高中数学1.2.3 充分条件、必要条件精品第2课时一课一练

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一、单选题
1．（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期末）对于实数，，，且是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若“且”则“”成立，
当，时，满足，但且不成立，
故且”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
2．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案.
【详解】对称为轴，
若，又开口向上，在上单调递增，
又，故在上单调递增成立；
若函数在上单调递增，
单调递减，不成立，
则得，
不能推出，
故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023秋·山西晋中·高三校考开学考试）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
4．（2022秋·江西抚州·高一金溪一中校考阶段练习）下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项.
【详解】若“是集合的真子集”
所以，
所以方程有实数解，
当时，由可得，符合题意，
当时，由可得，
所以且，
综上所述：的充要条件为；
即“是集合的真子集”成立充要条件为；
所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集，
由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；
故选：D.
5．（2023·江苏·高一假期作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：，q：关于x的方程有唯一解
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A，，，所以p推不出q，q推不出p，
所以p是q既不充分也不必要条件；
对于B，；当时，满足，但q推不出p，
故p是q的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；
对于D，若，则关于x的方程有唯一解；若关于x的方程有唯一解，则，
所以，故p是q的充分必要条件.
故选：D.
6．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先解不等式，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可得：，即，
即，所以，
故p是q的充要条件.
故选：C.
二、多选题
7．（2022秋·河北廊坊·高一廊坊市第一中学校考期末）下列说法正确的有（ ）
A．已知集合，全集，若，则实数的集合为
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题，成立的充要条件是
D．“”是“”的充分必要条件
【答案】BD
【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可；
对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可；
对C， 问题转化为求在区间有解即可；
对D， 由化简即可判断.
【详解】对A， ，若，则，
当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确；
对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确；
对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确.
故选：BD
8．（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】BD
【分析】根据全称、特称命题的否定判断选项AB；
根据不等式与必要条件的判定判断选项C；
根据充要条件的判定结合一元二次方程根与系数的关系判断选项D.
【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；
对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程有一正一负根，则，解得，则“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确.
故选：BD.
三、填空题
9．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的 条件.
【答案】必要不充分
【分析】利用充分条件，必要条件的概念即可得解.
【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，乙推不出甲；
因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；
因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，丁推不出丙.
故甲丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
10．（2022·全国·高一假期作业）下列命题：
①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件；
②“b2﹣4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集为R”的必要不充分条件；
③“”是“”的既不充分也不必要条件；
④设，，则“”是“”的充分不必要条件.
其中真命题的序号为 .
【答案】④
【分析】分别判断题目中各命题的充分性与必要性是否成立即可．
【详解】解：对于①，当且时，得出，充分性成立，
当时，不能得出且，必要性不成立，是充分不必要条件，①错误；
对于②，时，不等式解集不一定为，充分性不成立；
不等式解集为时，（1）且，（2）且，必要性不成立，是即不充分也不必要条件，②错误；
对于③，则或，故充分性不成立，则，故必要性成立，“”是“”的必要不充分条件，故③错误；
对于④，由，则且，故充分性成立，由得不到，不必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故④正确；
综上，正确的命题是④．
故答案为：④
【点睛】本题考查了判断命题的充分性与必要性是否成立的应用问题，属于中档题．
11．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由为假命题得出的范围，再根据是为假命题的充分不必要条件列出关于的不等式解之即可.
【详解】由方程有实数根可得，即，
为真命题，即为假命题，
所以 ，
根据是为假命题的充分不必要条件，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
12．（2020秋·江苏·高一期中）已知全集为R，集合，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件充分必要性．
①；②；③．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】先求集合A，B，，再由得到a的不等式，解得即可；
结合利用充分必要条件的定义逐一判定．
【详解】解：集合，
所以，
集合，
若，
只需，
所以．
由可知的充要条件是，
选择，则结论是既不充分也不必要条件；
选择，则结论是必要不充分条件；
选择，则结论是充分不必要条件．
【点睛】关键点睛，利用集合关系求参数范围，求集合A，B，，再由得到a的不等式，进而利用的范围，判定充分必要条件，属于中档题．
13．（2022秋·云南·高一统考期末）已知命题为假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程无解，即可由判别式求解，
（2）根据集合的包含关系，即可分类讨论求解.
【详解】（1）当时，原式为，此时存在使得，故不符合题意，舍去；
当时，要使为假命题，此该一元二次方程无实数根，所以
故；
（2）由题意可知是A的真子集；
当B=∅时，；
当B≠∅时，
所以的取值范围是或，
14．（2022秋·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合，．
(1)若“，”为假命题，求的取值范围；
(2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可；
（2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性.
【详解】（1）由已知，集合，所以集合．
因为“，”为假命题，所以．
当时，，解得；
当时，要使，则，，且，，
即，解得或或或．
综上，实数m的取值范围为．
（2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集．
当，或时，，方程有解，
集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证；
必要性：若至少有2个子集，则或．
若至少有2个子集，则至少有1个元素，
方程有解，，解得或，
必要性得证．
综上，至少有2个子集的充要条件是或．
一、单选题
1．（2022秋·安徽·高一校联考期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
①命题“，”的否定为“，”；
②“”是“”的充要条件；
③集合，表示同一集合．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题．
【详解】①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确；
②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件 ，错误；
③集合，不是同一集合．错误，
正确的命题只有一个．
故选：B.
2．（2022·高一单元测试）方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.
【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C
二、多选题
3．（2023春·广东揭阳·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条件
B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件
C．方程有唯一解的充要条件是
D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件
【答案】AB
【分析】根据充分条件和必要条件的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件，故A正确；
对于B，若是的必要不充分条件，则，；
若是充要条件，则，；
则有，，即是的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当时，方程可化为，也满足唯一解的条件，故C错误；
对于D，依题意，得，，所以“”“”，即充分性成立；
反之不成立，如，，，不能推出“”，即必要性不成立，故D错误．
故选：AB．
4．（2022·高一单元测试）已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ABC
【解析】首先求出条件p对应的x的取值范围，根据充分必要条件的定义即可求解．
【详解】解：由，得，所以p：，则，
又p是q的充分不必要条件，所以，
故选：ABC．
【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数的范围，一般可根据如下规则得出不等式：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
三、填空题
5．（2022秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】是的必要条件，即，分，两种情况讨论分析，即得解
【详解】设或，或
若是的必要条件，则
（1）当时，即，此时，成立；
（2）当时，即，若，此时，无解.
综上：
故答案为：
6．（2011·陕西·高考真题）．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
【答案】3或4
【详解】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程x2−4x+n=0有整数根．