数学人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质学案

课题名称：函数单调性与最大（小）值                        

课 题

单调性与最大（小）值

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学习目标

1.知识与技能：理解函数单调性的定义，会判断和证明简单函数的单调性；

2.过程与方法：增减函数的定义，利用增减函数的定义判断函数的最值；

3.情感态度和价值观：培养从概念出发，进一步研究其性质的意识和能力，体会数形结合、分类讨论的数学思想，激发学生对数学学科的求知欲和探索欲.

知识重、难点

重点：形成函数单调性的定义；

难点：利用定义判定函数的单调性并求其最值.

教学准备与手段

板书结合多媒体教学

教学过程

二次备课

一、情景导入，引入课题

函数是描述运动变化规律的模型，我们知道运动变化的规律是性质，变化中的不变性也是性质.因此，运动变化中的规律性或不变性通常反映为函数的性质.

材料：2021 年东京奥运会，我国跳水“梦之队”再创佳绩，取得了7金5银的好成绩。其中最受人瞩目的当属小将全红禅，五个动作，三个满分，创造了奥运会跳水历史最高分。

图1 全红禅夺冠

问题1：学生思考当全红禅从起跳到最高点，以及从最高点到入水，这两段时间的运动状态有什么区别？她的重心相对于水面的高度有什么变化，她的速度又有怎样的变化？

我们可将跳水运动抽象成我们的函数图象，如视频所示。

图2 全红婵跳水轨迹

预设答案：全红禅从起跳到最高点，高度先随时间的增加而增加，速度向上；当全红禅从最高点下落时，高度随时间的增加而减小，速度向下。

问题2：如图所示是函数，（），的图象.观察并描述这三个图象的共同特征.

提示　函数的图象有最高点A，函数，的图象有最高点B，函数的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
问题3：怎样理解函数图象最高点的？
提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.

二、探究新知，形成概念

自主探究

学生活动：

1．独立完成下面的问题

2．教师引导校对答案

自学课本76-77页，解决如下问题：

         函数单调性

例1 画出，的图像，能简要的说明他们图像的变化趋势吗？

在上任意改变的值，都有时，都有，

在上任意改变的值，都有时，都有，即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫做增函数.

定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递增函数.

在上上任意改变的值，都有时，都有.定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区上的任意两自变量的值，当时，都有，函数在区间上是单调递减函数.

如果函数在定义域内某个区间上为增函数或减函数，那么就说在这个区间具有严格的单调性，而该区间叫做单调区间.

         函数的最值定义

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)    M；
(2)∃x0∈I，使得                 .那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)    M；
(2)∃x0∈I，使得                 .
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值.

合作探究

学生活动：

1. 小组间相互交流，讨论结果.
2. 各组把合作交流的结果，以书面形式展示到黑板上.

已知函数，求的最大值、最小值.

解：作出函数f(x)的图象，如图.由图象可知，当x＝±1时，取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，故的最大值为1，最小值为0.

三、巩固提升

1.用函数单调性定义求证：在是增函数.

2.画出反比例函数的图象.

(1)这个函数的定义域是什么？

(2)它在定义域上的单调性是怎样的？

(3)能不能说在定义域上是单调减函数?

四、课堂小结

这节课的收获，请同学们回顾，做到温故而知新.学习了函数单调性，并根据单调性求得定义域内的最值.

五、课堂检测

1.函数的单调增区间是___________.

2.已知函数.

(1)求的定义域.

(2)判断函数在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.

3.已知函数，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为

4.已知，， ，则的最值情况是                                

六、布置作业

必做题：练习册233页习题；

选做题：函数奇偶性的预习.

板书设计

  3.2.1函数单调性和最大（小）值

1、函数最值                     习题（1）（2）

2、函数单调性                    

单调递增定义                      （3）（4）

单调递减定义

单调区间

教学反思

1.根据学生课堂反应调整教学进度；

2.习题写详细解题过程步骤，方便学生理解和记笔记；

3.以学生为主体，教师引导，给予学生时间进行自主探究，合作探究，培养学生自学能力、数形结合以及实践能力.