高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质学案，文件包含321《单调性与最大小值一》导学案教师版docx、321《单调性与最大小值一》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共8页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性（重点）
2.理解单调性的作用和实际意义
3.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最小值,理解它们的作用和意义（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习单调性与最大（小）值
三．课堂导学
德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了有趣的数据.数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图:
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?
(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学的观点进行解释?
知识点一 单调性的定义
提醒 (1)函数的单调递增(单调递减)是针对定义域D内的某个区间I而言的,显然I⊆D;(2)定义中x1,x2有三个特征:①x1,x2属于同一个区间;②任意性,x1与x2不能用I上的特殊值代替;③有序性,通常规定x1＜x2.
在单调性的定义中,能否把“∀x1,x2∈I”改为“∃x1,x2∈I”?
提示:不能,如图所示,虽然f(-1)＜f(2),但原函数在[-1,2]上不单调.
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上 单调递增 或 单调递减 ,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的 单调区间 .
区间I一定是函数的定义域吗?
提示:不一定,可能是定义域的一部分.
1.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是( )
A.y＝｜x｜ B.y＝3-x C.y＝1x D.y＝-x2＋4
解析:A 当x∈(0,1)时,y＝｜x｜＝x,所以y＝｜x｜在(0,1)上单调递增;y＝3-x,y＝1x在(0,1)上均单调递减;y＝-x2＋4的图象是以直线x＝0为对称轴开口向下的抛物线,所以y＝-x2＋4在(0,1)上单调递减.
2.若函数f(x)＝(2a-1)x＋b在R上是减函数,则有( )
A.a≥12 B.a≤12 C.a＞12 D.a＜12
解析:D 因为函数f(x)＝(2a-1)x＋b在R上是减函数,所以2a-1＜0,即a＜12.
3.函数f(x)＝-x2＋2x＋3的单调递减区间为 .
解析:易知二次函数f(x)＝-x2＋2x＋3的图象开口向下,其对称轴为直线x＝1,所以其单调递减区间是[1,＋∞).
答案:[1,＋∞)
四．典例分析、举一反三
题型一 函数单调性的判定与证明
【例1】试用函数单调性的定义证明f(x)＝2xx-1在区间(1,＋∞)上单调递减.
证明 f(x)＝2＋2x-1,
∀x1,x2∈(1,＋∞)且x1＞x2,
则f(x1)-f(x2)＝2x1-1-2x2-1＝2(x2-x1)(x1-1)(x2-1),
因为x1＞x2＞1,
所以x2-x1＜0,x1-1＞0,x2-1＞0,所以f(x1)＜f(x2),
所以f(x)在区间(1,＋∞)上单调递减.
练1-1. 证明函数f(x)＝1x2-4在区间(2,＋∞)上单调递减.
证明:∀x1,x2∈(2,＋∞),且x1＜x2,
f(x1)-f(x2)＝1x12-4-1x22-4＝x22-x12(x12-4)(x22-4)＝(x2-x1)(x2＋x1)(x12-4)(x22-4).
因为2＜x1＜x2,所以x2-x1＞0,x12＞4,x22＞4,
所以f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).
所以函数f(x)＝1x2-4在(2,＋∞)上单调递减.
题型二 求函数的单调区间
【例2】 画出函数f(x)＝-x2＋2｜x｜的图象,根据图象写出函数f(x)的单调区间.
解 如图所示,由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(0,1),
函数的单调递减区间是(-1,0),(1,＋∞).
练2-1. 画出函数y＝｜x｜(x-2)的图象,并指出函数的单调区间.
解:y＝｜x｜(x-2)＝x2-2x＝(x-1)2-1,x≥0,-x2+2x＝-(x-1)2+1,x<0,函数的图象如图实线部分所示.
由函数的图象知,函数的单调递增区间为(-∞,0]和[1,＋∞),单调递减区间为(0,1).
题型三 函数单调性的应用
角度一:已知函数的单调性求参数
【例3】 若函数f(x)＝(3a-1)x+4a,x<1,-ax,x≥1是定义在R上的减函数,则a的取值范围为( )
A.［18,13） B.（0,13） C.［18,＋∞） D.（-∞,18）∪［13,＋∞）
解析 要使f(x)在R上是减函数,需满足:3a-1<0,-a<0,(3a-1)×1+4a≥-a·1.解得18≤a＜13.
答案 A
角度二:利用单调性解不等式
【例4】 已知f(x)在区间[-2,2]上单调递增,且f(x-2)＜f(1-x),则x的取值范围为 .
解析 由题意,得-2≤x-2≤2,-2≤1-x≤2,解得0≤x≤3①,因为f(x)在[-2,2]上单调递增,且f(x-2)＜f(1-x).所以x-2＜1-x,解得x＜32②,由①②得0≤x＜32.所以满足题意的x的取值范围为［0,32）.
答案 ［0,32）
练3-1（1）已知函数f(x)＝x2,x>1,（4-a2）x-1,x≤1.若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为 .
解析:因为f(x)是R上的增函数,所以4-a2>0,4-a2-1≤1,解得4≤a＜8.
答案:[4,8)
（2）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,＋∞)上单调递增,且f(m＋2)＜f(2),则实数m的取值范围为 (-2,0) .
解析:∵f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,＋∞)上单调递增,∴-a2＝1,∴a＝-2.如图.∵f(m＋2)＜f(2),又∵f(0)＝f(2),则0＜m＋2＜2,∴-2＜m＜0,则实数m的取值范围为(-2,0).
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.(多选)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y＝f(x)的图象,则下列关于函数f(x)的说法正确( )
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
解析:ABD 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不能用“∪”连接.故选A、B、D.
2.函数y＝｜x｜-1的单调递减区间为 (-∞,0] .
解析:当x＞0时,y＝｜x｜-1＝x-1,此时函数单调递增,当x≤0时,y＝｜x｜-1＝-x-1,此时函数单调递减,即函数的单调递减区间为(-∞,0].
3.若函数f(x)＝1x+1在(a,＋∞)上单调递减,则a的取值范围是 [-1,＋∞) .
解析:函数f(x)＝1x+1的单调递减区间为(-1,＋∞),(-∞,-1),又f(x)在(a,＋∞)上单调递减,所以a≥-1.
4.已知函数y＝f(x)是(-∞,＋∞)上的增函数,且f(2x-3)＞f(5x-6),则实数x的取值范围为 .若该函数f(x)是定义在(0,＋∞)上的减函数,则x的取值范围为 .
解析:若f(x)在(-∞,＋∞)上是增函数,且f(2x-3)＞f(5x-6),则2x-3＞5x-6,即x＜1.∴实数x的取值范围为(-∞,1).若函数f(x)是定义在(0,＋∞)上的减函数,则2x-3>0,5x-6>0,2x-3<5x-6,解得x＞32,∴x的取值范围为（32,＋∞）.
答案:(-∞,1) （32,＋∞）
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字条件
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1＜x2时
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
结论
f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是 增函数
f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是 减函数
图示