人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-1平面向量基本定理学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-1平面向量基本定理学案，共15页。
6.3　平面向量基本定理及坐标表示6.3.1　平面向量基本定理通过物理课中《力的合成与分解》的学习，我们知道，一个力可以分解成无数对大小、方向不同的分力．知识点　平面向量基本定理1．平面向量基本定理2.基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)基底中的向量可以是零向量． (　　)(2)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． (　　)(3)若AB＝a，AC＝b，AD是△ABC的中线，则AD＝12(a＋b)． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 类型1　平面向量基本定理的理解【例1】　(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1λ2＝μ1μ2D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0BC　[由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．]　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示．[跟进训练]1．(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2　　 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2ACD　[选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．] 类型2　用基底表示向量【例2】　(源自湘教版教材)如图，△ABC中，AB边的中点为P，重心为G.在△ABC外任取一点O，作向量OA，OB，OC，OP，OG．(1)试用OA，OB表示OP；(2)试用OA，OB，OC表示OG．[解]　(1)OP＝OA+AP＝OA＋12AB＝OA＋12(OB-OA)＝OA＋12OB－12OA＝12OA＋12OB．(2)OG＝OP+PG＝OP＋13PC＝OP＋13(OC-OP)＝OP＋13OC－13OP＝23OP＋13OC＝2312OA+12OB＋13OC＝13OA＋13OB＋13OC．　基底表示其他向量的方法方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止．方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．[跟进训练]2．已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到点C，使BA＝AC，连接OC，DC.设OA＝a，OB＝b．(1)用a，b表示OC，DC；(2)若OC与OA＋kDC共线，求k的值．[解]　(1)由题意知A为BC的中点，∴OA＝12(OB+OC)，∴OC＝2OA-OB＝2a－b，DC＝OC-OD＝OC－23OB＝2a－53b．(2)由(1)得OA＋kDC＝(2k＋1)a－53kb，∵OC与OA＋kDC共线，设OC＝λ(OA＋kDC)，则2a－b＝λ(2k＋1)a－53λkb，∴2=λ2k+1，-1=-53λk， 解得k＝34． 类型3　平面向量基本定理的应用【例3】　(2022·江苏马坝高中月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．(1)设AB＝a，AD＝b，用a，b表示ED，EF；(2)已知ED⊥EF，求证：AB＝32AD．[解]　(1)因为AE＝2BE，所以AE＝23AB，EB＝13AB，所以ED＝AD-AE＝b－23a，EF＝EB+BF＝13AB＋12AD＝13a＋12b．(2)证明：因为ED⊥EF，所以ED·EF＝0，即b-23a·13a+12b＝12b2－29a2＝0，即|a|＝32|b|，所以AB＝32AD．　利用向量解决几何问题的一般思路(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．[跟进训练]3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．[证明]　设AB＝a，AD＝b．因为四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|，又AC＝AB+AD＝a＋b，BD＝AD-AB＝b－a，则AC·BD＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，故AC⊥BD.所以AC⊥BD．1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　)A．{AB，DC}　 B．{AD，BC}C．{BC，CB} D．{AB，DA}D　[由于AB，DA不共线，所以是一组基底．故选D．]2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为(　　)A．3　　　B．－3　　　C．0　　　D．2A　[由平面向量基本定理，得5x-6y=6，①4x-5y=3，② 则①－②得x－y＝3．]3．在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝(　　)A．－12　　　B．－1　　　C．43 　　　D．－43D　[由题意可得BO＝23×12(BA+BC)＝13BA＋13BC＝13BA＋13(BA+AC)＝23BA＋13AC，所以λ＝－23，μ＝13，所以λ－2μ＝－23－2×13＝－43．]4．如图，在平行四边形ABCD中，设AC＝a，BD＝b，用基底{a，b}表示AB，BC，则AB＝________，BC＝________．12a－12b　12a＋12b　[法一：设AC，BD交于点O(图略)，则有AO＝OC＝12AC＝12a，BO＝OD＝12BD＝12b.所以AB＝AO+OB＝AO-BO＝12a－12b，BC＝BO+OC＝12a＋12b．法二：设AB＝x，BC＝y，则AD＝BC＝y，又AB+BC=AC，AD-AB=BD，所以x+y=a，y-x=b，解得x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即AB＝12a－12b，BC＝12a＋12b．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底？[提示]　平面内任意不共线的两个向量都可以构成一组基底．2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？[提示]　由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．课时分层作业(七)　平面向量基本定理一、选择题1．(多选)(2022·广东雷州市白沙中学月考)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝(　　)A．－BC＋12BA B．12AB-ACC．BC－12BA D．12CA＋12CBAD　[CD＝CB+BD＝－BC＋12BA＝CB＋12BA＝CB＋12(CA-CB)＝12CA＋12CB.故选AD．]2．如图，在矩形ABCD中，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝(　　)A．12(5e1＋3e2)B．12(5e1－3e2)C．12(3e2－5e1)D．12(5e2－3e1)A　[OC＝12AC＝12(BC+AB)＝12(BC+DC)＝12(5e1＋3e2)．故选A．]3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝(　　)A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3nB　[因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以BD＝2DA，即CD-CB＝2(CA-CD)，所以CB＝3CD－2CA＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B．]4．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形的格点上．若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝(　　)A．－1　　　B．3　　　C．1　　　D．－3A　[根据题中图象可知，a＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，即λ＋μ＝－2＋1＝－1，故选A．]5．如图，在△ABC中，AD＝13AC，BP＝23BD，若AP＝λAB＋μAC，则λμ等于(　　)A．32　　　B．23　　　C．3　　　D．13A　[由题意可得，BD＝AD-AB＝13AC-AB，AP＝AB+BP＝AB＋23BD＝AB＋2313AC-AB＝13AB＋29AC，据此可知λ＝13，μ＝29，则λμ＝32．]二、填空题6．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝-e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基底的线性组合，即e1＋e2＝________．23a－13b　[由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，①＋②得e2＝13a＋13b，代入①可求得e1＝13a－23b，所以e1＋e2＝23a－13b．]7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．2　[∵向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝λa，即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2．∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，∴k=4λ，1=2λ，∴k＝2．]8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．12　[如图，由题意知，D为AB的中点，BE＝23BC，所以DE＝DB+BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23(AC-AB)＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12．]三、解答题9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2．[解]　(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得λ=1， 3λ=-2， 所以λ不存在．故a与b不共线，可以作为一个基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．所以m+n=3， -2m+3n=-1， 解得m=2，n=1. 所以c＝2a＋b．10．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP等于(　　)A．a＋λb　　 B．λa＋(1－λ)bC．λa＋b　　　　 D．11+λa＋λ1+λbD　[∵P1P＝λPP2，∴OP-OP1＝λ(OP2-OP)，∴(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，∴OP＝11+λOP1＋λ1+λOP2＝11+λa＋λ1+λb．]11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD等于(　　)A．a－12b B．12a－bC．a＋12b D．12a＋bD　[连接CD，OD(图略)，∵点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，∴AC＝BD，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO，∴四边形ACDO为平行四边形，AD＝AO+AC．∵AO＝12AB＝12a，AC＝b，∴AD＝12a＋b．]12．(多选)(2022·河北保定一中月考)在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，CM与BN交于P点，若AP＝37AB＋17AC，则(　　)A．AM＝MB B．AM＝2MBC．AN＝3NC D．AN＝13NCAD　[设AM＝mAB，AN＝nAC，由AP＝37AB＋17AC，可得AP＝37mAM＋17AC，AP＝37AB＋17nAN．因为C，P，M共线，所以37m＋17＝1，解得m＝12.因为N，P，B共线，所以37＋17n＝1，解得n＝14．故AM＝12AB，AN＝14AC，即AM＝MB，AN＝13NC．故选AD．]13．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP＝xOA＋yOB，则x的取值范围是________；当x＝－12时，y的取值范围是________．(－∞，0)　12，32　[由题意得OP＝aOM＋bOB(a，b∈(0，＋∞)且0