高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词教案设计

1.2.1　命题与量词

教学目标　

1.理解全称量词与存在量词的含义.

2.理解全称量词命题和存在量词命题的概念，能够用符号表示全称量词命题与存在量词命题.

3.掌握判断全称量词命题与存在量词命题的真假的方法．

知识梳理

知识点一　全称量词与全称量词命题

特别提醒：(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的．

(2)全称命题中的p(x)是对于指定的集合M内的任意x都具备的一个结论．

知识点二　存在量词与存在量词命题

特别提醒：(1)有些存在量词命题中的存在量词是省略的．

(2)存在量词命题的含义是指定集合M中存在元素x具备结论p(x)．

思考　下列语句是命题吗？如果是命题，是不是存在量词命题？

(1)x能被2和5整除；

(2)至少有一个x0∈Z，x0能被2和5整除．

【答案】　(1)不是命题；

(2)是命题．是存在量词命题，因为有存在量词“至少有一个”．

题型探究

一、全称命题与存在量词命题的辨析

例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．

(1)梯形的对角线相等；

(2)存在一个四边形有外接圆；

(3)二次函数都存在零点；

(4)过两条平行线有且只有一个平面．

解　命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．

命题(2)为存在量词命题．

命题(3)完整的表述应为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称量词命题．

命题(4)完整的表述应为“过任意两条平行线有且只有一个平面”，故为全称量词命题．

注意　全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．

跟踪训练1　下列命题中，是全称量词命题的是__________，是存在量词命题的是

________．(填序号)

①正方形的四条边相等；

②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

【答案】①②③　④

二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

例2　(1)有下列四个命题：

①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；

②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；

③∃x0∈N，x≤x0；

④∃x0∈N*，x0为29的约数．

其中真命题的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

【答案】C

【解析】对于①，这是全称量词命题，∵Δ＝9－32＝－23<0，

∴∀x∈R,2x2－3x＋4>0是真命题；

对于②，这是全称量词命题，当x＝－1时，2x＋1<0，故该命题为假命题；

对于③，这是存在量词命题，当x0＝0时，x≤x0成立，该命题为真命题；

对于④，这是存在量词命题，当x0＝1时，x0为29的约数，该命题为真命题，故选C.

(2)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，＝，则下列判断正确的是(　　)

A．p是假命题

B．q是真命题

C．p∧(q)是真命题

D．(p)∧q是真命题

【答案】C

【解析】p为真命题，q为假命题，

∴p∧(q)是真命题，故选C.

反思感悟　(1)全称量词命题的真假判断

要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．

(2)存在量词命题的真假判断

要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．

跟踪训练2　下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R,3－x＋1>1

B．∀x∈[－1,2]，x2－2x≤3

C．∃x0∈R，x＋≤1

D．∃x0∈R，x＋x0＋2＝0

【答案】D

【解析】对D选项，∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不存在x0∈R，使x＋x0＋2＝0成立．

三、求含有量词的命题中参数的范围

例3　对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围．

解　令y＝sin x＋cos x，x∈R，

则y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]，

因为∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，

所以只要m<－即可．

所以所求m的取值范围是(－∞，－)．

延伸探究　

若本例条件变为：“存在实数x0，使不等式sin x0＋cos x0>m有解”，求实数m的取值范围．

解　令y＝sin x＋cos x，x∈R，

因为y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．

又因为∃x0∈R，sin x0＋cos x0>m有解，

所以只要m<即可，

所以所求m的取值范围是(－∞，)．

反思感悟　求解含有量词的命题中参数的范围的策略

(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min)．

(2)对于存在量词命题“∃x0∈M，a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max)．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若至少存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．

解　方法一　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．

故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.

(2)不等式m－f(x0)>0，可化为m>f(x0)，

若至少存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.

又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.

所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．

方法二　(1)要使不等式m＋f(x)>0对任意x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0对∀x∈R恒成立，

所以Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得m>－4，

所以当m>－4时，m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．

(2)若至少存在一个实数x0，使m－f(x0)>0成立，

即x－2x0＋5－m<0成立．

只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可，

解得m>4.

所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．

课堂小结

1．知识清单：

(1)全称量词与存在量词的含义．

(2)用符号表示全称量词命题与存在量词命题．

(3)全称量词命题与存在量词命题的真假判断．

(4)求含有量词的命题中参数的范围．

2．方法归纳：转化法、分类讨论．

3．常见误区：求参数范围时的端点值取舍．

随堂检测

1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　)

A．有一个x0∈R，使得x>3

B．对有些x0∈R，使得x>3

C．任选一个x∈R，使得x2>3

D．至少有一个x0∈R，使得x>3

【答案】C

2．下列命题中，是正确的全称命题的是(　　)

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0

B．菱形的两条对角线相等

C．∃x0，＝x0

D．对数函数在定义域上是单调函数

【答案】D

3．下列命题中，既是真命题又是存在量词命题的是(　　)

A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0

B．存在实数x0，使sin x0＝

C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D．对任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

【答案】A

4．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R,2x－1>0

B．∀x∈N*，(x－1)2>0

C．∃x0∈(0，＋∞)，lg x0<1

D．∃x0∈R，tan x0＝2

【答案】B

【解析】当x＝1时，(x－1)2＝0，所以命题“∀x∈N*，(x－1)2>0”为假命题．易知A，C，D中的命题均为真命题．故选B.

5．若命题3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，则实数m的取值范围为________．

【答案】[0,12)

【解析】“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．

当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；

当m>0，且Δ＝m2－12m<0，

即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，

所以0<m<12满足题意．

综上所述，实数m的取值范围是[0,12)．