人教A版高中数学必修第二册第6章探究课1用向量法研究三角形的性质讲义

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　用向量法研究三角形的性质三角形“四心”的向量表示在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)三角形的重心：OA+OB+OC＝0⇔O是△ABC的重心．(2)三角形的垂心：OA·OB＝OB·OC＝OC·OA⇔O是△ABC的垂心．(3)三角形的内心：aOA＋bOB＋cOC＝0⇔O是△ABC的内心．(4)三角形的外心：|OA|＝|OB|＝|OC|⇔O是△ABC的外心．【典例】　(1)若三个不共线的向量OA，OB，OC满足OA·ABAB+CACA＝OB·BABA+CBCB＝OC·CACA+BCBC＝0，则点O为△ABC的(　　)A．内心　　B．外心　　C．重心　　D．垂心(2)已知△ABC所在平面内的一点P满足PA＋2PB+PC＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝(　　)A．1∶2∶3 B．1∶2∶1C．2∶1∶1 D．1∶1∶2(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝10，AC＝3.若O是△ABC外心，且AO＝pAB＋qAC，则p＝________，q＝________．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则AO·AB等于(　　)A．6 B．6　　　C．12　　　 D．182．用向量方法证明：(1)三角形的三条高线交于一点．如图①所示，△ABC中，设BC，CA边上的高AD，BE交于点H，求证：边AB上的高过点H；(2)三角形的三边的垂直平分线交于一点．如图②所示，△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别为D，E，F，BC和CA边上的垂直平分线交于点O，求证：AB边上的垂直平分线过点O.