初中数学冀教版八年级下册第二十一章 一次函数21.1 一次函数习题ppt课件

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图中不存在中点，但结论与三角形中位线定理很类似，因此应设法寻找中点，再构造三角形的中位线．
1 [2023·广西]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为________．
2 如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．
3 如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC的中点，求DE的长.
【解】如图，延长BD交AC于点F.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°＝∠ADF.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°.∴∠FBN＝180°－∠BFN－∠BNF＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠ABC＝∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.
6 [2023·武汉外国语学校月考]如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N分别为边AD，BC的中点，EF⊥MN交AB于点E，交CD于点F.求证：∠AEF＝∠DFE.
【证明】如图所示，设MN与EF相交于点O，NM的延长线与BA的延长线交于点P，与CD的延长线交于点Q，连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG.
∵MG∥AB，∴∠GMN＝∠BPN.∵NG∥CD，∴∠GNM＝∠NQC.∴∠BPN＝∠NQC.∵EF⊥MN，∴∠EOP＝90°，∠FOQ＝90°.∴∠BPN＋∠AEF＝90°，∠NQC＋∠DFE＝90°.∴∠AEF＝∠DFE.
本题考查了三角形中位线定理及平行线的性质，巧妙构造三角形的中位线是解此题的关键．
【证明】如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥ AD，交BN的延长线于点E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．又∵H为NC的中点，∴DH∥BN，HN＝HC.又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．∴HE＝PD.