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人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-4平面向量数乘运算的坐标表示学案
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这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-4平面向量数乘运算的坐标表示学案，共15页。
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示当a∥b时，a，b存在怎样的等量关系，其坐标之间又存在怎样的等量关系？让我们一起来学习吧！知识点 平面向量数乘运算的坐标表示1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x1x2＝y1y2吗？[提示] 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．(－1，3) [根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3)．]2．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．－4 [∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．] 类型1 向量数乘的坐标运算【例1】 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b．[解] (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．(3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)＝-12，1－23，13＝-76，23． 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．[跟进训练]1．(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则AC＋13BA＝( )A．(2，－3) B．(－2，－3)C．(－2，3) D．(2，3)(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，则a＋2b－3c的坐标是________．(1)A (2)(－11，－1) [(1)因为A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以AC＝(1，－6)，BA＝(3，9)，所以AC＋13BA＝(2，－3)．(2)因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1)．] 类型2 向量共线的坐标表示及应用 向量共线的判定与证明【例2】 (1)下列各组向量中，共线的是( )A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)B．a＝(2，3)，b＝(3，2)C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？(1)D [A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D．](2)[解] ∵AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，CD＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0，∴AB∥CD．又AC＝(2，6)，AB＝(2，4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD． 三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点． 已知平面向量共线求参数【例3】 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解] 法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k-3=10λ， 2k+2=-4λ，解得k＝λ＝－13．当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－13<0，所以平行时ka＋b与a－3b反向．法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－13．这时ka＋b＝-13-3，-23+2＝－13(a－3b)，所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[跟进训练]2．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．85 [法一(定义法)：因为a∥b，所以a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得kλ=2，4k=5，解得λ=85，k=54. 法二(结论法)：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85．]3．已知A(1，－3)，B8，12，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．[证明] AB＝8-1，12+3＝7，72，AC＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB∥AC，且AB，AC有公共点A，∴A，B，C三点共线． 类型3 共线向量与线段分点坐标的计算【例4】 已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，求点P的坐标．[思路导引] 点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|→AP＝2PB或AP＝－2PB．[解] 设P点坐标为(x，y)，|AP|＝2|PB|．当P在线段AB上时，AP＝2PB，∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，∴x-3=-2-2x，y+4=4-2y，解得x=13，y=0，∴P点坐标为13，0．当P在线段AB延长线上时，AP＝－2PB，∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，∴x-3=2+2x， y+4=-4+2y，解得x=-5，y=8， ∴P点坐标为(－5，8)．综上所述，点P的坐标为13，0或(－5，8)．[母题探究]若将本例条件“|AP|＝2|PB|”改为“AP＝3PB”，其他条件不变，求点P的坐标．[解] 因为AP＝3PB，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，所以x-3=-3-3x，y+4=6-3y，解得x=0，y=12，所以点P的坐标为0，12． 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当P1P＝λPP2时，点P的坐标为x1+λx21+λ，y1+λy21+λ(λ≠－1)．特别地，当点P是P1P2的中点时，则P点坐标为x1+x22，y1+y22．[跟进训练]4．如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，OC＝14OA，OD＝12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．[解] 因为OC＝14OA＝14(0，5)＝0，54，所以C0，54．因为OD＝12OB＝12(4，3)＝2，32，所以D2，32．设M(x，y)，则AM＝(x，y－5)，AD＝2-0，32-5＝2，-72．因为AM∥AD，所以－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又CM＝x，y-54，CB＝4，74，因为CM∥CB，所以74x－4y-54＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝127，y＝2，故点M的坐标为127，2．1．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则12AB等于( )A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)D [12AB＝12(MB-MA)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．故选D．]2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)A [因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．]3．若P1(1，2)，P(3，2)且P1P＝2PP2，则P2的坐标为( )A．(7，2) B．(－7，－2)C．(－4，－2) D．(4，2)D [设P2(x，y)，则由P1P＝2PP2得(2，0)＝2(x－3，y－2)，∴2x-6=2，y-2=0， 得x=4，y=2， 即P2(4，2)．]4．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________．(－4，－8) [∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若a＝(x，y)，则λa等于什么？[提示] λa＝(λx，λy)．2．向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？[提示] x1y2＝ x2y1．3．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标如何表示？[提示] 线段P1P2的中点坐标是x1+x22，y1+y22．课时分层作业(九) 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)B [只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a.故选B．]2．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与AB平行且方向相反的向量a可能是( )A．(1，－2) B．(9，3)C．(－1，2) D．(－4，－8)D [由题意得AB＝(1，2)，结合选项可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB，所以D正确．]3．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝12，1+sinθ，且a∥b，则锐角θ等于( )A．30° B．45° C．60° D．75°B [由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.故选B．]4．已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(k，2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为( )A．－8 B．－6 C．－1 D．6B [由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6.故选B．]5．(多选)已知在平面直角坐标系中，点P1(0，1)，P2(4，4).当P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为( )A．43，2 C．43，3C．(2，3) D．83，3AD [设P(x，y)，则P1P＝(x，y－1)，PP2＝(4－x，4－y)，当点P靠近点P1时，P1P＝12PP2，则x=124-x， y-1=124-y，解得x=43，y=2，所以P43，2，当点P靠近点P2时，P1P＝2PP2，则x=24-x， y-1=24-y，解得x=83，y=3，所以P83，3．]二、填空题6．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝________．－9 [AB＝(－8，8)，AC＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即AB∥AC，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9．]7．与向量a＝(－3，4)平行的单位向量是________．-35，45或35，-45 [设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则x2+y2=1，4x+3y=0， ∴x=-35，y=45 或x=35，y=-45. ]8．已知向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝________．－92 [因为向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，所以2a＋b＝(4，2λ＋1)，所以由2a＋b与c共线，得－8－(2λ＋1)＝0，解得λ＝－92．]三、解答题9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且AE＝13AC，BF＝13BC．(1)求点E，F的坐标；(2)判断EF与AB是否共线．[解] (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意，得AC＝(2，2)，BC＝(－2，3)．由AE＝13AC可知，(x1＋1，y1)＝13(2，2)，所以x1+1=23 ，y1=23 ， 解得x1=-13 ，y1=23 ， 所以点E的坐标为-13，23．由BF＝13BC可知，(x2－3，y2＋1)＝13(－2，3)，所以x2-3=-23 ，y2+1=1， 解得x2=73 ，y2=0， 所以点F的坐标为73，0．(2)由(1)可知，EF＝73，0－-13，23＝83，-23，又AB＝(4，－1)，所以EF＝23(4，－1)＝23AB，所以EF与AB共线．10．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－4，6) D．(4，－6)D [由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)．故选D．]11．(多选)已知A(3，－6)，B(－5，2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的坐标可能是( )A．(－9，6) B．(－1，－2)C．(－7，－2) D．(6，－9)ABD [设C(x，y)，则AC＝(x－3，y＋6)，AB＝(－8，8)．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴x-3-8＝y+68，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，可能的是ABD．]12．(多选)已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，则下列结论正确的是( )A．直线OC与直线BA平行B．AB+BC＝CAC．OA+OC＝OBD．AC＝OB－2OAACD [因为OC＝(－2，1)，BA＝(2，－1)，所以OC＝－BA，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为AB+BC＝AC≠CA，所以B错误；因为OA+OC＝(0，2)＝OB，所以C正确；因为AC＝(－4，0)，OB－2OA＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以D正确．]13．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．m≠12 [AB＝OB-OA＝(6，－3)－(3，－4)＝(3，1)，AC＝OC-OA＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则AC与AB不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠12．]14．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．[解] 设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5，4)，CA＝(－3，6)，DC＝(4，0)．由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)．又因为CP＝DP-DC＝(5λ－4，4λ)，由CP与CA共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0．解得λ＝47，所以DP＝47DB＝207，167，所以P的坐标为277，167．15．已知三角形的三条中线交于一点G(也称为三角形的重心)，且点G将每条中线分为2∶1的两段(如图，AG∶GM＝2∶1)．设△ABC三个顶点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．(1)求点G的坐标；(2)利用向量的坐标运算证明：GA+GB+GC＝0．[解] (1)设G(x，y)，由GA＝－2GM，A(x1，y1)，Mx2+x32，y2+y32，∴x1-x=-2x2+x32-x，y1-y=-2y2+y32-y，∴x=x1+x2+x33，y=y1+y2+y33， ∴Gx1+x2+x33，y1+y2+y33．(2)证明：∵GA＝x1-x1+x2+x33，y1-y1+y2+y33＝2x1-x2-x33，2y1-y2-y33，GB＝x2-x1+x2+x33，y2-y1+y2+y33＝2x2-x1-x33，2y2-y1-y33，GC＝x3-x1+x2+x33，y3-y1+y2+y33＝2x3-x1-x23，2y3-y1-y23，∴GA+GB+GC＝0． 学习任务1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．(数学运算)2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(逻辑推理)3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(逻辑推理)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示当a∥b时，a，b存在怎样的等量关系，其坐标之间又存在怎样的等量关系？让我们一起来学习吧！知识点 平面向量数乘运算的坐标表示1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x1x2＝y1y2吗？[提示] 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．(－1，3) [根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3)．]2．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．－4 [∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．] 类型1 向量数乘的坐标运算【例1】 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b．[解] (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．(3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)＝-12，1－23，13＝-76，23． 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．[跟进训练]1．(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则AC＋13BA＝( )A．(2，－3) B．(－2，－3)C．(－2，3) D．(2，3)(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，则a＋2b－3c的坐标是________．(1)A (2)(－11，－1) [(1)因为A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以AC＝(1，－6)，BA＝(3，9)，所以AC＋13BA＝(2，－3)．(2)因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1)．] 类型2 向量共线的坐标表示及应用 向量共线的判定与证明【例2】 (1)下列各组向量中，共线的是( )A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)B．a＝(2，3)，b＝(3，2)C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？(1)D [A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D．](2)[解] ∵AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，CD＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0，∴AB∥CD．又AC＝(2，6)，AB＝(2，4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD． 三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点． 已知平面向量共线求参数【例3】 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解] 法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k-3=10λ， 2k+2=-4λ，解得k＝λ＝－13．当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－13<0，所以平行时ka＋b与a－3b反向．法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－13．这时ka＋b＝-13-3，-23+2＝－13(a－3b)，所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[跟进训练]2．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．85 [法一(定义法)：因为a∥b，所以a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得kλ=2，4k=5，解得λ=85，k=54. 法二(结论法)：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85．]3．已知A(1，－3)，B8，12，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．[证明] AB＝8-1，12+3＝7，72，AC＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB∥AC，且AB，AC有公共点A，∴A，B，C三点共线． 类型3 共线向量与线段分点坐标的计算【例4】 已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，求点P的坐标．[思路导引] 点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|→AP＝2PB或AP＝－2PB．[解] 设P点坐标为(x，y)，|AP|＝2|PB|．当P在线段AB上时，AP＝2PB，∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，∴x-3=-2-2x，y+4=4-2y，解得x=13，y=0，∴P点坐标为13，0．当P在线段AB延长线上时，AP＝－2PB，∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，∴x-3=2+2x， y+4=-4+2y，解得x=-5，y=8， ∴P点坐标为(－5，8)．综上所述，点P的坐标为13，0或(－5，8)．[母题探究]若将本例条件“|AP|＝2|PB|”改为“AP＝3PB”，其他条件不变，求点P的坐标．[解] 因为AP＝3PB，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，所以x-3=-3-3x，y+4=6-3y，解得x=0，y=12，所以点P的坐标为0，12． 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当P1P＝λPP2时，点P的坐标为x1+λx21+λ，y1+λy21+λ(λ≠－1)．特别地，当点P是P1P2的中点时，则P点坐标为x1+x22，y1+y22．[跟进训练]4．如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，OC＝14OA，OD＝12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．[解] 因为OC＝14OA＝14(0，5)＝0，54，所以C0，54．因为OD＝12OB＝12(4，3)＝2，32，所以D2，32．设M(x，y)，则AM＝(x，y－5)，AD＝2-0，32-5＝2，-72．因为AM∥AD，所以－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又CM＝x，y-54，CB＝4，74，因为CM∥CB，所以74x－4y-54＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝127，y＝2，故点M的坐标为127，2．1．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则12AB等于( )A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)D [12AB＝12(MB-MA)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．故选D．]2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)A [因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．]3．若P1(1，2)，P(3，2)且P1P＝2PP2，则P2的坐标为( )A．(7，2) B．(－7，－2)C．(－4，－2) D．(4，2)D [设P2(x，y)，则由P1P＝2PP2得(2，0)＝2(x－3，y－2)，∴2x-6=2，y-2=0， 得x=4，y=2， 即P2(4，2)．]4．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________．(－4，－8) [∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若a＝(x，y)，则λa等于什么？[提示] λa＝(λx，λy)．2．向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？[提示] x1y2＝ x2y1．3．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标如何表示？[提示] 线段P1P2的中点坐标是x1+x22，y1+y22．课时分层作业(九) 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)B [只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a.故选B．]2．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与AB平行且方向相反的向量a可能是( )A．(1，－2) B．(9，3)C．(－1，2) D．(－4，－8)D [由题意得AB＝(1，2)，结合选项可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB，所以D正确．]3．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝12，1+sinθ，且a∥b，则锐角θ等于( )A．30° B．45° C．60° D．75°B [由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0，即cos θ＝±22，而θ是锐角，故θ＝45°.故选B．]4．已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(k，2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为( )A．－8 B．－6 C．－1 D．6B [由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6.故选B．]5．(多选)已知在平面直角坐标系中，点P1(0，1)，P2(4，4).当P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为( )A．43，2 C．43，3C．(2，3) D．83，3AD [设P(x，y)，则P1P＝(x，y－1)，PP2＝(4－x，4－y)，当点P靠近点P1时，P1P＝12PP2，则x=124-x， y-1=124-y，解得x=43，y=2，所以P43，2，当点P靠近点P2时，P1P＝2PP2，则x=24-x， y-1=24-y，解得x=83，y=3，所以P83，3．]二、填空题6．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝________．－9 [AB＝(－8，8)，AC＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即AB∥AC，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9．]7．与向量a＝(－3，4)平行的单位向量是________．-35，45或35，-45 [设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则x2+y2=1，4x+3y=0， ∴x=-35，y=45 或x=35，y=-45. ]8．已知向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝________．－92 [因为向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，所以2a＋b＝(4，2λ＋1)，所以由2a＋b与c共线，得－8－(2λ＋1)＝0，解得λ＝－92．]三、解答题9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且AE＝13AC，BF＝13BC．(1)求点E，F的坐标；(2)判断EF与AB是否共线．[解] (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意，得AC＝(2，2)，BC＝(－2，3)．由AE＝13AC可知，(x1＋1，y1)＝13(2，2)，所以x1+1=23 ，y1=23 ， 解得x1=-13 ，y1=23 ， 所以点E的坐标为-13，23．由BF＝13BC可知，(x2－3，y2＋1)＝13(－2，3)，所以x2-3=-23 ，y2+1=1， 解得x2=73 ，y2=0， 所以点F的坐标为73，0．(2)由(1)可知，EF＝73，0－-13，23＝83，-23，又AB＝(4，－1)，所以EF＝23(4，－1)＝23AB，所以EF与AB共线．10．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－4，6) D．(4，－6)D [由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)．故选D．]11．(多选)已知A(3，－6)，B(－5，2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的坐标可能是( )A．(－9，6) B．(－1，－2)C．(－7，－2) D．(6，－9)ABD [设C(x，y)，则AC＝(x－3，y＋6)，AB＝(－8，8)．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴x-3-8＝y+68，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，可能的是ABD．]12．(多选)已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，则下列结论正确的是( )A．直线OC与直线BA平行B．AB+BC＝CAC．OA+OC＝OBD．AC＝OB－2OAACD [因为OC＝(－2，1)，BA＝(2，－1)，所以OC＝－BA，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为AB+BC＝AC≠CA，所以B错误；因为OA+OC＝(0，2)＝OB，所以C正确；因为AC＝(－4，0)，OB－2OA＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以D正确．]13．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．m≠12 [AB＝OB-OA＝(6，－3)－(3，－4)＝(3，1)，AC＝OC-OA＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则AC与AB不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠12．]14．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．[解] 设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5，4)，CA＝(－3，6)，DC＝(4，0)．由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)．又因为CP＝DP-DC＝(5λ－4，4λ)，由CP与CA共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0．解得λ＝47，所以DP＝47DB＝207，167，所以P的坐标为277，167．15．已知三角形的三条中线交于一点G(也称为三角形的重心)，且点G将每条中线分为2∶1的两段(如图，AG∶GM＝2∶1)．设△ABC三个顶点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．(1)求点G的坐标；(2)利用向量的坐标运算证明：GA+GB+GC＝0．[解] (1)设G(x，y)，由GA＝－2GM，A(x1，y1)，Mx2+x32，y2+y32，∴x1-x=-2x2+x32-x，y1-y=-2y2+y32-y，∴x=x1+x2+x33，y=y1+y2+y33， ∴Gx1+x2+x33，y1+y2+y33．(2)证明：∵GA＝x1-x1+x2+x33，y1-y1+y2+y33＝2x1-x2-x33，2y1-y2-y33，GB＝x2-x1+x2+x33，y2-y1+y2+y33＝2x2-x1-x33，2y2-y1-y33，GC＝x3-x1+x2+x33，y3-y1+y2+y33＝2x3-x1-x23，2y3-y1-y23，∴GA+GB+GC＝0． 学习任务1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．(数学运算)2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(逻辑推理)3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(逻辑推理)
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