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华东师大版初中数学九年级上册专项素养综合练(六)新定义试题课件
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这是一份华东师大版初中数学九年级上册专项素养综合练(六)新定义试题课件，共18页。
九年级 上册 华东师大版初中数学专项素养综合全练（六）新定义试题类型一 定义新运算型1.(2024湖南娄底双峰一模)定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)= × + × = ,则cos 75°的值为 ( )A. B. C. D. B解析 由题意可得cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°= × - × = - = .2.(2024江苏南京师大附中新城分校二模)规定:sin(-x)=-sin x, cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.(1)下列等式成立的是 (填序号).①cos(-60°)=- ;②sin 2x=2sin x·cos x;③sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y.(2)利用上面的规定求:①sin 75°;②sin 15°.解析 (1)①cos(-60°)=cos 60°= ,错误;②sin 2x=sin x·cos x+cos x·sin x=2sin x·cos x,正确;③sin(x-y)=sin x·cos(-y)+cos x·sin (-y)=sin x·cos y-cos x·sin y,正确.故等式成立的是②③.(2)①sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin 45°= × + × = .②sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°·cos 30°-cos 45°·sin 30°= × - × = .3.(2023山西临汾襄汾期末)对于钝角α,定义它的三角函数值 如下:sin α=sin(180°-α),cos α=-cos(180°-α),且sin α>0,cos α<0.(1)求sin 120°,cos 120°的值;(2)若一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶4,A、B是这 个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不 相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小.解析 (1)sin 120°=sin(180°-120°)=sin 60°= ;cos 120°=-cos(180°-120°)=-cos 60°=- .(2)∵一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶4,三角形的 内角和为180°,∴三个内角的度数分别为30°、30°、120°.∵sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,∴sin A+cos B= ,sin A·cos B=- .类型二 定义新概念型4.(2024浙江杭州西湖一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,定义: 斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割,用“csc A”表示.如 设该直角三角形的三边分别为a,b,c,则csc A= ,那么下列说法正确的是 ( ) A.csc B·sin A=1 B.csc B= C.csc A·cos B=1 D.csc2A+csc2B=1C解析 根据定义得csc B= ,故B不符合题意;csc B·sin A= · = ,故A不符合题意;csc A·cos B= · =1,故C符合题意;csc2A+csc2B= + = ,故D不符合题意.5.(2024河南南阳宛城期末)阅读理解:通过学习三角函数,我 们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值 是相互唯一确定的,因此边长与角的大小之间可以相互转化. 类似地,可以在等腰三角形中,建立边角之间的联系.我们定 义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1, 在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作“sad A”,这时sad A= .一个角的大小,与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对的定义,解下列问题:(1)如图2,利用等腰直角三角形计算:sad 90°= ;(2)如图3,在等腰△ABC中,AB=AC=5,若sin A= ,求sad A的值. 图1 图2 图3解析 (1)因为△ABC是等腰直角三角形,所以AB= AC,∴sad C= = = ,即sad 90°= .(2)过点B作AC的垂线,垂足为M(图略),因为AB=5,sin A= ,∴ = ,∴BM=4.在Rt△ABM中,AM= =3,∴CM=5-3=2,在Rt△BCM中,BC= =2 ,∴sad A= = .类型三 定义新方法型6.(2023河南驻马店确山月考)如图1,在平面直角坐标系中,射 线OA与x轴的正半轴重合,射线OA绕着原点O逆时针旋转到 OB的位置,把转过的角度记为α,把射线OA称为∠α的始边,射 线OB称为∠α的终边,设α是一个任意角,α的终边上任意一点 P(除端点外)的坐标是(x,y),它到原点的距离r=PO= ,那么定义:∠α的正弦sin α= ,∠α的余弦cos α= ,∠α的正切tan α= .根据以上的定义,当α=120°时,如图2所示,在120°角的终边OB上取一点P(-1, ),则x=-1,y= ,r= =2,∴sin 120°= = ,cos 120°= =- ,tan 120°= = =- . 图1 图2根据上述知识填空:(1)sin 150°= ,cos 150°= ,tan 150°= ;(2)猜想sin(180°-α)与sin α的关系;猜想cos(180°-α)与cos α的关系;猜想tan(180°-α)与tan α的关系;(3)sin 135°= ,cos 135°= ,tan 135°= .解析 (1)根据题中阐述的方法可知,当α=150°时,在角的终 边OB上取一点P(- ,1),则x=- ,y=1,∴r=2,则sin 150°= = ,cos 150°= =- ,tan 150°= =- .(2)sin(180°-α)=sin α.cos(180°-α)=-cos α.tan(180°-α)=-tan α.(3)当α=135°时,在角的终边OB上取一点P(-1,1),则x=-1,y=1, ∴r= ,∴sin 135°= ,cos 135°=- ,tan 135°=-1.
九年级 上册 华东师大版初中数学专项素养综合全练（六）新定义试题类型一 定义新运算型1.(2024湖南娄底双峰一模)定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)= × + × = ,则cos 75°的值为 ( )A. B. C. D. B解析 由题意可得cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°= × - × = - = .2.(2024江苏南京师大附中新城分校二模)规定:sin(-x)=-sin x, cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.(1)下列等式成立的是 (填序号).①cos(-60°)=- ;②sin 2x=2sin x·cos x;③sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y.(2)利用上面的规定求:①sin 75°;②sin 15°.解析 (1)①cos(-60°)=cos 60°= ,错误;②sin 2x=sin x·cos x+cos x·sin x=2sin x·cos x,正确;③sin(x-y)=sin x·cos(-y)+cos x·sin (-y)=sin x·cos y-cos x·sin y,正确.故等式成立的是②③.(2)①sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin 45°= × + × = .②sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°·cos 30°-cos 45°·sin 30°= × - × = .3.(2023山西临汾襄汾期末)对于钝角α,定义它的三角函数值 如下:sin α=sin(180°-α),cos α=-cos(180°-α),且sin α>0,cos α<0.(1)求sin 120°,cos 120°的值;(2)若一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶4,A、B是这 个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不 相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小.解析 (1)sin 120°=sin(180°-120°)=sin 60°= ;cos 120°=-cos(180°-120°)=-cos 60°=- .(2)∵一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶4,三角形的 内角和为180°,∴三个内角的度数分别为30°、30°、120°.∵sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,∴sin A+cos B= ,sin A·cos B=- .类型二 定义新概念型4.(2024浙江杭州西湖一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,定义: 斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割,用“csc A”表示.如 设该直角三角形的三边分别为a,b,c,则csc A= ,那么下列说法正确的是 ( ) A.csc B·sin A=1 B.csc B= C.csc A·cos B=1 D.csc2A+csc2B=1C解析 根据定义得csc B= ,故B不符合题意;csc B·sin A= · = ,故A不符合题意;csc A·cos B= · =1,故C符合题意;csc2A+csc2B= + = ,故D不符合题意.5.(2024河南南阳宛城期末)阅读理解:通过学习三角函数,我 们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值 是相互唯一确定的,因此边长与角的大小之间可以相互转化. 类似地,可以在等腰三角形中,建立边角之间的联系.我们定 义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1, 在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作“sad A”,这时sad A= .一个角的大小,与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对的定义,解下列问题:(1)如图2,利用等腰直角三角形计算:sad 90°= ;(2)如图3,在等腰△ABC中,AB=AC=5,若sin A= ,求sad A的值. 图1 图2 图3解析 (1)因为△ABC是等腰直角三角形,所以AB= AC,∴sad C= = = ,即sad 90°= .(2)过点B作AC的垂线,垂足为M(图略),因为AB=5,sin A= ,∴ = ,∴BM=4.在Rt△ABM中,AM= =3,∴CM=5-3=2,在Rt△BCM中,BC= =2 ,∴sad A= = .类型三 定义新方法型6.(2023河南驻马店确山月考)如图1,在平面直角坐标系中,射 线OA与x轴的正半轴重合,射线OA绕着原点O逆时针旋转到 OB的位置,把转过的角度记为α,把射线OA称为∠α的始边,射 线OB称为∠α的终边,设α是一个任意角,α的终边上任意一点 P(除端点外)的坐标是(x,y),它到原点的距离r=PO= ,那么定义:∠α的正弦sin α= ,∠α的余弦cos α= ,∠α的正切tan α= .根据以上的定义,当α=120°时,如图2所示,在120°角的终边OB上取一点P(-1, ),则x=-1,y= ,r= =2,∴sin 120°= = ,cos 120°= =- ,tan 120°= = =- . 图1 图2根据上述知识填空:(1)sin 150°= ,cos 150°= ,tan 150°= ;(2)猜想sin(180°-α)与sin α的关系;猜想cos(180°-α)与cos α的关系;猜想tan(180°-α)与tan α的关系;(3)sin 135°= ,cos 135°= ,tan 135°= .解析 (1)根据题中阐述的方法可知,当α=150°时,在角的终 边OB上取一点P(- ,1),则x=- ,y=1,∴r=2,则sin 150°= = ,cos 150°= =- ,tan 150°= =- .(2)sin(180°-α)=sin α.cos(180°-α)=-cos α.tan(180°-α)=-tan α.(3)当α=135°时,在角的终边OB上取一点P(-1,1),则x=-1,y=1, ∴r= ,∴sin 135°= ,cos 135°=- ,tan 135°=-1.
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