人教版六年级下册5 数学广角 （鸽巢问题）同步练习题

这是一份人教版六年级下册5 数学广角 （鸽巢问题）同步练习题，共13页。试卷主要包含了填空题，判断题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


有时题目中的数据较大，而枚举法受数据影响较大，这种情况下我们只采用更一般的方法——假设法。
把多于kn个物体任意放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
鸽巢问题的一般形式：把m个物体放入n个空抽屉里（m>n），如果m÷n=k……b，那么总有一个抽屉里放入（k+1）个物体。
：基础过关练
一、填空题
1．有2016名学生参加了某次数学竞赛，试题一共12道填空题，每做对一题得10分，不做或做错均得0分。这次考试至少有( )名学生的分数是相同的。
2．一副扑克牌包括大、小王共有54张，为了保证抽出的牌有两张同花色，至少要抽取( )张牌。
3．盒子里有同样大小的红球和黄球各5个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸出( )个球。
4．桌上放有同样的30支铅笔和30块橡皮。来了一群学生，每人从这60个文具中拿一个或两个，至少有5人拿到的文具完全相同，这群学生至少有( )人。
5．把至少( )个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。
6．在某班学生中，有10人都订阅了《小朋友》《少年报》《儿童时代》三种报刊中的一种或者几种。那么，这10个人中至少有( )个人所定的报刊种类完全相同。
7．把8本书放进( )个抽屉里，必定有一个抽屉至少放了2本书；把7本书放进( )个抽屉里，必定有一个抽屉至少放了3本书。
8．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少要取( )个球，可以保证取到两个颜色相同的球；至少要取( )个球，可以保证取到两种颜色的球。
二、判断题
9．盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出4个球才能保证有两种颜色个数相同的球。( )
10．一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。( )
11．六年级一班有学生50人，男生∶女生＝1∶1，王老师阅了25份试卷。保证男生、女生试卷都有。( )
12．13名晚报小记者中，至少有2名小记者是同一月出生的。( )
13．把10个衣架挂在3个挂钩上，不管怎么挂，总有一个挂钩上至少挂了4个衣架。( )
三、选择题
14．密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（ ）粒。
A．6B．9C．12D．18
15．暗箱中混放着白、红、黄、蓝四种颜色的球各8个（除颜色外其余都相同），至少要摸出（ ）个球，才能保证从中摸出5个颜色相同的球。
A．5B．13C．17D．26
16．六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有（ ）个人的分数是相同的。
A．9B．10C．2
17．把红、黄、绿三种颜色的鞋带各一双混在一起，如果闭上眼睛拿，最少拿出几根才能保证一定有一双同色的鞋带？（ ）
A．2根B．3根C．4根D．5根
18．盒子里有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，从盒子里任意摸出一张卡片，至少要摸（ ）次，才能保证摸到两张颜色相同的卡片。
A．10B．8C．5D．2
19．某班至少有学生（ ）人，总有不少于4人出生在同一个月。
A．49B．37C．48D．无法确定
20．六（1）班有12个学生都订阅了《儿童文学》、《小学科技》、《小小艺术家》三种报刊中的一种或几种，那么这12人中至少有（ ）人所订报刊种类完全相同。
A．2B．6C．7D．12
21．一个口袋里装有红、黄、蓝3种不同颜色的小球各10个，要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸（ ）个。
A．10B．11C．4D．以上都不对
：培优提升练
四、解答题
22．班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？
23．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？
24．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
25．文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？
26．学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？
27．时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同。如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值。
28．图书角有A、B、C、D四类书，六（1）班有42名学生，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，至少有几名学生所借的书的类型完全相同？
29．把165本书分给六（3）班的学生，如果总有人至少分到5本书，那么六（3）班最多有多少人？
1．156
【分析】抽屉原理的问题，试题得分有几种情况，就是有几个抽屉。将2016名学生尽量平均分在这些抽屉里面，每个抽屉分了155名学生，还剩1名学生，随意放在哪个抽屉里面都是156名。
【详解】试题得分有120、110、100、…、10、0这13种情况。
2016÷13＝155（名）……1（名）
155＋1＝156（名）
这次考试至少有156名学生的分数是相同的。
2．7
【分析】一副扑克牌包括大、小王共有54张，有四种花色，每种花色有13张，运气最差的情况为前4次抽取的是四种不同花色的牌各一张，再抽2张大、小王，这时再从剩下的牌中任意抽取一张，一定有2张花色相同的牌，据此解答。
【详解】4＋2＋1＝7（张）
至少要抽取7张牌。
3．5
【分析】红球和黄球各摸出2个后，再摸出1个，不管这个球是什么颜色的，这种颜色的球都会有3个。
【详解】2×2＋1＝5（个）
要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸出5个球。
【点睛】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
4．21
【分析】每人拿走1个或者2个，则只有1支铅笔，1块橡皮，2支铅笔，2块橡皮，1支铅笔和1块橡皮5种不同的情况；根据鸽巢原理，假设每种情况都有4个人，只要再多1个人则保证至少有5人拿到的文具完全相同。
【详解】5×4＋1
＝20＋1
＝21（人）
这群学生至少有21人。
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定有几种情况。
5．7
【分析】用果盘的个数加上1，即可求出把至少几个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。
【详解】6＋1＝7（个）
【点睛】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
6．2
【分析】先求出每人订阅一种、两种、三种报刊一共有几种订阅方法，把学生的总人数看作被分放物体的数量，订阅方法看作抽屉的数量，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量⋯⋯剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】每人订阅一种：《小朋友》或《少年报》或《儿童时代》；
每人订阅两种：《小朋友》和《少年报》、《小朋友》和《儿童时代》、《少年报》和《儿童时代》；
每人订阅三种：《小朋友》、《少年报》和《儿童时代》。
3＋3＋1＝7（种）
10÷7＝1⋯⋯3
1＋1＝2（人）
所以，这10个人中至少有2个人所定的报刊种类完全相同。
【点睛】本题主要考查抽屉问题，准确求出抽屉数是解答题目的关键。
7． 7 3
【分析】从最不利的情况分析，只有一个抽屉里放了2本书，其它每个抽屉里都放了1本书，抽屉数量＝（被分放物体的数量－2）÷其它每个抽屉里放的物体数量＋1；
从最不利的情况分析，只有一个抽屉里放了3本书，其它每个抽屉里都放了2本书，抽屉数量＝（被分放物体的数量－3）÷其它每个抽屉里放的物体数量＋1，据此解答。
【详解】（8－2）÷1＋1
＝6÷1＋1
＝6＋1
＝7（个）
（7－3）÷2＋1
＝4÷2＋1
＝2＋1
＝3（个）
所以，把8本书放进7个抽屉里，必定有一个抽屉至少放了2本书；把7本书放进3个抽屉里，必定有一个抽屉至少放了3本书。
【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，从最不利的情况分析问题是解答题目的关键。
8． 5 11
【分析】（1）由题意可知，袋子中的球共有4种颜色，要保证取到两个颜色相同的球，最差的情况是，取了4个球，每种颜色各一个，此时只要再任取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球，即4＋1＝5个。
（2）要保证取到两个球颜色不同，最差情况为把同一种颜色的10个球取完，只要再多取一个可，即取10＋1＝11个。
【详解】（1）4＋1＝5（个）
答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
（2）10＋1＝11（个）
答：至少要取11个球才保证两个球颜色不同。
【点睛】根据最情况进行分析是完成本题的关键。
9．×
【分析】由于盒子里共有红、蓝、黄色小球各2个，如果一次取4个，最差情况为把其中1种颜色的球取完，又取了另外两种颜色的球各一个，此时没有两种颜色个数相同的球，所以应再取1个就能保证有两种颜色个数相同的球。据此解答。
【详解】4＋1＝5
则盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出5个球才能保证有两种颜色个数相同的球。原题干说法错误。
故答案为：×
10．√
【分析】假设先从袋子里拿出的5个球都是黄球，那么袋子里只剩下红球，此时任意从袋子里取出一个球，一定是红球，至少拿出6个球才能保证一定有红球，如果每次往外拿3个球，至少要拿2次，据此解答。
【详解】5＋1＝6（个）
6÷3＝2（次）
所以，一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查抽屉问题，从最差情况分析问题是解答题目的关键。
11．×
【分析】由题意可知，男生∶女生＝1∶1，则男生和女生的人数分别占全班人数的，所以男生和女生都有50×＝25人，则至少需要阅25＋1＝26份试卷，才能保证男生、女生试卷都有。
【详解】50×＝25（人）
25＋1＝26（份）
则至少需要阅26份试卷，才能保证男生、女生试卷都有。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查鸽巢问题，求出男、女生的人数是解题的关键。
12．√
【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，13名晚报小记者看做13个元素，考虑最差情况：把13名晚报小记者平均分配在12个抽屉中：13÷12＝1（名）⋯⋯1（名），那么每个抽屉都有1人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现2个人在同一个抽屉里。
【详解】13÷12＝1（名）……1（名）
1＋1＝2（名）
即至少有2名小记者是同一月出生的。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
13．√
【分析】把10个衣架挂在3个挂钩上，10÷3＝3（个）⋯⋯1（个），即平均每个挂钩上挂3个衣架，还剩下1个衣架，根据抽屉原理可知，总有一个挂钩上至少挂3＋1＝4个。据此解答。
【详解】10÷3＝3（个）⋯⋯1（个）
3＋1＝4（个）
故答案为：√
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。
14．B
【分析】先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子；把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢（同种颜色就是同一个鸽巢），把要摸出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，（至少数－1）×鸽巢数＋1＝物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要摸出的珠子的粒数。
【详解】颜色数（鸽巢数）：60÷15＝4（种）
珠子的最少粒数：（3－1）×4＋1
＝2×4＋1
＝8＋1
＝9（粒）
所以至少要取出9粒。
故答案为：B
【点睛】此题考查了应用“鸽巢原理”解决实际问题。把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（“鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。
15．C
【分析】根据题意，暗箱中混放着白、红、黄、蓝四种颜色的球各8个，运气最差的情况为先摸出每种颜色的球各4个，此时再任意摸出一个球，一定会出现有5个颜色相同的球。
【详解】4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
至少要摸出17个球，才能保证从中摸出5个颜色相同的球。
故答案为：C
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。
16．C
【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：把m个物体放进n个抽屉里（m＞n＞1），m÷n＝a……b，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由题意可知，一共有100－60＋1＝41（个）分数，即抽屉数是41个；六（一）班有50人，即物体数是50人；用50÷41求出商几余几，再用商数＋1求出至少数。
【详解】100－60＋1
＝40＋1
＝41（个）
50÷41＝1（人）……9（人）
1＋1＝2（人）
所以至少一定有2个人的分数是相同的。
故答案为：C
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
17．C
【分析】根据抽屉原理，如果取出的头3根分别是3种不同的颜色，那么第4根取出后，能得到一双同色的鞋带。据此解题。
【详解】3＋1＝4（根）
所以，如果闭上眼睛拿，最少拿出4根才能保证一定有一双同色的鞋带。
故答案为：C
【点睛】本题考查了抽屉原理，关键是要从最差情况去考虑。
18．C
【分析】由于盒子里共有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，如果一次取4个，最差情况为红、黄、蓝、绿四种颜色各一张，所以只要再多取一张卡片，就能保证取到两张颜色相同的卡片。据此解答。
【详解】4＋1＝5（次）
即至少要摸5次，才能摸到两张颜色相同的卡片。
故答案为：C
【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。
19．B
【分析】一年中共有12个月，将这12个月当作12个抽屉，根据抽屉原理可知，每个抽屉里放3个元素，共需要3×12＝36个元素，加上1个元素即可。
【详解】3×12＋1
＝36＋1
＝37（人）
则某班至少有学生37人，总有不少于4人出生在同一个月。
故答案为：B
【点睛】本题考查了抽屉原理的灵活利用，要从平均分的情况入手解答。
20．A
【分析】先求出每人订阅一种、两种、三种报刊一共有几种订阅方法，把学生的总人数看作被分放物体的数量，订阅方法看作抽屉的数量，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】每人订阅一种：《儿童文学》或《小学科技》或《小小艺术家》；
每人订阅两种：《儿童文学》和《小学科技》、《小学科技》和《小小艺术家》、《儿童文学》和《小小艺术家》；
每人订阅三种：《儿童文学》和《小学科技》和《小小艺术家》。
3＋3＋1＝7（种）
12÷7＝1……5
1＋1＝2（人）
所以，这12人中至少有2人所订报刊种类完全相同。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查抽屉问题，准确求出抽屉数是解答题目的关键。
21．C
【分析】因总共有红、黄、蓝三种颜色，如果运气最糟糕，就是摸出的3个是不同颜色的，这时，只要再摸出一个，不论是什么颜色的，就一定有两个球是同色的。据此解答。
【详解】3＋1＝4（个）
即要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸4个。
故答案为：C
【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键。
22．2个
【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期
日期＋月份的总数一共有（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。
【详解】答案的数量：（个）
日期＋月份的总数一共有：（种）
因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。
若无人同生日，月份至少为，而
11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。
答：该班至少有2个同学生日相同。
23．7名
【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。
【详解】38÷6＝6（名）……2（名）
6＋1＝7（名）
答：至少有7名学生的成绩相同。
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
24．5人
【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。
【详解】52÷11＝4（人）……8（人）
4＋1＝5（人）
答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。
【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。
25．4位
【分析】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的4种；参加2个课外学习小组的情况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、英语、⑥数学、美术的6种；参加3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的4种，参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15，求出商，用商＋1就是至少数。
【详解】情况数一共：（种）
（位）
答：至少有4位同学参加的学习小组相同。
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。
26．14个
【分析】学生的报班情况可能有：画画和书法、画画和写作、写作和书法，共3种，看成3个抽屉，把40个学生看成40个苹果，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体；（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
【详解】40÷3＝13……1
13＋1＝14（个）
答：这个班至少有14个学生报的兴趣班完全—样。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
27．9
【分析】每个120°的扇形都覆盖了4个数，可以列举出所有的覆盖4个数的组合，然后从这些组合中找出可以覆盖12个数的情况。
【详解】每个扇形覆盖4个数的情况可能是：
（1，2，3，4），（5，6，7，8），（9，10，11，12），
（2，3，4，5），（6，7，8，9），（10，11，12，1），
（3，4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，1，2），
（4，5，6，7），（8，9，10，11），（12，1，2，3），
4组，总共12种组合；
如果可以从n个扇形中找出处在同一组的三个组合，那么就可以覆盖钟面的全部12个数；
（个）
（个）
答：n的最小值是9。
【点睛】本题考查的是最不利原则，不符合要求的最大数量，再加上1，得到符合要求的最小数量。
28．5名
【分析】因为每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，所以借书的情况有10种∶A、B、C、D、、、、、、。把这10种情况看作10个抽屉，（名）……2（名），把42名学生看作42个苹果，根据鸽巢原理，每个抽屉里放4个苹果，还剩2个，这2个无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有个苹果，即至少有5名学生所借的书的类型完全相同。
【详解】（种）
（名）……2（名）
（名）
答：至少有5名学生所借的书的类型完全相同。
【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，是解题关键。
29．41人
【分析】本题相当于是求抽屉数，如果没有余数，那么5就是商，用被除数165除以5，得到的就是抽屉数；如果有余数，那么余数至少是1，而此时商是4，164除以4得到抽屉数，然后进行比较。
【详解】（人）
（人）
显然最多有41人；
答：六（3）班最多有41人。
【点睛】抽屉原理其实就是平均原则和最不利原则的体现，要使得数量最多的一个不那么突出，那么就尽可能平均分。