这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-4-3第2课时正弦定理学案，共13页。
第2课时 正弦定理如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？知识点 正弦定理 在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC，那么这个比值有什么特殊的含义吗？[提示] 如图所示，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，所以在△AB′C中，bsinB'＝bsinB＝c, c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )A．33 B．63 C．22 D．32A [由asinA＝bsinB，得1532＝10sinB，解得sin B＝33.故选A．]2．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为________．23 [因为BCsinA＝2R，所以BC＝2R sin A＝4sin 60°＝23．] 类型1 已知两角及一边解三角形【例1】 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．[解] 因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理，得asin45°＝4sin30°＝csin105°，解得a＝4sin45°sin30°＝42，c＝4sin105°sin30°＝2(6＋2)． 已知两角及一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．[跟进训练]1．已知△ABC中，c＝4，A＝45°，B＝60°，求a，b．[解] 由题意可得C＝180°－45°－60°＝75°．由正弦定理得a＝csinAsinC＝4sin45°sin75°．又sin 75°＝6+24，于是a＝4sin45°sin75°＝43－4．同理可得b＝csinBsinC＝4sin60°sin75°＝62－26． 类型2 已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】 (源自湘教版教材)在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c．(1)a＝5，b＝53，∠A＝30°；(2)a＝5，b＝522，∠A＝45°．[解] (1)由正弦定理得53sinB＝5sin30°，即sin B＝32，所以∠B＝60°或∠B＝120°．当∠B＝60°时，∠C＝90°，所以c＝sin 90°·5sin30°＝10．当∠B＝120°时，∠C＝30°，所以c＝a＝5．(2)由正弦定理得sin B＝522·sin45°5＝12，所以∠B＝30°或∠B＝150°．又∠A＝45°，a＞b，所以∠B＜45°．由此得到∠B＝30°，∠C＝105°．因此c＝sin 105°·5sin45°＝sin 75°·5sin45°＝53+52． 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．(2)用三角形内角和定理求出第三个角．(3)根据正弦定理求出第三条边．其中进行第一个步骤时要注意讨论该角是否可能有两个值．[跟进训练]2．已知B＝30°，b＝2，c＝2，求A，C，a．[解] 由正弦定理得sin C＝c·sinBb＝2sin30°2＝22，∵c>b，0°
0，b>0，得a＝b，所以△ABC为等腰三角形．]1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是( )A．a∶b＝A∶B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．asin A＝bsin BB [由正弦定理asinA＝bsinB可得a∶b＝sin A∶sin B，可知B正确．故选B．]2．一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对的边长是( )A．4 B．123 C．43 D．12D [设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得xsin120°＝46sin45°，得x＝46sin120°sin45°＝46×3222＝12，故选D．]3．在△ABC中，若c＝2a cos B，则△ABC的形状为( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．非等边三角形B [由正弦定理知c＝2R sin C，a＝2R sin A(R为三角形外接圆的半径)，故sin C＝2sin A cos B＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B＝cos A sin B，即sin (A－B)＝0，所以A＝B．故△ABC为等腰三角形．]4．在△ABC中， a＝5，b＝53，A＝30°，则B＝________．60°或120° [由正弦定理bsinB＝asinA，得sin B＝53sin30°5＝32.∵b>a，∴B>A，且0°a，所以B>A，即A<π4，所以A＝π6．]三、解答题9．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R．[解] ∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°．由正弦定理，得asinA＝csinC＝2R，∴c＝a·sinCsinA＝10×3222＝56，∴2R＝asinA＝1022＝102，∴R＝52．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B-sin2Asin2A的值为( )A．－19 B．13 C．1 D．72D [由正弦定理得2sin2B-sin2Asin2A＝2sinBsinA2－1＝2ba2－1.因为3a＝2b，所以ba＝32，所以2sin2B-sin2Asin2A＝2×322－1＝72.故选D．]11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝( )A．23 B．2 C．2 D．1B [由asinA＝bsinB得1sinA＝3sinB，又因为B＝2A，所以1sinA＝3sin2A＝32sinAcosA，所以cos A＝32，又0A；③sin Bb＝2，所以A>B，所以B＝π6．由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得22＝(2)2＋c2－2×2×c×22，解得c＝3＋1或c＝－3＋1(舍去)．15．某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角已破损．现测得如下数据：BC＝2.57 cm，CE＝3.57 cm，BD＝4.38 cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的长．(精确到0.01 cm)[解] 将BD，CE分别延长相交于点A(如图)．在△ABC中，BC＝2.57 cm，B＝45°，C＝120°，A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋120°)＝15°．由正弦定理，得BCsinA＝ACsinB，所以AC＝BCsinBsinA＝2.57sin45°sin15°≈7.02(cm)．同理AB≈8.60(cm)．因此，原玉佩另两边的长分别约为7.02 cm，8.60 cm． 学习任务1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(逻辑推理、数学抽象)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(数学运算)
