4盒）．(1)设购买羽毛球盒数为x（盒），在A店购买的付款数为yA（元），在B店购买的付款数为yB（元），分别写出在两家商店购买的付款数与羽毛球盒数x之间的函数关系式；(2)买多少盒羽毛球时，两家商店付款相同？(3)就羽毛球盒数讨论去哪家商店买合算？【变式8-3】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）“五一”期间，小华一家人开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油50升，当行驶100千米时，发现油箱剩余油量为41升（汽车行驶中的余油量与行驶路程是一次函数关系）．(1)求剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式．(2)当油箱中剩余油量低于5升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?说明理由． 型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折
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