初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线教学演示课件ppt

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专项素养综合全练（五）
构造中位线解题的四种方法
方法一　连结两点构造中位线
专题解读在三角形中,若已知两边或多边的中点,可考虑连结两点得到 三角形的中位线,从而利用三角形中位线定理解决问题.
1.(2024河南南阳第一初级中学月考)如图,在△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,求证:AF与DE互相平分. 
证明　如图,连结DF、EF.∵点D、F、E分别是AB、BC、 AC的中点,∴DF∥AC,EF∥AB,∴四边形ADFE是平行四边 形,∴AF与DE互相平分.
2.(2024福建漳州三中期中)已知:△ABC中,D是BC上的一点, E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,求证:EG、 HF互相平分. 
证明　连结EH、GH、GF,∵E、F、G、H分别是BD、BC、 AC、AD的中点,∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,∴四边形EHGF 为平行四边形,∴EG、HF互相平分. 
方法二　角平分线+垂直构造中位线
专题解读当角平分线和垂直两个条件同时出现时,可延长垂直于角平 分线的线段构造等腰三角形,从而将图形中的某一点转化为 三角形一边的中点,得到三角形的中位线,进而解决问题.
3.(2024山西临汾尧都期中)如图,△ABC中,∠ABD=∠CBD, AE=CE,AD⊥BD.若DE=5,AB=8,则BC的长为 (　    ) A.19　　　    B.18　　　    C.17　　　    D.10
解析　如图,延长AD交BC于点F,∵AD⊥BD,BD平分∠ABF, ∴AD=DF,BF=AB=8,∵AE=CE,AD=DF,∴FC=2DE=10,∴BC =BF+FC=18. 
4.(2024河南新乡封丘金瀚学校月考)如图,在△ABC中,AE平 分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点,若AB=10,AC=6,求 EF的长. 
解析　如图,延长AC、BE交于点M,∵AE平分∠BAC,AE⊥ BE,∴AB=AM=10,BE=EM,∵AC=6,∴CM=AM-AC=10-6=4,∵ 点F是BC的中点,BE=EM,∴EF为△BCM的中位线,∴EF= CM=2. 
方法三　已知中点取中点构造中位线
专题解读在已知某条线段中点的情况下,可考虑取另一线段的中点,构 造出三角形中位线,进而解决问题.
5.(2024吉林长春东北师大附中月考)如图,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,F是BE延长线与AC的交点,若AC=6,则AF=  (　    ) A.3　　　    B.2　　　    C. 　　　    D. 
解析　如图,取BF的中点H,连结DH,∵BD=DC,BH=HF,∴DH = FC,DH∥AC,∴∠HDE=∠FAE,在△AEF和△DEH中, ∴△AEF≌△DEH,∴AF=DH= FC,∵AC=6,∴AF= AC=2. 
6.(2024福建泉州实验中学期中)如图,在Rt△ABM中,∠M=90°,C,D为直角边上的点,且AD=BC=2,E,F分别为AB,CD的中 点,求EF的长. 
解析　如图,连结AC,取AC的中点O,连结OE、OF,∵E,F分别 为AB,CD的中点,∴OE是△ABC的中位线,OF是△ACD的中 位线,∴OE= BC=1,OF= AD=1,OE∥BC,OF∥AD,∴∠COF=∠CAD,∠AEO=∠B,∵∠COE=∠CAB+∠AEO,∴∠COE= ∠CAB+∠B,∴∠EOF=∠COF+∠COE=∠CAD+∠CAB+ ∠B,∵∠M=90°,∴∠EOF=∠CAD+∠CAB+∠B=90°,∴在Rt △EOF中,EF= = .
方法四　倍长法构造中位线
专题解读将某一条线段延长至某一点,使延长部分等于已知线段长,从 而既构造出线段中点,又构造出全等三角形()模型,进 而利用三角形中位线定理和全等三角形的知识解决问题.
7.(2022广东广州二中模拟)如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA= BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M为AF的中点,求 证:ME= CF. 
证明　如图,延长FE至D,使DE=EF,连结AD、BD,∵△BEF为 等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,BE⊥DF,∴BE垂 直平分DF,∴∠BDE=45°,∴△BDF是等腰直角三角形,∴BD =BF,∠DBF=90°,∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,∠ABD+∠ ABF=∠DBF=90°,∴∠CBF=∠ABD.在△ABD和△CBF中,∵  ∴△ABD≌△CBF,∴AD=CF,∵M为AF的中点,DE=EF,∴ME是△ADF的中位线,∴ME= 
AD,∴ME= CF. 
8.(2024四川成都武侯实验中学月考)△ABC中,D是BC的中点.分别以AB,AC为一边,向三角形内部作Rt△ABE,Rt△ACF, 使∠ABE=∠ACF,连结DE,DF,求证:DE=DF. 
证明　如图,延长BE到M,使ME=BE,延长CF到N,使NF=CF,连 结AM、MC、AN、NB,∵∠AFC=90°,∠AEB=90°,∴AE、AF 分别是BM、CN的垂直平分线,∴AM=AB,AN=AC,∵∠ABE= ∠ACF,∴∠ABE=∠AME=∠ACF=∠ANF,∴∠CAF=∠NAF =∠MAE=∠BAE,∴∠CAM=∠BAN=∠EAF,在△ACM和△ ANB中, ∴△ACM≌△ANB,∴MC=BN,∵D是BC的中点,ME=BE,NF=CF,∴DE、DF分别是△BCM和△