数学人教A版 (2019)7.1 复数的概念学案及答案

这是一份数学人教A版 (2019)7.1 复数的概念学案及答案，共7页。
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
小学的时候我们先学了自然数，为了衡量一个苹果分给几个小朋友的问题，引入了分数，慢慢又引入了负数，紧接着为了衡量边长为1的正方形的对角线的长度，引入了无理数，我们所了解的数系一步步被扩充到实数系……
知识点1 复数的概念及其表示
1．复数与复数集
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做________．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做________．规定i·i＝i2＝________．
1.如何理解虚数单位i?





2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈_________)，其中a叫做复数z的________，b叫做复数z的________．
知识点2 复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当____________且________．
知识点3 复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数______ _____b≠0纯虚数a=0非纯虚数____
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．
2.复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？




a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数z＝bi是纯虚数．( )
(3)实数集与复数集的交集是实数集．( )
2．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＝________；y＝________．
类型1 复数的概念
【例1】 给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[尝试解答]









判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系．
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同．
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．
[跟进训练]
1．下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
类型2 复数的分类
【例2】 当实数x取什么值时，复数z＝x2-x-6x+3＋(x2－2x－15)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[尝试解答]









利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
[跟进训练]
2．(1)若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为( )
A．0 B．1
C．－1D．1或－1
(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2D．－1
类型3 复数相等的充要条件
【例3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
[尝试解答]






复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，可将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
[跟进训练]
3．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．





1．在2＋7，27i，8＋5i，(1－3)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0B．1
C．2 D．3
2．复数z＝12－32i的实部和虚部分别是( )
A．－12，－32 B．12，－32
C．12，32D．－12，32
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝________．
4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________．
0，1＋i，πi，3＋2i，13－3i，π3i．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？
2．两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
3．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
学习任务
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(逻辑推理)
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(数学抽象)
3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．(数学运算)