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苏科版八年级数学上册讲练专题2.1轴对称图形与垂直平分线的性质(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册讲练专题2.1轴对称图形与垂直平分线的性质(原卷版+解析)，共61页。
专题2.1 轴对称图形与垂直平分线的性质【教学目标】认识轴对称与轴对称图形； 2、轴对称与轴对称图形的区别和联系；3、垂直平分线的性质与判定； 4、线段垂直平分线的尺规作图【教学重难点】1.轴对称及轴对称图形的概念。 2.轴对称与轴对称图形的区别和联系3.垂直平分线的性质与判定4.线段垂直平分线的尺规作图【知识亮解】知识点一：轴对称与轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质轴对称的性质：垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.亮题一、判断轴对称图形1．（2022·云南·红河县教育科学研究室八年级期末）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）．A． 雪铁龙 B． 本田C． 长城 D． 传祺2．（2022·福建·福州立志中学八年级期末）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．3．（2022·全国·九年级专题练习）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．4．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有_________(填序号)．5．（福建莆田·八年级期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____．6．（2021·全国·七年级课时练习）请将以下的图形补成以为对称轴的轴对称图形．亮题二、轴对称的性质1★（江苏省大丰区期末）如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°2★如图，将正方形纸片按照图上所示进行操作，打开得到的图形是（ ）A．① B．② C．③ D．④3★如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）A．126° B．128° C．130° D．132°4★★如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）A．40° B．35° C．60° D．70°知识点二：设计轴对称图形问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′?作法:过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA，垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点。问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′?作法：过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；类似地，作出点B关于直线l的对称点B′；连结A′B′.问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？作法：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形.∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形.归 纳一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:1.找点（确定图形中的一些特殊点）；2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）；3.连线（连结对称点）.二．设计轴对称图案的步骤：（1）画出对称轴；（2）画出图形的基本形状的部分线条；（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形；（4）按照另一条对称轴继续画对称图形；（5）完成对称图案设计.亮题三、设计轴对称图形1．（2022·河南商丘·三模）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处2．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种3．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，为格点三角形，请问图中还存在（ ）个格点三角形与成轴对称图形．A．4 B．5 C．6 D．74．（2022·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____．5．（2021·江苏盐城·八年级阶段练习）如图，在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有 ___个．6．（2020·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在图中画一个与成轴对称的格点三角形，这样的格点三角形可以画_____个．7．（2022·河北·高阳县教育局教研室八年级期末）如图1，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的顶点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；(2)如图2，在直线m上找到一点P，使PA+PB的值最小；(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．(4)如图4，仅用直尺作出三角形ABC的边AB上的高，简单说明你的理由．知识点三：垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的作法①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；③尺规法：分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。亮题四、垂直平分线的性质1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）A．13 B．14 C．18 D．212．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则BD的长为（ A． B． C． D．3．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）某数学兴趣小组，在学习了角平分线的作法后，又探究出如图所示的甲、乙两种方案，则正确的方案（ ）A．只有甲才是 B．只有乙才是C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是4．（2022·广东·平洲二中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm．则AC的长等于（ ）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm5．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，DE交AC于点E，且，△BEC的周长为11，则BC的长为________．6．（2022·广西·藤县教学研究室一模）如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D， 交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为_____．7．（2022·辽宁大连·一模）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为___________.8．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．(1)求证：∠BAE＝∠C．(2)若∠BAE＝32°，求∠B的度数．9．（2022·贵州黔南·八年级期末）在△ABC中，点M，N分别在AB，AC边上．(1)如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点P，使得PM＝PN．（保留作图痕迹，不写作法）(2)如图②，请用画图的方式在BC边上找一点Q，使得的值最小．【亮点训练】一、判断轴对称图形【训练1】★下列奥运会会徽是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【训练2】★下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【训练3】★下列所给的四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．二、轴对称的性质【训练1】★如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝（ ）A．80° B．65° C．45° D．35°【训练2】★如图，把Rt△ABC（∠C＝90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，若CE＝DE，则∠A等于 ．【训练3】★如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4三、设计轴对称图形【训练1】★如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【训练2】★在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 种．【训练3】★如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 个．四、垂直平分线的性质与判定【训练1】★如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米，的周长是18厘米，则 【训练2】★如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 ( )A．80° B．70° C．60° D．50°【训练3】★如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【训练4】★如图，将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，若AB＝8，AC＝10，则△AEM的周长为 ．【培优检测】1．（2021·全国·八年级期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列简图中，是轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．2．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，在△ABC中，，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC上的点E处，若，则∠A的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°3．（2022·河北石家庄·一模）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）结论①；结论②．A．结论①②都正确 B．结论①②都错误C．只有结论①正确 D．只有结论②正确5．（2022·广东·化州市第一中学八年级期中）如图，中，，边AB的垂直平分线和边AC的垂直平分线相交于点M，且与边BC分别相交于点D、E，连接AE、AD，则的周长（ ）．A．14 B．10 C．18 D．不能确定6．（2021·山东·巨野县金山中学八年级阶段练习）下列图形中，一定是轴对称图形的有______________（填序号）．（1）线段；（2）三角形；（3）圆；（4）正方形；（5）梯形7．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE//BC，△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处．若∠B=50°，则∠BDF=_____．8．（2022·上海·七年级期末）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与成轴对称．9．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长为___________．10．（2021·山东滨州·八年级期末）如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为________．11．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；(2)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC所在直线的距离相等．12．（2021·河南·金明中小学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，，AB＝8cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使A、B两点重合，得到折痕DE，再沿BE折叠，点C恰好落到点D上，(1)求∠A的度数；(2)求△ADE的周长．13．（2022·湖南邵阳·七年级期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．请你用三种不同的方法分别在每个网格中再选一个白色小方格涂成黑色，使涂成黑色部分的图形成为轴对称图形．14．（2021·广西·柳城县教育局教研室一模）如图，在Rt△ABC中，AC＜BC，∠C＝90°．(1)在BC上求作点D，使点D到A，B两点的距离相等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接AD，过点B作AD的垂线BE，垂足为E，求证：BE＝AC．15．（2021·全国·八年级期末）阅读材料：课本中研究图形的性质，就是探究图形的构成元素（边、角、有关线段）具有怎样的特征．例如在学习等腰三角形的性质时，我们就探究得出了等腰三角形有如下性质：边的性质：等腰三角形两腰相等；角的性质：等腰三角形的两个底角相等；有关线段的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线是同一条线段．如果两组邻边分别相等的四边形叫筝形．如图，在四边形，若， ，则四边形是筝形．请探究筝形的性质，写出两条并进行证明（边的性质除外）． 甲：（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线，交点为P； （3）作射线OP．OP即为∠AOB的平分线．乙：（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．OP即为∠AOB的平分线．专题2.1 轴对称图形与垂直平分线的性质【教学目标】认识轴对称与轴对称图形； 2、轴对称与轴对称图形的区别和联系；3、垂直平分线的性质与判定； 4、线段垂直平分线的尺规作图【教学重难点】1.轴对称及轴对称图形的概念。 2.轴对称与轴对称图形的区别和联系3.垂直平分线的性质与判定4.线段垂直平分线的尺规作图【知识亮解】知识点一：轴对称与轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质轴对称的性质：垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.亮题一、判断轴对称图形1．（2022·云南·红河县教育科学研究室八年级期末）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）．A． 雪铁龙 B． 本田C． 长城 D． 传祺【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判定即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，一个图形沿着某条直线对折，两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形．2．（2022·福建·福州立志中学八年级期末）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．【详解】解：“立”、“志”、“学”均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，“中”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．4．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有_________(填序号)．【答案】②③④【解析】【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．【详解】解：在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有②，③，④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．5．（福建莆田·八年级期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____．【答案】MLI7639【解析】【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】由图分析可得题中所给的号码与“MLI7639”成轴对称，则实际号码是：MLI7639．故答案为MLI7639【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．6．（2021·全国·七年级课时练习）请将以下的图形补成以为对称轴的轴对称图形．【答案】作图见解析【解析】【分析】根据轴对称的性质，首先作点和点的对称点点和点，再分别连接、、、，即可得到答案．【详解】如图，点作交于点，延长，使，则点为点对称点点作交于点，延长，使，则点为点对称点分别连接、、、 ．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，从而完成求解．亮题二、轴对称的性质1★（江苏省大丰区期末）如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．【解析】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝60°，∵∠A＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，故选：C．2★如图，将正方形纸片按照图上所示进行操作，打开得到的图形是（ ）A．① B．② C．③ D．④【分析】利用图形的翻折，由翻折前后的图形是全等形，通过动手操作得出答案．【解析】将正方形纸片按照图上所示进行操作，然后打开得到的图形是①．故选：A．3★如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）A．126° B．128° C．130° D．132°【解析】连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，∵∠B＝62°，∠C＝52°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣52°＝66°，∴∠EAF＝2∠BAC＝132°，故选：D．4★★如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）A．40° B．35° C．60° D．70°【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°∠BAD．【解析】如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE∠BAD＝55°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠ACB'＝35°，故选：B．知识点二：设计轴对称图形问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′?作法:过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA，垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点。问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′?作法：过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；类似地，作出点B关于直线l的对称点B′；连结A′B′.问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？作法：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形.∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形.归 纳一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:1.找点（确定图形中的一些特殊点）；2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）；3.连线（连结对称点）.二．设计轴对称图案的步骤：（1）画出对称轴；（2）画出图形的基本形状的部分线条；（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形；（4）按照另一条对称轴继续画对称图形；（5）完成对称图案设计.亮题三、设计轴对称图形1．（2022·河南商丘·三模）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处【答案】D【解析】【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．【详解】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域④．故选D．【点睛】本题主要考查的是利用轴对称的性质设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．2．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】C【解析】【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形．【详解】解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，为格点三角形，请问图中还存在（ ）个格点三角形与成轴对称图形．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可．【详解】如图，图中还存在6个格点三角形与成轴对称图形故选：C．【点睛】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．4．（2022·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____．【答案】【解析】【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可．【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=故答案为：【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割．5．（2021·江苏盐城·八年级阶段练习）如图，在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有 ___个．【答案】4【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意即可得出答案．【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形．故在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．6．（2020·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在图中画一个与成轴对称的格点三角形，这样的格点三角形可以画_____个．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．7．（2022·河北·高阳县教育局教研室八年级期末）如图1，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的顶点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；(2)如图2，在直线m上找到一点P，使PA+PB的值最小；(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．(4)如图4，仅用直尺作出三角形ABC的边AB上的高，简单说明你的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）作点B关于直线m的对称点，连接，交直线m于点P，则点P即为所求作的点；（3）如图，取格点O，计算可知S△AOC=S△BOC=S△AOB=2（平方单位）．（4）如图，选择格点D、E，证明△ACD≌△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ≌△BCQ，于是，AQ=BQ．推出CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．(1)如图所示，△A′B′C′即为所求作，(2)如图，点P即为所求作，(3)如图，即为所作，(4)如图，选择格点D、E，证明△ACD≌△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ≌△BCQ，于是，AQ=BQ．∴CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．【点睛】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．知识点三：垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的作法①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；③尺规法：分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。亮题四、垂直平分线的性质1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）A．13 B．14 C．18 D．21【答案】A【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式即可求解．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴， AC＝8，BC＝5，△BCE的周长为，故选A【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．2．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则BD的长为（ A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，AD=BD=AB，∵△BCE的周长是10cm，∴BC+BE+EC=10cm，即AC+BC=10（cm），∵△ABC的周长是16cm，∴AB+AC+BC=16（cm），∴AB=16-10=6（cm），∴BD=AB=×6=3（cm）．故选：A．【点睛】本题主要考查了段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）某数学兴趣小组，在学习了角平分线的作法后，又探究出如图所示的甲、乙两种方案，则正确的方案（ ）A．只有甲才是 B．只有乙才是C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是【答案】C【解析】【分析】分别根据甲乙两种方案进行分析判断，通过证明三角形全等得到角平分线即可．【详解】解：由甲的做法可知：，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴OP为∠AOB的平分线,故甲正确；∵OC=OD，OF=OE，∠COF=∠DOE，∴，CE=DF．∴，∵∠EPC=∠FPD，∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC=PD，由OP=OP，则△OCP≌△ODP（SSS）∴∠POC=∠POD，∴OP为∠AOB的平分线，故乙也正确，故选：C．【点睛】本题考查了尺规作图，通过作图进行推理判断角平分线的情况，涉及到了三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质等，解题关键是理解作图中的相等关系以及转化思想的应用．4．（2022·广东·平洲二中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm．则AC的长等于（ ）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．【详解】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE=BE．∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18．又∵BC=8，∴AC=10（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．5．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，DE交AC于点E，且，△BEC的周长为11，则BC的长为________．【答案】4【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，从而求出BE+EC=AE+EC=AC=7，然后根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解∶∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，又AC=7，∴BE+EC=AE+EC=AC=7，又△BEC的周长为11，∴BE+EC+BC=11，∴BC=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2022·广西·藤县教学研究室一模）如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D， 交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为_____．【答案】35°【解析】【分析】由直角三角形两锐角互余及∠BAE＝20°，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得答案．【详解】在Rt△ABC中，，，，， AC的垂直平分线DE交AC于点D，，，故答案为：35°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2022·辽宁大连·一模）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为___________.【答案】19【解析】【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2AE=6，再根据三角形的周长公式计算，即可得到答案．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴DA=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周长为13，∴AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=13，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19，故答案为：19【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．(1)求证：∠BAE＝∠C．(2)若∠BAE＝32°，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)84°【解析】【分析】（1）证明∠BAE＝∠EAD，∠EAD＝∠C，从而可得结论；（2）结合（1）可得∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°，再利用三角形的内角和定理可得答案．(1)解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAD． ∵将△CDE沿DE对折后，点C落在点A处∴DE垂直平分AC， ∴EA＝EC．∴∠EAD＝∠C． ∴∠BAE＝∠C．(2)由（1）可得，∠EAD＝∠BAE＝∠C， ∴∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°．∵∠BAC+∠BCA+∠B＝180°．∴∠B＝180°﹣3×32°＝84°．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，证明∠EAD＝∠BAE＝∠C是解本题的关键．9．（2022·贵州黔南·八年级期末）在△ABC中，点M，N分别在AB，AC边上．(1)如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点P，使得PM＝PN．（保留作图痕迹，不写作法）(2)如图②，请用画图的方式在BC边上找一点Q，使得的值最小．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．（2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．(1)解：如图①中，点即为所求．(2)解：如图②，线段与边BC的交点Q即为所求．【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线解决问题．【亮点训练】一、判断轴对称图形【训练1】★下列奥运会会徽是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【解析】A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意；故选：D．【训练2】★下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【解析】A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，符合题意．故选：D．【训练3】★下列所给的四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．二、轴对称的性质【训练1】★如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝（ ）A．80° B．65° C．45° D．35°【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得．【解析】∵△ABC与△DEF关于直线l对称，∴∠A＝∠D＝65°，∠B＝∠E＝80°∴∠F＝180°﹣80°﹣65°＝35°．故选：D．【训练2】★如图，把Rt△ABC（∠C＝90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，若CE＝DE，则∠A等于 ．【分析】如图，运用翻折变换的性质证明∠ABC＝2∠A；进而证明3∠A＝90°，即可解决问题．【解析】由题意得：∠EAD＝∠EBD，∠EBD＝∠EBC，∴∠ABC＝2∠A，∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝3∠A＝90°，∴∠A＝30．故答案为：30°．【训练3】★如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解析】如图所示：点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有4个．故选：D．三、设计轴对称图形【训练1】★如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解析】如图，共有10种符合条件的添法，故选：D．【训练2】★在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 种．【分析】因为中间4个小正方形组成一个大的正方形，正方形有四条对称轴，试着利用这四条对称轴添加图形得出答案即可．【解析】如图所示．这样的添法共有4种．故答案为：4．【训练3】★如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 个．【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．【解析】如图所示：都是符合题意的图形． 故答案为：4．四、垂直平分线的性质与判定【训练1】★如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米，的周长是18厘米，则 【解析】∵DE是BC边的垂直平分线，∴BE=CE，DB=DC， ∵BE=5cm，∴CE=5cm，∵△BCE的周长是18cm，∴BE+CE+BC=18cm，∴BC=18-5-5=8cm【训练2】★如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 ( )A．80° B．70° C．60° D．50°【解析】 因为等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC＝eq \f(180°－20°,2)＝80°.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°，所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°.故选C.【训练3】★如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【解析】 因为AC＝AD，BC＝BD，所以点A，B在线段CD的垂直平分线上．所以AB垂直平分CD.故选A.【训练4】★如图，将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，若AB＝8，AC＝10，则△AEM的周长为 ．【分析】由折叠的性质可得CE＝EM，由△AEM的周长＝AE+EM+AM，即可求解．【解析】∵点M是AB的中点，∴AM＝BMAB＝4，∵将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，∴CE＝EM，∴△AEM的周长＝AE+EM+AM＝AE+EC+AM＝AC+AM＝10+4＝14，故答案为：14．【培优检测】1．（2021·全国·八年级期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列简图中，是轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】A选项是轴对称图形，符合题意；B选项不是轴对称图形，不符合题意；C选项不是轴对称图形，不符合题意；D选项不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，在△ABC中，，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC上的点E处，若，则∠A的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【解析】【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】解：∵，，由翻折的性质可知：，，∴，∵，∴．故选：C【点睛】本题考查翻折的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题的关键是求出，利用求出．3．（2022·河北石家庄·一模）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解析】【分析】先找对称轴，然后再画出图形，AC的垂直平分线为对称轴，BC的垂直平分线为对称轴，过A的大正方形对角线所在直线为对称轴，过C大正方形对角线所在直线为对称轴，过B的铅直线为对称轴，可画5个三角形．【详解】如图，阴影部分与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个．故选择D．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．4．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）结论①；结论②．A．结论①②都正确 B．结论①②都错误C．只有结论①正确 D．只有结论②正确【答案】A【解析】【分析】由三角形内角和定理得，根据ASA可证明得出，，从而得到BD是CE的垂直平分线，得DC=DE，又可得，从而再由三角形外角的性质可得结论．【详解】解：如图，∵在△ABC中，，，∴ ∵BD是∠ABC的平分线，∴ 又∴ 在和中， ∴∴BC=BE，CO=EO∴ ∴ ∵CO=EO，∴BD是CE的垂直平分线，∴DC=DE，∴ ∴ 故①②都正确，故选A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．5．（2022·广东·化州市第一中学八年级期中）如图，中，，边AB的垂直平分线和边AC的垂直平分线相交于点M，且与边BC分别相交于点D、E，连接AE、AD，则的周长（ ）．A．14 B．10 C．18 D．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DF是线段AB的垂直平分线，∴DA=DB，∵EG是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△AED的周长=AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=14，故选：A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2021·山东·巨野县金山中学八年级阶段练习）下列图形中，一定是轴对称图形的有______________（填序号）．（1）线段；（2）三角形；（3）圆；（4）正方形；（5）梯形【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，依据定义即可作出判断．【详解】解：线段的对称轴是其垂直平分线，圆的对称轴是其直径所在的直线，正方形的对称轴是其对角线所在直线和对边中点的连线，（1）（3）（4）是轴对称图形，只有等腰三角形和等腰梯形是轴对称图形，（2）（5）不一定是轴对称图形，故一定是轴对称图形的有（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是正确确定轴对称图形的对称轴．7．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE//BC，△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处．若∠B=50°，则∠BDF=_____．【答案】##80度【解析】【分析】由平行线的性质先证明再由折叠的性质证明从而可得答案．【详解】解： 由折叠可得： 故答案为：【点睛】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，证明是解本题的关键．8．（2022·上海·七年级期末）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与成轴对称．【答案】5【解析】【分析】画出所有与成轴对称的三角形．【详解】解：如图所示：和对称，和对称，和对称，和对称，和对称，故答案是：5．【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．9．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长为___________．【答案】10【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∵△BCE的周长为18，∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=18，∵BC=8，∴AC=10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的周长计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（2021·山东滨州·八年级期末）如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为________．【答案】18【解析】【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．【详解】解：如图，∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，∴点C和点B关于直线DE对称，∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．11．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；(2)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC所在直线的距离相等．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作．（3）∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作．(1)解：如图，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，△A1B1C1即为所求作．(2)解：如图连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作，点P即为所求作．(3)解：如图∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作，点Q即为所求作．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，角平分线的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2021·河南·金明中小学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，，AB＝8cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使A、B两点重合，得到折痕DE，再沿BE折叠，点C恰好落到点D上，(1)求∠A的度数；(2)求△ADE的周长．【答案】(1) ；(2) ．【解析】【分析】（1）将 折叠后，由轴对称的性质可得，，再根据全等三角形的性质得到，继而可得出；（2）由（1）中的三角形全等可得 ，，根据 的周长进行等量代换即可求解．(1)将 折叠后， 、 两点重合 同理 即 (2)由（1）得，， ， 又 的周长 ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的性质知识点，熟练的掌握和运用这些知识是解题的关键．13．（2022·湖南邵阳·七年级期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．请你用三种不同的方法分别在每个网格中再选一个白色小方格涂成黑色，使涂成黑色部分的图形成为轴对称图形．【答案】见解析【解析】【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．【详解】解：根据题意画图如下所示．【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．14．（2021·广西·柳城县教育局教研室一模）如图，在Rt△ABC中，AC＜BC，∠C＝90°．(1)在BC上求作点D，使点D到A，B两点的距离相等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接AD，过点B作AD的垂线BE，垂足为E，求证：BE＝AC．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线即可在BC边上作一点D，使点D到A、B两点的距离相等；（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，可得，然后根据AAS即可证明，从而可得结论．(1)如图，点D即为所求；(2)由（1）得，DA=DB，∴∵ ∴ ∴ 在和中， ∴≌∴【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．15．（2021·全国·八年级期末）阅读材料：课本中研究图形的性质，就是探究图形的构成元素（边、角、有关线段）具有怎样的特征．例如在学习等腰三角形的性质时，我们就探究得出了等腰三角形有如下性质：边的性质：等腰三角形两腰相等；角的性质：等腰三角形的两个底角相等；有关线段的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线是同一条线段．如果两组邻边分别相等的四边形叫筝形．如图，在四边形，若， ，则四边形是筝形．请探究筝形的性质，写出两条并进行证明（边的性质除外）．【答案】筝形有一组对角相等，筝形的两条对角线互相垂直【解析】【分析】连接AC，由SSS，易证得△ABC≌△ADC，即可证得∠B=∠D；利用线段垂直平分线的判定和性质即可证明筝形的两条对角线互相垂直．【详解】已知：如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D，AG⊥BD．证明：连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B=∠D；连接BD，∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分线，∴AG⊥BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确理解筝形的定义，证明△ABC≌△ADC是解题的关键． 甲：（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线，交点为P； （3）作射线OP．OP即为∠AOB的平分线．乙：（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．OP即为∠AOB的平分线．
专题2.1 轴对称图形与垂直平分线的性质【教学目标】认识轴对称与轴对称图形； 2、轴对称与轴对称图形的区别和联系；3、垂直平分线的性质与判定； 4、线段垂直平分线的尺规作图【教学重难点】1.轴对称及轴对称图形的概念。 2.轴对称与轴对称图形的区别和联系3.垂直平分线的性质与判定4.线段垂直平分线的尺规作图【知识亮解】知识点一：轴对称与轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质轴对称的性质：垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.亮题一、判断轴对称图形1．（2022·云南·红河县教育科学研究室八年级期末）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）．A． 雪铁龙 B． 本田C． 长城 D． 传祺2．（2022·福建·福州立志中学八年级期末）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．3．（2022·全国·九年级专题练习）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．4．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有_________(填序号)．5．（福建莆田·八年级期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____．6．（2021·全国·七年级课时练习）请将以下的图形补成以为对称轴的轴对称图形．亮题二、轴对称的性质1★（江苏省大丰区期末）如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°2★如图，将正方形纸片按照图上所示进行操作，打开得到的图形是（ ）A．① B．② C．③ D．④3★如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）A．126° B．128° C．130° D．132°4★★如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）A．40° B．35° C．60° D．70°知识点二：设计轴对称图形问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′?作法:过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA，垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点。问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′?作法：过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；类似地，作出点B关于直线l的对称点B′；连结A′B′.问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？作法：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形.∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形.归 纳一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:1.找点（确定图形中的一些特殊点）；2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）；3.连线（连结对称点）.二．设计轴对称图案的步骤：（1）画出对称轴；（2）画出图形的基本形状的部分线条；（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形；（4）按照另一条对称轴继续画对称图形；（5）完成对称图案设计.亮题三、设计轴对称图形1．（2022·河南商丘·三模）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处2．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种3．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，为格点三角形，请问图中还存在（ ）个格点三角形与成轴对称图形．A．4 B．5 C．6 D．74．（2022·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____．5．（2021·江苏盐城·八年级阶段练习）如图，在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有 ___个．6．（2020·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在图中画一个与成轴对称的格点三角形，这样的格点三角形可以画_____个．7．（2022·河北·高阳县教育局教研室八年级期末）如图1，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的顶点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；(2)如图2，在直线m上找到一点P，使PA+PB的值最小；(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．(4)如图4，仅用直尺作出三角形ABC的边AB上的高，简单说明你的理由．知识点三：垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的作法①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；③尺规法：分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。亮题四、垂直平分线的性质1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）A．13 B．14 C．18 D．212．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则BD的长为（ A． B． C． D．3．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）某数学兴趣小组，在学习了角平分线的作法后，又探究出如图所示的甲、乙两种方案，则正确的方案（ ）A．只有甲才是 B．只有乙才是C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是4．（2022·广东·平洲二中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm．则AC的长等于（ ）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm5．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，DE交AC于点E，且，△BEC的周长为11，则BC的长为________．6．（2022·广西·藤县教学研究室一模）如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D， 交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为_____．7．（2022·辽宁大连·一模）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为___________.8．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．(1)求证：∠BAE＝∠C．(2)若∠BAE＝32°，求∠B的度数．9．（2022·贵州黔南·八年级期末）在△ABC中，点M，N分别在AB，AC边上．(1)如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点P，使得PM＝PN．（保留作图痕迹，不写作法）(2)如图②，请用画图的方式在BC边上找一点Q，使得的值最小．【亮点训练】一、判断轴对称图形【训练1】★下列奥运会会徽是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【训练2】★下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【训练3】★下列所给的四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．二、轴对称的性质【训练1】★如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝（ ）A．80° B．65° C．45° D．35°【训练2】★如图，把Rt△ABC（∠C＝90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，若CE＝DE，则∠A等于 ．【训练3】★如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4三、设计轴对称图形【训练1】★如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【训练2】★在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 种．【训练3】★如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 个．四、垂直平分线的性质与判定【训练1】★如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米，的周长是18厘米，则 【训练2】★如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 ( )A．80° B．70° C．60° D．50°【训练3】★如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【训练4】★如图，将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，若AB＝8，AC＝10，则△AEM的周长为 ．【培优检测】1．（2021·全国·八年级期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列简图中，是轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．2．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，在△ABC中，，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC上的点E处，若，则∠A的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°3．（2022·河北石家庄·一模）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）结论①；结论②．A．结论①②都正确 B．结论①②都错误C．只有结论①正确 D．只有结论②正确5．（2022·广东·化州市第一中学八年级期中）如图，中，，边AB的垂直平分线和边AC的垂直平分线相交于点M，且与边BC分别相交于点D、E，连接AE、AD，则的周长（ ）．A．14 B．10 C．18 D．不能确定6．（2021·山东·巨野县金山中学八年级阶段练习）下列图形中，一定是轴对称图形的有______________（填序号）．（1）线段；（2）三角形；（3）圆；（4）正方形；（5）梯形7．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE//BC，△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处．若∠B=50°，则∠BDF=_____．8．（2022·上海·七年级期末）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与成轴对称．9．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长为___________．10．（2021·山东滨州·八年级期末）如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为________．11．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；(2)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC所在直线的距离相等．12．（2021·河南·金明中小学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，，AB＝8cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使A、B两点重合，得到折痕DE，再沿BE折叠，点C恰好落到点D上，(1)求∠A的度数；(2)求△ADE的周长．13．（2022·湖南邵阳·七年级期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．请你用三种不同的方法分别在每个网格中再选一个白色小方格涂成黑色，使涂成黑色部分的图形成为轴对称图形．14．（2021·广西·柳城县教育局教研室一模）如图，在Rt△ABC中，AC＜BC，∠C＝90°．(1)在BC上求作点D，使点D到A，B两点的距离相等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接AD，过点B作AD的垂线BE，垂足为E，求证：BE＝AC．15．（2021·全国·八年级期末）阅读材料：课本中研究图形的性质，就是探究图形的构成元素（边、角、有关线段）具有怎样的特征．例如在学习等腰三角形的性质时，我们就探究得出了等腰三角形有如下性质：边的性质：等腰三角形两腰相等；角的性质：等腰三角形的两个底角相等；有关线段的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线是同一条线段．如果两组邻边分别相等的四边形叫筝形．如图，在四边形，若， ，则四边形是筝形．请探究筝形的性质，写出两条并进行证明（边的性质除外）． 甲：（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线，交点为P； （3）作射线OP．OP即为∠AOB的平分线．乙：（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．OP即为∠AOB的平分线．专题2.1 轴对称图形与垂直平分线的性质【教学目标】认识轴对称与轴对称图形； 2、轴对称与轴对称图形的区别和联系；3、垂直平分线的性质与判定； 4、线段垂直平分线的尺规作图【教学重难点】1.轴对称及轴对称图形的概念。 2.轴对称与轴对称图形的区别和联系3.垂直平分线的性质与判定4.线段垂直平分线的尺规作图【知识亮解】知识点一：轴对称与轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质轴对称的性质：垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.亮题一、判断轴对称图形1．（2022·云南·红河县教育科学研究室八年级期末）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）．A． 雪铁龙 B． 本田C． 长城 D． 传祺【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判定即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，一个图形沿着某条直线对折，两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形．2．（2022·福建·福州立志中学八年级期末）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．【详解】解：“立”、“志”、“学”均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，“中”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．4．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有_________(填序号)．【答案】②③④【解析】【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．【详解】解：在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有②，③，④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．5．（福建莆田·八年级期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____．【答案】MLI7639【解析】【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】由图分析可得题中所给的号码与“MLI7639”成轴对称，则实际号码是：MLI7639．故答案为MLI7639【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．6．（2021·全国·七年级课时练习）请将以下的图形补成以为对称轴的轴对称图形．【答案】作图见解析【解析】【分析】根据轴对称的性质，首先作点和点的对称点点和点，再分别连接、、、，即可得到答案．【详解】如图，点作交于点，延长，使，则点为点对称点点作交于点，延长，使，则点为点对称点分别连接、、、 ．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，从而完成求解．亮题二、轴对称的性质1★（江苏省大丰区期末）如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．【解析】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝60°，∵∠A＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，故选：C．2★如图，将正方形纸片按照图上所示进行操作，打开得到的图形是（ ）A．① B．② C．③ D．④【分析】利用图形的翻折，由翻折前后的图形是全等形，通过动手操作得出答案．【解析】将正方形纸片按照图上所示进行操作，然后打开得到的图形是①．故选：A．3★如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）A．126° B．128° C．130° D．132°【解析】连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，∵∠B＝62°，∠C＝52°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣52°＝66°，∴∠EAF＝2∠BAC＝132°，故选：D．4★★如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（ ）A．40° B．35° C．60° D．70°【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°∠BAD．【解析】如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE∠BAD＝55°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠ACB'＝35°，故选：B．知识点二：设计轴对称图形问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′?作法:过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA，垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点。问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′?作法：过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；类似地，作出点B关于直线l的对称点B′；连结A′B′.问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？作法：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形.∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形.归 纳一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:1.找点（确定图形中的一些特殊点）；2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）；3.连线（连结对称点）.二．设计轴对称图案的步骤：（1）画出对称轴；（2）画出图形的基本形状的部分线条；（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形；（4）按照另一条对称轴继续画对称图形；（5）完成对称图案设计.亮题三、设计轴对称图形1．（2022·河南商丘·三模）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处【答案】D【解析】【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．【详解】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域④．故选D．【点睛】本题主要考查的是利用轴对称的性质设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．2．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】C【解析】【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形．【详解】解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，为格点三角形，请问图中还存在（ ）个格点三角形与成轴对称图形．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可．【详解】如图，图中还存在6个格点三角形与成轴对称图形故选：C．【点睛】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．4．（2022·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____．【答案】【解析】【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可．【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=故答案为：【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割．5．（2021·江苏盐城·八年级阶段练习）如图，在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有 ___个．【答案】4【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意即可得出答案．【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形．故在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．6．（2020·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在图中画一个与成轴对称的格点三角形，这样的格点三角形可以画_____个．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．7．（2022·河北·高阳县教育局教研室八年级期末）如图1，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的顶点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；(2)如图2，在直线m上找到一点P，使PA+PB的值最小；(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．(4)如图4，仅用直尺作出三角形ABC的边AB上的高，简单说明你的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）作点B关于直线m的对称点，连接，交直线m于点P，则点P即为所求作的点；（3）如图，取格点O，计算可知S△AOC=S△BOC=S△AOB=2（平方单位）．（4）如图，选择格点D、E，证明△ACD≌△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ≌△BCQ，于是，AQ=BQ．推出CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．(1)如图所示，△A′B′C′即为所求作，(2)如图，点P即为所求作，(3)如图，即为所作，(4)如图，选择格点D、E，证明△ACD≌△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ≌△BCQ，于是，AQ=BQ．∴CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．【点睛】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．知识点三：垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的作法①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；③尺规法：分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。亮题四、垂直平分线的性质1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）A．13 B．14 C．18 D．21【答案】A【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式即可求解．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴， AC＝8，BC＝5，△BCE的周长为，故选A【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．2．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则BD的长为（ A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，AD=BD=AB，∵△BCE的周长是10cm，∴BC+BE+EC=10cm，即AC+BC=10（cm），∵△ABC的周长是16cm，∴AB+AC+BC=16（cm），∴AB=16-10=6（cm），∴BD=AB=×6=3（cm）．故选：A．【点睛】本题主要考查了段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）某数学兴趣小组，在学习了角平分线的作法后，又探究出如图所示的甲、乙两种方案，则正确的方案（ ）A．只有甲才是 B．只有乙才是C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是【答案】C【解析】【分析】分别根据甲乙两种方案进行分析判断，通过证明三角形全等得到角平分线即可．【详解】解：由甲的做法可知：，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴OP为∠AOB的平分线,故甲正确；∵OC=OD，OF=OE，∠COF=∠DOE，∴，CE=DF．∴，∵∠EPC=∠FPD，∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC=PD，由OP=OP，则△OCP≌△ODP（SSS）∴∠POC=∠POD，∴OP为∠AOB的平分线，故乙也正确，故选：C．【点睛】本题考查了尺规作图，通过作图进行推理判断角平分线的情况，涉及到了三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质等，解题关键是理解作图中的相等关系以及转化思想的应用．4．（2022·广东·平洲二中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm．则AC的长等于（ ）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．【详解】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE=BE．∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18．又∵BC=8，∴AC=10（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．5．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，DE交AC于点E，且，△BEC的周长为11，则BC的长为________．【答案】4【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，从而求出BE+EC=AE+EC=AC=7，然后根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解∶∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，又AC=7，∴BE+EC=AE+EC=AC=7，又△BEC的周长为11，∴BE+EC+BC=11，∴BC=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2022·广西·藤县教学研究室一模）如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D， 交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为_____．【答案】35°【解析】【分析】由直角三角形两锐角互余及∠BAE＝20°，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得答案．【详解】在Rt△ABC中，，，，， AC的垂直平分线DE交AC于点D，，，故答案为：35°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2022·辽宁大连·一模）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为___________.【答案】19【解析】【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2AE=6，再根据三角形的周长公式计算，即可得到答案．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴DA=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周长为13，∴AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=13，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19，故答案为：19【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．(1)求证：∠BAE＝∠C．(2)若∠BAE＝32°，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)84°【解析】【分析】（1）证明∠BAE＝∠EAD，∠EAD＝∠C，从而可得结论；（2）结合（1）可得∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°，再利用三角形的内角和定理可得答案．(1)解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAD． ∵将△CDE沿DE对折后，点C落在点A处∴DE垂直平分AC， ∴EA＝EC．∴∠EAD＝∠C． ∴∠BAE＝∠C．(2)由（1）可得，∠EAD＝∠BAE＝∠C， ∴∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°．∵∠BAC+∠BCA+∠B＝180°．∴∠B＝180°﹣3×32°＝84°．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，证明∠EAD＝∠BAE＝∠C是解本题的关键．9．（2022·贵州黔南·八年级期末）在△ABC中，点M，N分别在AB，AC边上．(1)如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点P，使得PM＝PN．（保留作图痕迹，不写作法）(2)如图②，请用画图的方式在BC边上找一点Q，使得的值最小．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．（2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．(1)解：如图①中，点即为所求．(2)解：如图②，线段与边BC的交点Q即为所求．【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线解决问题．【亮点训练】一、判断轴对称图形【训练1】★下列奥运会会徽是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【解析】A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意；故选：D．【训练2】★下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【解析】A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，符合题意．故选：D．【训练3】★下列所给的四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．二、轴对称的性质【训练1】★如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝（ ）A．80° B．65° C．45° D．35°【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得．【解析】∵△ABC与△DEF关于直线l对称，∴∠A＝∠D＝65°，∠B＝∠E＝80°∴∠F＝180°﹣80°﹣65°＝35°．故选：D．【训练2】★如图，把Rt△ABC（∠C＝90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，若CE＝DE，则∠A等于 ．【分析】如图，运用翻折变换的性质证明∠ABC＝2∠A；进而证明3∠A＝90°，即可解决问题．【解析】由题意得：∠EAD＝∠EBD，∠EBD＝∠EBC，∴∠ABC＝2∠A，∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝3∠A＝90°，∴∠A＝30．故答案为：30°．【训练3】★如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解析】如图所示：点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有4个．故选：D．三、设计轴对称图形【训练1】★如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解析】如图，共有10种符合条件的添法，故选：D．【训练2】★在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 种．【分析】因为中间4个小正方形组成一个大的正方形，正方形有四条对称轴，试着利用这四条对称轴添加图形得出答案即可．【解析】如图所示．这样的添法共有4种．故答案为：4．【训练3】★如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 个．【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．【解析】如图所示：都是符合题意的图形． 故答案为：4．四、垂直平分线的性质与判定【训练1】★如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米，的周长是18厘米，则 【解析】∵DE是BC边的垂直平分线，∴BE=CE，DB=DC， ∵BE=5cm，∴CE=5cm，∵△BCE的周长是18cm，∴BE+CE+BC=18cm，∴BC=18-5-5=8cm【训练2】★如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 ( )A．80° B．70° C．60° D．50°【解析】 因为等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC＝eq \f(180°－20°,2)＝80°.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°，所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°.故选C.【训练3】★如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【解析】 因为AC＝AD，BC＝BD，所以点A，B在线段CD的垂直平分线上．所以AB垂直平分CD.故选A.【训练4】★如图，将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，若AB＝8，AC＝10，则△AEM的周长为 ．【分析】由折叠的性质可得CE＝EM，由△AEM的周长＝AE+EM+AM，即可求解．【解析】∵点M是AB的中点，∴AM＝BMAB＝4，∵将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，∴CE＝EM，∴△AEM的周长＝AE+EM+AM＝AE+EC+AM＝AC+AM＝10+4＝14，故答案为：14．【培优检测】1．（2021·全国·八年级期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列简图中，是轴对称图形的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】A选项是轴对称图形，符合题意；B选项不是轴对称图形，不符合题意；C选项不是轴对称图形，不符合题意；D选项不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，在△ABC中，，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC上的点E处，若，则∠A的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【解析】【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】解：∵，，由翻折的性质可知：，，∴，∵，∴．故选：C【点睛】本题考查翻折的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题的关键是求出，利用求出．3．（2022·河北石家庄·一模）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解析】【分析】先找对称轴，然后再画出图形，AC的垂直平分线为对称轴，BC的垂直平分线为对称轴，过A的大正方形对角线所在直线为对称轴，过C大正方形对角线所在直线为对称轴，过B的铅直线为对称轴，可画5个三角形．【详解】如图，阴影部分与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个．故选择D．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．4．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）结论①；结论②．A．结论①②都正确 B．结论①②都错误C．只有结论①正确 D．只有结论②正确【答案】A【解析】【分析】由三角形内角和定理得，根据ASA可证明得出，，从而得到BD是CE的垂直平分线，得DC=DE，又可得，从而再由三角形外角的性质可得结论．【详解】解：如图，∵在△ABC中，，，∴ ∵BD是∠ABC的平分线，∴ 又∴ 在和中， ∴∴BC=BE，CO=EO∴ ∴ ∵CO=EO，∴BD是CE的垂直平分线，∴DC=DE，∴ ∴ 故①②都正确，故选A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．5．（2022·广东·化州市第一中学八年级期中）如图，中，，边AB的垂直平分线和边AC的垂直平分线相交于点M，且与边BC分别相交于点D、E，连接AE、AD，则的周长（ ）．A．14 B．10 C．18 D．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DF是线段AB的垂直平分线，∴DA=DB，∵EG是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△AED的周长=AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=14，故选：A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2021·山东·巨野县金山中学八年级阶段练习）下列图形中，一定是轴对称图形的有______________（填序号）．（1）线段；（2）三角形；（3）圆；（4）正方形；（5）梯形【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，依据定义即可作出判断．【详解】解：线段的对称轴是其垂直平分线，圆的对称轴是其直径所在的直线，正方形的对称轴是其对角线所在直线和对边中点的连线，（1）（3）（4）是轴对称图形，只有等腰三角形和等腰梯形是轴对称图形，（2）（5）不一定是轴对称图形，故一定是轴对称图形的有（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是正确确定轴对称图形的对称轴．7．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE//BC，△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处．若∠B=50°，则∠BDF=_____．【答案】##80度【解析】【分析】由平行线的性质先证明再由折叠的性质证明从而可得答案．【详解】解： 由折叠可得： 故答案为：【点睛】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，证明是解本题的关键．8．（2022·上海·七年级期末）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与成轴对称．【答案】5【解析】【分析】画出所有与成轴对称的三角形．【详解】解：如图所示：和对称，和对称，和对称，和对称，和对称，故答案是：5．【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．9．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长为___________．【答案】10【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∵△BCE的周长为18，∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=18，∵BC=8，∴AC=10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的周长计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（2021·山东滨州·八年级期末）如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为________．【答案】18【解析】【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．【详解】解：如图，∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，∴点C和点B关于直线DE对称，∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．11．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；(2)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC所在直线的距离相等．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作．（3）∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作．(1)解：如图，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，△A1B1C1即为所求作．(2)解：如图连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作，点P即为所求作．(3)解：如图∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作，点Q即为所求作．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，角平分线的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2021·河南·金明中小学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，，AB＝8cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使A、B两点重合，得到折痕DE，再沿BE折叠，点C恰好落到点D上，(1)求∠A的度数；(2)求△ADE的周长．【答案】(1) ；(2) ．【解析】【分析】（1）将 折叠后，由轴对称的性质可得，，再根据全等三角形的性质得到，继而可得出；（2）由（1）中的三角形全等可得 ，，根据 的周长进行等量代换即可求解．(1)将 折叠后， 、 两点重合 同理 即 (2)由（1）得，， ， 又 的周长 ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的性质知识点，熟练的掌握和运用这些知识是解题的关键．13．（2022·湖南邵阳·七年级期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．请你用三种不同的方法分别在每个网格中再选一个白色小方格涂成黑色，使涂成黑色部分的图形成为轴对称图形．【答案】见解析【解析】【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．【详解】解：根据题意画图如下所示．【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．14．（2021·广西·柳城县教育局教研室一模）如图，在Rt△ABC中，AC＜BC，∠C＝90°．(1)在BC上求作点D，使点D到A，B两点的距离相等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接AD，过点B作AD的垂线BE，垂足为E，求证：BE＝AC．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线即可在BC边上作一点D，使点D到A、B两点的距离相等；（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，可得，然后根据AAS即可证明，从而可得结论．(1)如图，点D即为所求；(2)由（1）得，DA=DB，∴∵ ∴ ∴ 在和中， ∴≌∴【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．15．（2021·全国·八年级期末）阅读材料：课本中研究图形的性质，就是探究图形的构成元素（边、角、有关线段）具有怎样的特征．例如在学习等腰三角形的性质时，我们就探究得出了等腰三角形有如下性质：边的性质：等腰三角形两腰相等；角的性质：等腰三角形的两个底角相等；有关线段的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线是同一条线段．如果两组邻边分别相等的四边形叫筝形．如图，在四边形，若， ，则四边形是筝形．请探究筝形的性质，写出两条并进行证明（边的性质除外）．【答案】筝形有一组对角相等，筝形的两条对角线互相垂直【解析】【分析】连接AC，由SSS，易证得△ABC≌△ADC，即可证得∠B=∠D；利用线段垂直平分线的判定和性质即可证明筝形的两条对角线互相垂直．【详解】已知：如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D，AG⊥BD．证明：连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B=∠D；连接BD，∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分线，∴AG⊥BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确理解筝形的定义，证明△ABC≌△ADC是解题的关键． 甲：（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线，交点为P； （3）作射线OP．OP即为∠AOB的平分线．乙：（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．OP即为∠AOB的平分线．
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