高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词教案

第一章  集合与常用逻辑用语

1.2.1 命题与量词

【教学目标】

1.了解命题的概念

2.能判断一些简单命题的真假。

3.理解全称量词与存在量词的概念。

4.学会判断全称量词命题与存在量词命题的方法。

【核心素养】

1.数学抽象：对全称量词命题与存在量词命题的真假判断。

2.逻辑推理: 全称量词与存在量词的判断方法。

3.数学建模: 通过习题子，建立相应地命题模型。

4.直观想象:简单命题真假的判断。

5.数学运算:存在量词命题举出一个例子证明其真假。

6.数据分析:命题的判断。

【教学重点】

1.能判断一些简单命题的真假。

2.学会判断全称量词命题与存在量词命题的方法。

【教学难点】

1.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定。

2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

教学过程

一、命题

【课前导读】

“命题”这个词在新闻报道中经常可以见到.例如：“从最直接的生态保护方式之

———植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保“新命题’。”（2017年12月21日《中国青年报》）我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？

【新课讲授】

新闻报道中的“命题”往往是“命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等.需要注意的是，一般来说，数学中的“命题”与新闻报道中的“命题”不一样.

我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似“对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题.数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达.例如，命题“9的算术平方根是3”可表示为“=3”.

值得注意的是，一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.

【尝试与发现】

为了方便叙述，命题可以用小写英文字母表示，如若记 p: A （A∪B），

则可知p是一个真命题.

【扩展阅读】

数学中的猜想

通过小学和初中的学习，大家可能已经感受到，对于包括数学在内的很多学科来说，最重要的就是得到各种各样的有价值的命题.这些命题通常都是以结论、定理、推论、性质等形式表述的.

值得注意的是，对于命题，我们要求的是“可供”真假判断，至于怎样才能判断一个命题的真假以及谁能判断，是命题概念里没有涉及的内容。

例如，语句“367895326013217是6的倍数”是可以判断真假的，所以它是一个命题.要判断这个命题的真假，可以借助现代信息技术（如计算器、计算机等），也可以直接利用有关数学知识（例如，因为6是2的倍数，所以凡是6的倍数的数一定是偶数，但给定的数是奇数，所以原命题是假命题）.总的来说，要判断一个命题的真假并不是一件容易的事，这也就是我们为什么要努力学习各种知识的原因之一。

实际上，数学界中，有一些命题至今还没有人能判断真假，比如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和”，到目前为止数学家们还不能肯定它是一个真命题还是一个假命题.通常，未能得到真假判断的命题称为猜想。前面提到的这个命题是数学家哥德巴赫提出来的，所以称为哥德巴赫猜想.

在数学和其他学科的研究中，如果有人能解决一个大家都认为很难的猜想，那是一件非常了不起的事情，解决猜想的人也会因此而享誉全球.感兴趣的同学可以上网搜索“猜想”以了解更多的情况。

二、量词

【新课讲授】

在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，例如：

（1）任意给定实数x，x≥0；

（2）存在有理数x，使得3x一2=0；

（3）每一个有理数都能写成分数的形式；

（4）所有的自然数都大于或等于零；

（5）实数范围内，至少有一个x使得意义；

（6）方程x²=2在实数范围内有两个解；

（7）每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理.

不难看出，命题（1）（3）（4）（7）陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质，命题（2）（5）（6）陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质.

一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，称为全称量词命题.因此，全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可简记为

例如，“任意给定实数x，x≥0”是一个全称量词命题，可简记为

x∈R，x²≥0.

“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，称为存在量词命题.因此，存在量词命题就是形如“存在集合

M中的元素x，s（ x）”的命题，可简记为

例如，“存在有理数x，使得3x-2=0”是一个存在量词命题，可简记为                   

如果记p（x）：x²-1=0，q（x）：5x-1是整数，则通过指定x所在的集合和添加量词，就可以构成命题.例如：

P1：x∈Z,p（x）

q1：x∈Z,q（x）

P2：∃x∈Z,p（x）

q2：∃x∈Z,q（x）

【尝试与发现】

事实上，要判定全称量词命题x∈M,r(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，验证r（x）成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合M中的一个元素x0，使得r（x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）。

要判定存在量词命题∃x∈M,s（  x）是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素x。，使得s（x0）成立即可（这就是通常所说的“举例说明”）；但要判定其是假命题，却需要说明集合M中每一个x，都使得s（x）不成立。

【典型例题】

例1 判断下列命题的真假。

1. x∈R，x2+1＞0      2. x∈N，≥1

3. ∃x∈Z，x3＜1        4. ∃x∈Q，x2=3

解 1.由于x∈R，都有x2≥0，因而有

x2+1≥1＞0

因此命题“x∈R，x2+1＞0  ”是真命题。

2.由于0∈N，而且当x=0时，≥1不成立。

因此命题“x∈N，≥1 ”是假命题

3.由于-1∈Z，而且当-1=-1时，由（-1）3＜1

因此命题“∃x∈Z，x3＜1 ”是真命题

4.由于使x3=3成立的数只有和-，而他们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3.

因此命题“∃x∈Q，x2=3”是假命题。

值得注意的是，全称量词命题和存在量词命题，都可以包含多个变量，这样的情形前面我们已经接触过。

例如，以前学过的平方差公式

a²-b²=(a+b)(a-b)，

因为这个公式对所有实数a，b都成立，因此可以改写为全称量词命题

a，b∈R，a²-b²=(a+b)(a-b)

再比如，对于函数y=x+1来说，任意给定一个x值，都有唯一的y值与它对应。因此如果把y=x+1看成含有两个变量的方程，则这个方程有无数多个解，且任意给定一个x，都存在一个y使得等式成立，这可以改写为

x∈R，∃y∈R，y=x+1

教学反思

本节内容相对集合来说相对简单，学生易吸收，可把课时时间多分配在如何判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法上。