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初中华师大版第23章 图形的相似23.4 中位线第二课时教学设计及反思
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这是一份初中华师大版第23章 图形的相似23.4 中位线第二课时教学设计及反思，共5页。教案主要包含了情境导入，探究新知，讲解例题，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。
＆.教学目标：
1、理解并掌握梯形中位线的概念，会证明梯形的中位线定理。
2、会运用梯形的中位线定理解决一些四边形的计算问题和证明问题。
3、培养学生的语言概括表达能力、推理论证的能力，学会用运动变化的思想研究问题。
＆.教学重点、难点：
重点：梯形中位线的概念和性质。
难点：梯形中位线定理的证明和灵活应用。
＆.教学过程：
一、情境导入
1、回顾：三角形的中位线如何定义？三角形中位线具有什么性质？运用其性质能解决什么问题？
2、问题：请同学们类比三角形的中位线定义及性质，研究梯形中一条类似的线段——梯形的中位线，想想梯形的中位线具有什么性质呢？是否也平行于它的上、下底边呢？它的上、下底的长度有什么关系呢？（引出课题）
二、探究新知
§.探究梯形的概念及性质
＆.梯形中位线的概念：
连结梯形两腰中点的的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线有且只有一条。
注意：梯形的中位线是连结“两腰”中点而不是连结“两底”或“腰、底”中点的线段，梯形的中位线只有一条。
问题1：梯形中位线与底边的问题关系如何？梯形的中位线与两底之间存在怎样的数量关系呢？
活动：用刻度尺测量这三线段的长度，用量角器测量梯形的底角和腰与中位线的夹角，分工合作完成。
根据测量可猜想：
（1）梯形的中位线平行于两底；
（2）梯形的中位线等于两底和的一半。
验证：已知：如图所示，在梯形中，，，．
求证：，.
解析：由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结，并延长交的延长线于，证明的关键在于说明为的中位线。于是本题就转化为证明，，故只要证明．
证明：连结，并延长交的延长线于
∵
∴，
图 1
A
D
E
F
B
C
G
又∵
∴
∴，
∴为的中位线
∴，
即，
§.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
几何语言表达：在梯形中，，，
∴，
注意：
（1）梯形中位线的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行；②数量关系：可以证明一线段是另一条线段的倍或；
（2）梯形中位线定理的证明是转化为三角形中位线定理上证明的，这里有一条常规辅助线，即是把梯形上底的一个顶点和腰的中点连结并延长与下底相交，进而把梯形的问题转化为三角形问题解决。
问题2：如图，你可能记得梯形的面积公式为．其中、分别为梯形的两底边的长，为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？
图 2
h
l1
l2
活动：同学们自主探究，小组合作交流.
归纳：上面的公式可简化为：梯形的面积中位线高.它的几何意义是梯形的面积与以梯形的中位线为长，以梯形的高为宽的矩形的面积相等。
思考：你能用运动变化的观点来理解梯形中位线和三角形的中位线吗？
当梯形的上底两个点重合时，即为三角形，三角形中位线可看作是梯形中位线的特殊形式，此二者是辨证统一的。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、解答下列各题：
（1）梯形的上底长为，下底长为，求中位线长；
（2）梯形的上底长为，中位线长，求下底长；
（3）一个等腰梯形的周长是，且它的中位线长与腰长相等，它的高是，求这个梯形的面积。
§.例2、如图所示，已知是梯形的中位线，、与交于、，，，求的长。
解析：从图形中可知，其中是梯形的中位线，是的中位线，是的中位线，根据中位线定理即可得解。
解：由是梯形的中位线
A
D
M
E
F
N
B
C
图 3
∴
∵
∴
同理可得：
∴，
∴
归纳：本题的计算中验证了梯形的一个重要性质：“连结梯形两条对角线中点的线段平行于两底且等于两底差的一半”.这个性质在计算时应用较广泛，要记住。
§.例3、如图，在等腰梯形中，，，.
求证：.
图 4
A
D
E
F
B
H
C
解析：观察结论的右边，它是梯形上、下底和的一半，联想到梯形的中位线也等于上、下底和的一半，于是只要证明等于该梯形的中位线即可。为此，这里需构造该等腰梯形的中位线进行证明。
证明：取、的中点、，连结，
则，
在中，，则
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
§.例4、如图，在梯形中，，，为的中点，连结，.
求证：.
A
图 5
D
F
E
B
C
证明：取的中点，连结，则是梯形的中位线
故
∵
∴
∴
∴
归纳：梯形的中位线相对于三角形的中位线而言，应用起来更灵活，通过两个例题让同学们体会在梯形当中出现腰的中点时，常常通过取另一腰的中点来构造梯形的中位线，进而得到边的位置关系或者线段之间的数量关系，为证明或计算提供有利的工具。
§.例5、如图，在等腰梯形中，，，，是梯形的中位线且.
求证：.
解析：过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形.可得：，是等腰直角三角形，，则.
图 6
A
D
E
F
B
G
C
H
四、巩固练习
教材 练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解梯形中位线的定义及性质，明确它的两个结论：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半.既体现了位置关系，同时也表明了数量关系。
D′
图 7
A′
A
B
C
D
E
B′
C′
E′
2、遇到和梯形中点有关的问题时，要适当添加辅助线灵活地转化为中位线问题。
六、课外作业
1、教材 习题 、
＆.教学目标：
1、理解并掌握梯形中位线的概念，会证明梯形的中位线定理。
2、会运用梯形的中位线定理解决一些四边形的计算问题和证明问题。
3、培养学生的语言概括表达能力、推理论证的能力，学会用运动变化的思想研究问题。
＆.教学重点、难点：
重点：梯形中位线的概念和性质。
难点：梯形中位线定理的证明和灵活应用。
＆.教学过程：
一、情境导入
1、回顾：三角形的中位线如何定义？三角形中位线具有什么性质？运用其性质能解决什么问题？
2、问题：请同学们类比三角形的中位线定义及性质，研究梯形中一条类似的线段——梯形的中位线，想想梯形的中位线具有什么性质呢？是否也平行于它的上、下底边呢？它的上、下底的长度有什么关系呢？（引出课题）
二、探究新知
§.探究梯形的概念及性质
＆.梯形中位线的概念：
连结梯形两腰中点的的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线有且只有一条。
注意：梯形的中位线是连结“两腰”中点而不是连结“两底”或“腰、底”中点的线段，梯形的中位线只有一条。
问题1：梯形中位线与底边的问题关系如何？梯形的中位线与两底之间存在怎样的数量关系呢？
活动：用刻度尺测量这三线段的长度，用量角器测量梯形的底角和腰与中位线的夹角，分工合作完成。
根据测量可猜想：
（1）梯形的中位线平行于两底；
（2）梯形的中位线等于两底和的一半。
验证：已知：如图所示，在梯形中，，，．
求证：，.
解析：由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结，并延长交的延长线于，证明的关键在于说明为的中位线。于是本题就转化为证明，，故只要证明．
证明：连结，并延长交的延长线于
∵
∴，
图 1
A
D
E
F
B
C
G
又∵
∴
∴，
∴为的中位线
∴，
即，
§.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
几何语言表达：在梯形中，，，
∴，
注意：
（1）梯形中位线的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行；②数量关系：可以证明一线段是另一条线段的倍或；
（2）梯形中位线定理的证明是转化为三角形中位线定理上证明的，这里有一条常规辅助线，即是把梯形上底的一个顶点和腰的中点连结并延长与下底相交，进而把梯形的问题转化为三角形问题解决。
问题2：如图，你可能记得梯形的面积公式为．其中、分别为梯形的两底边的长，为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？
图 2
h
l1
l2
活动：同学们自主探究，小组合作交流.
归纳：上面的公式可简化为：梯形的面积中位线高.它的几何意义是梯形的面积与以梯形的中位线为长，以梯形的高为宽的矩形的面积相等。
思考：你能用运动变化的观点来理解梯形中位线和三角形的中位线吗？
当梯形的上底两个点重合时，即为三角形，三角形中位线可看作是梯形中位线的特殊形式，此二者是辨证统一的。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、解答下列各题：
（1）梯形的上底长为，下底长为，求中位线长；
（2）梯形的上底长为，中位线长，求下底长；
（3）一个等腰梯形的周长是，且它的中位线长与腰长相等，它的高是，求这个梯形的面积。
§.例2、如图所示，已知是梯形的中位线，、与交于、，，，求的长。
解析：从图形中可知，其中是梯形的中位线，是的中位线，是的中位线，根据中位线定理即可得解。
解：由是梯形的中位线
A
D
M
E
F
N
B
C
图 3
∴
∵
∴
同理可得：
∴，
∴
归纳：本题的计算中验证了梯形的一个重要性质：“连结梯形两条对角线中点的线段平行于两底且等于两底差的一半”.这个性质在计算时应用较广泛，要记住。
§.例3、如图，在等腰梯形中，，，.
求证：.
图 4
A
D
E
F
B
H
C
解析：观察结论的右边，它是梯形上、下底和的一半，联想到梯形的中位线也等于上、下底和的一半，于是只要证明等于该梯形的中位线即可。为此，这里需构造该等腰梯形的中位线进行证明。
证明：取、的中点、，连结，
则，
在中，，则
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
§.例4、如图，在梯形中，，，为的中点，连结，.
求证：.
A
图 5
D
F
E
B
C
证明：取的中点，连结，则是梯形的中位线
故
∵
∴
∴
∴
归纳：梯形的中位线相对于三角形的中位线而言，应用起来更灵活，通过两个例题让同学们体会在梯形当中出现腰的中点时，常常通过取另一腰的中点来构造梯形的中位线，进而得到边的位置关系或者线段之间的数量关系，为证明或计算提供有利的工具。
§.例5、如图，在等腰梯形中，，，，是梯形的中位线且.
求证：.
解析：过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形.可得：，是等腰直角三角形，，则.
图 6
A
D
E
F
B
G
C
H
四、巩固练习
教材 练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解梯形中位线的定义及性质，明确它的两个结论：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半.既体现了位置关系，同时也表明了数量关系。
D′
图 7
A′
A
B
C
D
E
B′
C′
E′
2、遇到和梯形中点有关的问题时，要适当添加辅助线灵活地转化为中位线问题。
六、课外作业
1、教材 习题 、
相关教案
八年级数学教案示例：梯形的中位线： 这是一份八年级数学教案示例：梯形的中位线，共8页。教案主要包含了教学目标，教学设计，重点和难点，课时安排，教具学具准备，教学步骤，布置作业，板书设计等内容，欢迎下载使用。
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