初中数学23.4 中位线测试题

周测六（23.3.2～23.4）

知识互动点对典                                                                   

2.相似三角形的判定

第1课时  相似三角形的判定（1）                                                           第2课时  相似三角形的判定（2）

第3课时  相似三角形的判定（3）

3.相似三角形的性质

4.相似三角形的应用                                                                    

知识点一 相似三角形的判定

1.（2021·洛阳伊川期中）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF．其中正确的个数为（　B）

A．1 B．2 C．3 D．4

2.（2021·南阳邓州期中）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　C　）

A．B．C．D．

3.（2021·驻马店新蔡期中）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　C　）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

知识点二相似三角形的性质

4.（2020•驻马店上蔡期末）如图，已知△ABC∽△ADB，点D是AC的中点，AC＝4，则AB的长为（　C　）

A．2 B．4 C． D．

5.（2021·驻马店新蔡期末）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（　C　）

A. 32    B. 8    C. 4    D. 16

6.（2020·周口太康期末）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD=10，A′D′=6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( C)

A．3:5 B．9:25 C．5:3 D．25:9

7.（2020·洛阳孟津期末）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　A　）

A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1

知识点三  相似三角形的应用

7.（2021·南阳南召期中）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（　B　）

A． B． C． D．

8.（2020•洛阳孟津期末）相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面（　A　）

A．2.4米 

B．8米 

C．3米 

D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离

23.4  中位线        

知识点一 中位线

9. （2020·南阳内乡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE＝2，则四边形ADFE的周长为（　D　）

A．2 B．4 C．6 D．8

10.（2020·鹤壁期中）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为，则的值为___.

知识点二 三角形的重心

11. （2021·洛阳伊川期中）如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD，BE的交点），BF＝6，则DF＝　　．

易错训练一对一

易错点 相似三角形在没有明确对应关系时忘记分类讨论

1.（2021·新乡辉县期中）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，AB＝6，AC＝8，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，AF的长是　4或　．

2.（2021·南阳南召期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P，A，C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　（2，0）或（，0）　．

知能提升面对面

1.（2021·洛阳伊川期中）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　B　）

A．4 B．4 C．6 D．4

2.（2021·洛阳伊川期中）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　D　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9

3.（2021·南阳邓州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝3，则点F到BC的距离为（　A　）

A．3 B．2 C． D．

4.（2020·新乡辉县期末）如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE的周长是（　B　）

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

5.（2020·周口商水期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是(　D　)

A.  B.  C. △ADE∽△ABC D.

6.（2021·驻马店新蔡期中）如图，点P是▱ABCD边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知▱ABCD面积为16，那么△PEF的面积为（　D　）

A．8 B．6 C．4 D．2

7. （2020·周口商水期末）如图，在平行四边形ABCD中，点M为AD边上一点，且，连接CM，对角线BD与CM相交于点N，若的面积等于3，则四边形ABNM的面积为　C　

A. 8 B. 9 C. 11 D. 12

8. （2020·南阳内乡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为（　B　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9.（2021·驻马店新蔡期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的延长线上一点，AE与CD交于点F，BC＝2CE，若AB＝6，则DF＝　4　．

10.（2021·洛阳伊川期中）如图，在△ABC中，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上，且BC∥DE．下列结论：①；②；③；④.其中正确的有　①②③　．（填序号）

11.（2021·洛阳汝阳期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ACD＝　1：20　．

12．（2020·南阳唐河期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A＝40°，∠B＝65°，∠AED＝75°．若AD：BD＝2：3，AE＝3，则AC的长是　　．

13.（2021·洛阳伊川期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．

已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

解：∵BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴＝，

∴＝，

∴AB＝17m，

经检验：AB＝17是分式方程的解.

答：河宽AB的长为17m．

14（2021·新乡辉县期中）已知，如图所示，∠BCA＝∠EDA．

求证：（1）△ABC∽△ADE；

（2）DF•EF＝FC•FB．

证明：（1）∵∠BCA＝∠EDA，∠BAE＝∠BAE，

∴△ABC∽△ADE.

（2）∵△ABC∽△ADE，

∴∠B＝∠E.

∵∠DFB＝∠CFE，

∴△DFB∽△CFE

∴，

∴DF•EF＝FC•FB．

15.（2021·洛阳伊川期中）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°.

∵AE＝ED，∴.

∵DF＝DC，∴，

∴，

∴△ABE∽△DEF.

（2）∵四边形ABCD为正方形，

∴ED∥BG，∴.

又∵DF＝DC，正方形的边长为4，

∴ED＝2，CG＝6，

∴BG＝BC+CG＝10．

16.（2021·新乡辉县期中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC.

∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，

∴∠AFD＝∠C，

∴△ADF∽△DEC．

（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，

∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6．

由（1）知△ADF∽△DEC，得＝，

∴AF＝＝＝2．

17.（2021·洛阳汝阳期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

解：根据勾股定理，得BA＝.

（1）分两种情况讨论：

①当△BPQ∽△BAC时，.

∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，

∴，解得t＝1，

②当△BPQ∽△BCA时，，

∴，解得t＝；

∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA.

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图，

则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t.

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM.

∵∠ACQ＝∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴，

∴，解得t＝．