人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集精品练习题

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一、单选题
1．（2023·四川成都·校联考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】由，
则，又，
所以．
故选：A.
2．（2023·高一课时练习）若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由解得，再把代入，求解即可.
【详解】由题意联立方程为：，解得，
把代入得，解得.
故选：B
3．（2021·高一课时练习）关于，的方程组的解集，不正确的说法是（ ）
A．可能是空集B．必定不是空集
C．可能是单元素集合D．可能是无限集
【答案】A
【分析】当时，与重合，当时，与相交，即可求出结果．
【详解】当时，与重合，解集是 无限集，则D正确；
当时，有单元素集合，则B，C正确；
故选：A
4．（2022秋·全国·高一专题练习）若关于，的方程组的解集为，则（ ）
A．4B．-4C．6D．-6
【答案】D
【分析】由题可得，即得.
【详解】∵关于，的方程组的解集为，
∴，解得，，
∴.
故选：D.
5．（2022秋·全国·高一专题练习）方程组的解集的是（ ）
A．{(1，－2，3)}B．{(1，0，1)}C．{(0，－1，0)}D．{(0，1，－2)}
【答案】A
【分析】将第一个式子分别与第二、第三个式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一个式子，即得解
【详解】由题意
将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得：
代入第一个式子，可得
故方程组的解集为：{(1，－2，3)}
故选：A
6．（2022秋·全国·高一专题练习）某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人，即可列出两个方程，即可得答案.
【详解】根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程；
根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程 ，
列方程组为
故选：C
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用.找出本题中的等量关系是解题的关键，属于基础题.
二、多选题
7．（2021秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）方程组的解集为，若x1+x2＝﹣3，则（ ）
A．k＝1或
B．y1+y2＝﹣3或y1+y2＝﹣1
C．y1+y2＝1或y1+y2＝3
D．x12+x22＝12或x12+x22＝15
【答案】AC
【分析】条件转化为（x1，y1），（x2，y2）为直线kx﹣y+2＝0与圆x²+y²+2x﹣8＝0的两个交点坐标，将直线方程代入圆方程，利用韦达定理得到x1+x2＝﹣＝﹣3，解出k，进而逐一判断即可．
【详解】由题可知（x1，y1），（x2，y2）为直线kx﹣y+2＝0与圆x²+y²+2x﹣8＝0的两个交点坐标，
由kx﹣y+2＝0得y＝kx+2，代入圆方程可得（1+k²）x²+（2+4k）x﹣4＝0，
则x1+x2＝﹣＝﹣3，解得k＝1或，故A正确；
因为y1+y2＝kx1+2+kx2+2＝k（x1+x2）+4＝﹣3k+4，所以k＝1或时，y1+y2＝1或3，故B错误，C正确；
又有x1x2＝﹣，则，则当k＝1或时，x12+x22＝13或，故D错误；
故选：AC．
8. 已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝k，,2x＋3y＝3k－1.))
给出下列结论，其中正确的是( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－1))是方程组的一组解
B.当k＝eq \f(1,2)时，x，y的值互为相反数
C.若方程组的解也是方程x＋y＝4－k的解，则k＝1
D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3k－2，,y＝1＋k))是方程组的解
【答案】AB
【详解】解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝k，,2x＋3y＝3k－1，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3k－2，,y＝1－k，))
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－1))是方程组的一组解，结论正确；
B.当k＝eq \f(1,2)时，x＝3k－2＝eq \f(3,2)－2＝－eq \f(1,2)，y＝1－k＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，x，y的值互为相反数，结论正确；
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3k－2，,y＝1－k))也是方程x＋y＝4－k的解，∴x＋y＝3k－2＋1－k＝－1＋2k＝4－k，∴3k＝5，k＝eq \f(5,3)，结论不正确；
D.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3k－2，,y＝1－k，))知D不正确.
三、填空题
9．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）已知方程组，则 ．
【答案】
【分析】根据题目中等量关系代入即可求解
【详解】令，
解得，
所以.
故答案为：.
10．（2023·高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
【答案】2
【分析】将二元一次方程组转化为一元一次方程，根据根的特点，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，即，
关于，的二元一次方程组的解集为，
关于的方程的无解，
，即，
故答案为：2．
11．（2021秋·高一课时练习）若方程组的解满足，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求得方程组的解，再根据方程组的解满足求解.
【详解】由方程组 解得 ，
因为方程组的解满足，
所以，
解得，
故答案为；
四、解答题
12．（2022秋·辽宁大连·高一大连市第二十高级中学校考阶段练习）（1）求方程组的解集；
（2）求三元一次方程组的解集.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）将第2个方程化简变形后，利用代入法求解，
（2）给第2个方程两边同乘以3，再第3个方程相加，消去，得到关于的方程，再与第1个方程联立求解即可
【详解】（1）由，得，得，代入中得，
，得，
所以，
所以方程组的解集为
（2）给两边同乘以3，得，再与相加，
得，
由，得，
把代入中，解得，
所以原方程组的解集为
13．（2021秋·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）（1）求方程的解集；
（2）求方程组的解集.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）原方程可化为，即可求解集；
（2）由方程组可得，即可求y值，再代入求x值，即可得解集.
【详解】（1）由题设，，解得或，
∴原方程的解集为.
（2）由题设，，整理有，可得，
代入，可得，
∴方程组的解集为.
14．（2020·高一课时练习）解方程组
【答案】
【分析】①＋③，②＋③，可消去，得到关于的二元一次方程组，进而利用加减消元法，可求出，进而代入①式可求出，从而可求出原方程组的解集.
【详解】①＋③，得，
②＋③，得，
④，得，
⑥-⑤，得，即，
将代入④，得，解得，
将，代入①，得，解得.
所以原方程组的解集为.
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
一、单选题
1．（2018·高三单元测试）若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】假设不等式组的解集为空集，转化为不等式的解集为集合或的子集，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意，不等式，解得，所以不等式的解集为，
假设不等式组的解集为空集，
则不等式的解集为集合或的子集，
因为函数的图象的对称轴方程为，
则必有，解得，
所以使得不等式组的解集不为空集时，则满足，
即实数的取值范围是.
故选：B.
二、填空题
2．（2021·高一课时练习）已知实数，满足，，则 ．
【答案】或2或
【分析】对分，两种情况讨论得解.
【详解】当时，由题得所以或，所以或2；
当时，实数，是方程的两个实数根，
所以，
综合得或2或.
故答案为：或2或
3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的方程组和有相同的解，则的值为 .
【答案】
【分析】由两方程组有相同的解，将方程组重新分成两个方程组①②，解出方程组①，代入方程组②，再解出，求出的值.
【详解】由两方程组有相同的解，所以原方程组可化为①②
解方程组①，得，代入方程组②，得，解得
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，指数幂的运算，转化与化归的思想，属于中档题.
三、解答题
4．（2020秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于，的方程组：．
【答案】见解析
【分析】分别讨论、、时的解即可.
【详解】（1）当时，，方程组解为；
（2）当时，，方程组无解；
（3）当时，两式相加得，两式相减得，方程组解为.
5．（2021·高一课时练习）设，求关于x、y的方程组的解集.
【答案】答案见解析
【分析】消元得关于的方程，分类讨论求解即可得出方程组的解.
【详解】
由①得，将其代入②得.
当且时，该方程有唯一解，
则，
故原方程组的解集为；
当时，该方程无解，故原方程组的解集为；
当时，该方程有无穷多个解，且，
故原方程组的解集为
6．（2021秋·山东东营·高一广饶一中校考阶段练习）已知关于x，y的方程组的解都为正数.
（1）当时，解此方程组；
（2）求a的取值范围；
（3）已知，且，，求z的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】(1）利用加减消元法求解即可;
(2）先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可;
(3）根据题意得出b=4-a>0，即可得到1【详解】（1）当时，方程组为，
①②得，即，
把代入①得，，即，
此方程的解为；
（2）解这个方程组的解为：，
由题意，得，
则原不等式组的解集为；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
故.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程.