高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式优质导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式优质导学案，文件包含222《基本不等式的应用》导学案教师版docx、222《基本不等式的应用》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

1.知道基本不等式ab≤a＋b2(a＞0,b＞0)的几何背景,能结合具体实例解释基本不等式成立的条件（重点）
2.利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式（难点）
3.会用基本不等式求解实际应用题
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习基本不等式的应用
三．典例分析、举一反三
题型一 利用基本不等式证明不等式
【例1】已知a＞0,b＞0,c＞0,且a＋b＋c＝1.求证:1a-11b-11c-1≥8.
证明 因为a＞0,b＞0,c＞0,a＋b＋c＝1,
所以1a-1＝1-aa＝b＋ca≥2bca,
同理1b-1≥2acb,1c-1≥2bac.
上述三个不等式两边均为正值,分别相乘,
得1a-11b-11c-1≥2bca·2acb·2abc＝8.
当且仅当a＝b＝c＝13时,等号成立.
练1-1. 已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.
证明:因为a＞0,b＞0,c＞0,所以a＋b≥2ab,b＋c≥2bc,c＋a≥2ac.所以2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca),即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca,当且仅当a＝b＝c时等号成立.由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立.所以a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.
题型二 基本不等式的实际应用
【例2】某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/时.
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数;
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?
解 (1)由题意,每小时的燃料费用为0.5x2元,从甲地到乙地所用的时间为300x小时,
则y＝0.5x2·300x＋800·300x＝150·x＋1 600x(0＜x≤50).
(2)由(1)得y＝150x＋1 600x≥300x·1 600x＝12 000,
当且仅当x＝1 600x,即x＝40时取等号.
故当货轮的航行速度为40海里/时时,能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少.
练2-1. 如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
解析:设阴影部分的高为x dm,则宽为72x dm,四周空白部分的面积为y dm2.由题意,得y＝(x＋4)·72x+2-72＝8＋2x＋144x≥8＋2×2x×144x＝56.当且仅当x＝144x,即x＝12时等号成立.
答案:56
题型三 基本不等式在几何中的应用
【例3】如图所示,设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24,把它沿AC翻折,翻折后AB'交DC于点P,设AB＝x.
(1)用x表示DP,并求出x的取值范围;
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
解 (1)矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24,
∵AB＝x,∴AD＝242-x＝12-x,
∵AB＞BC＝AD,得x＞12-x,
∴6＜x＜12,
在△APC中,∠PAC＝∠PCA,∴AP＝PC,从而得DP＝PB',
∴AP＝AB'-PB'＝AB-DP＝x-DP,在Rt△ADP中,由勾股定理得(12-x)2＋DP2＝(x-DP)2,
∴DP＝12-72x(6＜x＜12).
(2)在Rt△ADP中,S△ADP＝12AD·DP＝12(12-x)（12-72x）＝108-（6x＋432x）(6＜x＜12).
∵6＜x＜12,∴6x＋432x≥26x·432x＝722,当且仅当6x＝432x,即x＝62时,等号成立.
∴S△ADP＝108-（6x＋432x）≤108-722,∴当x＝62时,△ADP的面积取得最大值108-722.
练3-1. 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB＝4米,AD＝3米,当BM＝ 米时,矩形花坛AMPN的面积最小.
解析:设BM＝x(x＞0),则由DC∥AM得NDND+3＝44+x,解得ND＝12x,∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)（3＋12x）＝24＋3x＋48x≥24＋23x·48x＝48,当且仅当3x＝48x,即x＝4时等号成立.∴当BM＝4米时,矩形花坛AMPN的面积最小.
答案:4
四、当堂检测
1.∃x＞0,使得1x＋x-a≤0,则实数a的取值范围是( )
A.a＞2 B.a≥2
C.a＜2 D.a≤2
解析:B ∃x＞0,使得1x＋x-a≤0,等价于x＞0时a≥（x＋1x）min,∵x＋1x≥2x·1x＝2,当且仅当x＝1时等号成立,∴a≥2.
2.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为( )
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
解析:C 设矩形模型的长和宽分别为x,y,则x＞0,y＞0,由题意可得2(x＋y)＝8,所以x＋y＝4,所以矩形模型的面积S＝xy≤(x＋y)24＝424＝4,当且仅当x＝y＝2时,等号成立,所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时,面积最大,为4 cm2.
3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形花园(阴影部分),矩形花园面积的最大值为 .

解析:由题意设矩形花园的长为x(x＞0),宽为y(y＞0),
矩形花园的面积为xy,根据题意作图,如图,因为花园是矩形,则△ADE∽△ABC,所以AFAG＝DEBC,又因为AG＝BC＝40,所以AF＝DE＝x,FG＝y,所以x＋y＝40,由基本不等式x＋y≥2xy,得xy≤400,当且仅当x＝y＝20时等号成立,此时矩形花园面积最大,最大值为400.
答案:400
4.已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明:因为a,b,c,d都是正数,所以ab＋cd≥2abcd,ac＋bd≥2abcd,于是(ab＋cd)(ac＋bd)≥2abcd·2abcd＝4abcd.当且仅当ab＝cd,且ac＝bd时等号成立.故(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
五．课后作业
六、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字