人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-4平面向量数乘运算的坐标表示学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-4平面向量数乘运算的坐标表示学案，共15页。
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示当a∥b时，a，b存在怎样的等量关系，其坐标之间又存在怎样的等量关系？让我们一起来学习吧！知识点　平面向量数乘运算的坐标表示1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x1x2＝y1y2吗？[提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．(－1，3)　[根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3)．]2．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．－4　[∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．] 类型1　向量数乘的坐标运算【例1】　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b．[解]　(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．(3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)＝-12，1－23，13＝-76，23．　平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．[跟进训练]1．(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则AC＋13BA＝(　　)A．(2，－3)　 B．(－2，－3)C．(－2，3) D．(2，3)(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，则a＋2b－3c的坐标是________．(1)A　(2)(－11，－1)　[(1)因为A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以AC＝(1，－6)，BA＝(3，9)，所以AC＋13BA＝(2，－3)．(2)因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1)．] 类型2　向量共线的坐标表示及应用　向量共线的判定与证明【例2】　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)B．a＝(2，3)，b＝(3，2)C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？(1)D　[A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D．](2)[解]　∵AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，CD＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0，∴AB∥CD．又AC＝(2，6)，AB＝(2，4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD．　三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点．　已知平面向量共线求参数【例3】　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解]　法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k-3=10λ， 2k+2=-4λ，解得k＝λ＝－13．当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－13