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初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线复习课件ppt
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这是一份初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线复习课件ppt，共23页。PPT课件主要包含了本节课重难点，习题解析，证明连接AC，四边形问题，连接对角线，三角形问题，三角形中位线定理，要点回顾-倍长中线★，典例精析-三角形中线，典例精析-中点四边形等内容，欢迎下载使用。
1.中线、中位线2.倍长中线题型3.中点四边形题型
中线：连结一个顶点和它的对边中点的线段.
3.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,EF= AC HG∥AC,HG= AC
∴四边形EFGH是平行四边形.
延长DE到F，使EF=DE，连接CF ．
∵AE=EC，DE=EF ，∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEF∴AD=CF,∠ADE=∠CFE∴AB∥CF∵AD=BD∴CF=BD且CF∥BD∴四边形BDFC是平行四边形∴DF=BC且DF∥BC∴DE∥BC，DE= BC
★在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证DE∥BC，DE=1/2BC．
【练】在△ABC中，AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围（ ）A 1
【例1】如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB=12， AC=18. 则DM的长为 .
解析：延长BD交AC与N，易证△ADB≌△ADN，得AN=AB=12，BD=ND.所以DM是△BCN的中位线，DM= NC= (AC-AN)=3.
【例2】△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE= BC，同理：FG∥BC，FG= BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．
【例3】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，E为AD的中点，延长BE交AC于点F，求证：EF=1/4BF.
证明：过D作DQ∥BF交AC于Q，∵E为AD中点，D为BC中点，DQ∥BF∴EF和DQ分别为△ADQ和△CBF的中位线，∴EF= DQ，DQ= BF∴EF= BF
【例4】已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴HE∥DB，HE= DB ；FG∥DB，FG= DB，∴FG∥HE，GF=HE，∴四边形EFGH是平行四边形．
【例5】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AB于F，求证：DE=DF。
证明:连接AD. ∵AB=AC，D是BC中点 ∴AD平分∠BAC（三线合一）又∵DE⊥AB,DF⊥AB ∴DE=DF（角平分线性质）
【例6】如图，Rt△ABC中，EF是中位线，CD是斜边AB中线，EF=12，则CD=_____。
解析：∵EF是中位线，∴EF= AB ∵CD是Rt△ABC斜边中线， ∴CD= AB，∴CD=EF
【例7】如图，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD,BD⊥DE于D，求证：CD=1/2BE。
证明：如图，取BE的中点F，连接DF，∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°，∴DF=EF=BF= BE∴∠BDF＝∠CBD∵∠ABD=∠CBD，∴∠DFC＝∠ABC＝2 ∠CBD又∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC∴ ∠DFC＝∠C，∴CD=DF= BE
【例8】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
【★探索】a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是矩形。b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形。c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形。
AC⊥BD且AC=BD
矩形判定：一个角是直角的平行四边形
菱形判定：一组领边相等的平行四边形
正方形判定：一组领边相等且有一个角是直角的平行四边形
1. 如图：如果AD= AC，AE= AB，DE=2cm，那么BC= cm.
解析：取AC、AB中点G、H，连接GH 运用两次中位线定理
2.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 .
解析：由中位线定理可知 EF=HG= AD EH=FG= BC 四边形EFGH的周长=AD+BC=11
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，∠B=30°，CE=4，则CD= .
解析：∵CE是Rt△ABC斜边中线，CE=4 ∴AB=8， ∵∠B=30°AB=8,∠ACB=90° 根据勾股定理AC=4 又∵∠ADC=90°,∠A=60° 根据勾股定理CD=
4.在四边形ABCD中,AD=BC，E,F分别是边AB,CD的中点，G为对角线BD的中点.求证:△EFG是等腰三角形.
证明：在△ABD中∵E,G分别是边AB,BD的中点，∴EG= AD，∴同理FG= BC；又∵AD=BC，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形.
5.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又∵BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得EF=10
∴EG∥AC,EG= AC；FG∥BD,FG= BD,
构造出中位线或斜边上的中线
根据中位线的性质或中线的性质
得出平行线和线段间的关系
课堂小结-中点问题解题思路
中点四边形是平行四边形
1.整理本堂课笔记与课后习题一起上交
2. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？
1.中线、中位线2.倍长中线题型3.中点四边形题型
中线：连结一个顶点和它的对边中点的线段.
3.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,EF= AC HG∥AC,HG= AC
∴四边形EFGH是平行四边形.
延长DE到F，使EF=DE，连接CF ．
∵AE=EC，DE=EF ，∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEF∴AD=CF,∠ADE=∠CFE∴AB∥CF∵AD=BD∴CF=BD且CF∥BD∴四边形BDFC是平行四边形∴DF=BC且DF∥BC∴DE∥BC，DE= BC
★在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证DE∥BC，DE=1/2BC．
【练】在△ABC中，AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围（ ）A 1
【例1】如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB=12， AC=18. 则DM的长为 .
解析：延长BD交AC与N，易证△ADB≌△ADN，得AN=AB=12，BD=ND.所以DM是△BCN的中位线，DM= NC= (AC-AN)=3.
【例2】△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE= BC，同理：FG∥BC，FG= BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．
【例3】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，E为AD的中点，延长BE交AC于点F，求证：EF=1/4BF.
证明：过D作DQ∥BF交AC于Q，∵E为AD中点，D为BC中点，DQ∥BF∴EF和DQ分别为△ADQ和△CBF的中位线，∴EF= DQ，DQ= BF∴EF= BF
【例4】已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴HE∥DB，HE= DB ；FG∥DB，FG= DB，∴FG∥HE，GF=HE，∴四边形EFGH是平行四边形．
【例5】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AB于F，求证：DE=DF。
证明:连接AD. ∵AB=AC，D是BC中点 ∴AD平分∠BAC（三线合一）又∵DE⊥AB,DF⊥AB ∴DE=DF（角平分线性质）
【例6】如图，Rt△ABC中，EF是中位线，CD是斜边AB中线，EF=12，则CD=_____。
解析：∵EF是中位线，∴EF= AB ∵CD是Rt△ABC斜边中线， ∴CD= AB，∴CD=EF
【例7】如图，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD,BD⊥DE于D，求证：CD=1/2BE。
证明：如图，取BE的中点F，连接DF，∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°，∴DF=EF=BF= BE∴∠BDF＝∠CBD∵∠ABD=∠CBD，∴∠DFC＝∠ABC＝2 ∠CBD又∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC∴ ∠DFC＝∠C，∴CD=DF= BE
【例8】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
【★探索】a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是矩形。b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形。c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形。
AC⊥BD且AC=BD
矩形判定：一个角是直角的平行四边形
菱形判定：一组领边相等的平行四边形
正方形判定：一组领边相等且有一个角是直角的平行四边形
1. 如图：如果AD= AC，AE= AB，DE=2cm，那么BC= cm.
解析：取AC、AB中点G、H，连接GH 运用两次中位线定理
2.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 .
解析：由中位线定理可知 EF=HG= AD EH=FG= BC 四边形EFGH的周长=AD+BC=11
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，∠B=30°，CE=4，则CD= .
解析：∵CE是Rt△ABC斜边中线，CE=4 ∴AB=8， ∵∠B=30°AB=8,∠ACB=90° 根据勾股定理AC=4 又∵∠ADC=90°,∠A=60° 根据勾股定理CD=
4.在四边形ABCD中,AD=BC，E,F分别是边AB,CD的中点，G为对角线BD的中点.求证:△EFG是等腰三角形.
证明：在△ABD中∵E,G分别是边AB,BD的中点，∴EG= AD，∴同理FG= BC；又∵AD=BC，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形.
5.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又∵BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得EF=10
∴EG∥AC,EG= AC；FG∥BD,FG= BD,
构造出中位线或斜边上的中线
根据中位线的性质或中线的性质
得出平行线和线段间的关系
课堂小结-中点问题解题思路
中点四边形是平行四边形
1.整理本堂课笔记与课后习题一起上交
2. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？
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