数学必修 第一册2.2 基本不等式精品学案设计

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式精品学案设计，文件包含221《基本不等式》导学案教师版docx、221《基本不等式》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共8页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.知道基本不等式ab≤a＋b2(a＞0,b＞0)的几何背景,能结合具体实例解释基本不等式成立的条件（重点）
2.利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式（难点）
3.会用基本不等式求解实际应用题
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习基本不等式
三．课堂导学
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计,颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标,你能找到一些相等或不等关系吗?
知识点一 基本不等式
如果a＞0,b＞0,有ab≤a＋b2,当且仅当 a＝b 时,等号成立.通常称不等式ab≤a＋b2为基本不等式.其中,a＋b2叫做正数a,b的 算术平均数 ,ab叫做正数a,b的 几何平均数 .
基本不等式表明:两个正数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数.
“当且仅当a＝b时,等号成立”的含义是什么?
提示:一方面是当a＝b时取等号,即a＝b⇒ab＝a＋b2;另一方面是仅当a＝b时取等号,即ab＝a＋b2⇒a＝b.
提醒 基本不等式的常见变形:①a＋b≥2ab;②ab≤a＋b22≤a2＋b22(其中a＞0,b＞0,当且仅当a＝b时等号成立).
知识点二 基本不等式与最值
已知x,y都是正数,则
(1)如果积xy等于定值P,那么当 x＝y 时,和x＋y有最小值 2P ;
(2)如果和x＋y等于定值S,那么当 x＝y 时,积xy有最大值 14S2 .
提醒 利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”:①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.
1.(多选)下列说法中正确的是( )
A.a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0
B.a2＋b2≥2ab成立的条件是a,b∈R
C.a＋b≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0
D.a＋b≥2ab成立的条件是ab＞0
解析:BC 根据不等式成立的条件可知只有B、C正确,故选B、C.
2.若x＞0,则y＝4x＋x的最小值为 4
解析:∵x＞0,4x＞0,∴y＝x＋4x≥2x·4x＝4,当且仅当x＝4x,即x＝2时,等号成立,故ymin＝4.
3.已知0＜x＜1,则x(1-x)的最大值为 ,此时x＝ .
解析:因为0＜x＜1,所以1-x＞0,所以x(1-x)≤x＋(1-x)22＝122＝14,当且仅当x＝1-x,即x＝12时“＝”成立,即当x＝12时,x(1-x)取得最大值14.
答案:14 12
四．典例分析、举一反三
题型一 对基本不等式的理解
【例1】给出下面三个推导过程:
∵a,b为正实数,∴ba＋ab≥2ba·ab＝2; ②∵a∈R,a≠0,∴4a＋a≥24a·a＝4;
③∵x,y∈R,xy＜0,∴xy＋yx＝-［（-xy）＋-yx］≤-2-xy-yx＝-2.
其中正确的推导为( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
解析 ①∵a,b为正实数,∴ba,ab为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确.②∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的.③由xy＜0,得xy,yx均为负数,但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后,-xy,-yx均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确.
答案 B
练1-1. 下列不等式中正确的是( )
A.当x＞0时,x2＋1x2≥2 B.当x≥2时,x＋1x的最小值为2
C.ab≥a＋b2 D.a2＋b2≥4ab
解析:A 对于选项A,符合基本不等式的三个条件“一正,二定,三相等”;对于选项B,忽视了验证等号成立的条件,即x＝1x,则x＝1,不满足x≥2;对于C,当a＞0,b＞0时,ab≤a＋b2,当且仅当a＝b时取等号,故C错误;对于D,由基本不等式得a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时取等号,故D错误.故选A.
题型二 直接应用基本不等式求最值
【例2】(1)若x＞0,求y＝4x＋9x的最小值; (2)设0＜x＜32,求函数y＝4x(3-2x)的最大值.
解 (1)∵x＞0,∴由基本不等式得y＝4x＋9x≥24x·9x＝236＝12,当且仅当4x＝9x,即x＝32时等号成立,∴y＝4x＋9x 的最小值为12.
(2)∵0＜x＜32,∴3-2x＞0,∴y＝4x(3-2x)＝2[2x(3-2x)]≤22x＋(3-2x)22＝92.
当且仅当2x＝3-2x,即x＝34时取“＝”.∴y的最大值为92.
(变条件、变设问)若x＜0,求y＝4x＋9x的最大值.
解:∵x＜0,∴-x＞0,
∴(-4x)＋9-x≥2(-4x)·9-x＝12,∴y＝4x＋9x＝-（-4x＋9-x）≤-12,
当且仅当-4x＝-9x,即x＝-32时等号成立,故原式的最大值为-12.
练2-1. 已知x＞0,y＞0,且x＋y＝18,则xy的最大值为( )
A.80 B.77 C.81 D.82
解析:C ∵x＞0,y＞0,x＋y＝18,∴x＋y≥2xy,∴xy≤x＋y22＝81,当且仅当x＝y＝9时等号成立,∴xy有最大值81.
练2-2..a＋2a的最小值是 22 .
解析:a＋2a＝｜a｜＋2｜a｜≥2｜a｜·2｜a｜＝22,当且仅当｜a｜＝2｜a｜,即a＝±2时,取等号.
题型三 变形应用基本不等式求最值
角度一:构造法求最值
【例3】 (1)当x＞0时,y＝x2+3x+42x的最小值为 72 ;
(2)当x＞3时,y＝2x＋42x-6的最小值为 10 .
解析 (1)当x＞0时,x2+3x+42x＝x2＋32＋2x≥2x2·2x＋32＝72,当且仅当x＝2时等号成立,
所以当x＞0时,y＝x2+3x+42x的最小值为72.
(2)因为x＞3,所以2x-6＞0,所以y＝2x＋42x-6＝(2x-6)＋42x-6＋6≥2(2x-6)·42x-6＋6＝2×2＋6＝10,当且仅当2x-6＝42x-6,即x＝4时取等号.所以y＝2x＋42x-6的最小值是10.
角度二:巧用“1”的代换求最值
【例4】 已知a＞0,b＞0,且1a＋16b＝1,求a＋b的最小值.
解 ∵a＞0,b＞0,1a＋16b＝1,
∴a＋b＝1a＋16b(a＋b)＝1＋16＋ba＋16ab≥17＋2ba·16ab＝17＋2×4＝25.
当且仅当ba＝16ab,即b2＝16a2时,等号成立.
由b2=16a2,1a＋16b=1,解得a=5,b=20. 故当a＝5,b＝20时,a＋b取得最小值25.
练3-1. 已知x＞2,则x＋4x-2的最小值为 6 .
解析:∵x＞2,∴x-2＞0,∴x＋4x-2＝(x-2)＋4x-2＋2≥2(x-2)·4x-2＋2＝6.当且仅当x-2＝4x-2,即x＝4时等号成立,∴x＋4x-2的最小值为6.
练4-1.已知a＞0,b＞0,且2a＋b＝1,求2a＋1b的最小值.
解:2a＋1b＝2a＋1b(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9,当且仅当2ba＝2ab,即a＝b＝13时,等号成立.所以2a＋1b的最小值为9.
五、课堂小结
（1）什么是基本不等式？如何推导得到基本不等式？
（2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上解释？
（3）基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解决最值问题？需要注意什么？
（4）本节课有哪些数学思想方法？
六、当堂检测
1.下列结论正确的是( )
A.当x＞0且x≠1时,x＋1x≥2 B.当x＞0时,x＋1x≥2
C.当x≠0时,x＋1x的最小值为2 D.当x＞0时,x＋1x2的最小值为2
解析:B 选项A不满足“取等号时的条件”,故不正确;选项C不满足“各项必须为正”,故不正确;选项D不满足“积为定值”,故不正确.
2.已知x＜0,则x＋1x-2有( )
A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-4 D.最小值-4
解析:C ∵x＜0,∴-x＞0,∴x＋1x-2＝-［(-x)＋1(-x)］-2≤-2-2＝-4.当且仅当-x＝-1x,即x＝-1时“＝”成立.∴x＋1x-2(x＜0)有最大值-4.
3.若0＜2x＜3,则(3-2x)x的最大值为( )
A.916 B.94 C.2 D.98
解析:D ∵0＜2x＜3,∴3-2x＞0,x＞0,∴(3-2x)x＝12(3-2x)·2x≤123-2x+2x22＝98,当且仅当3-2x＝2x,即x＝34时取等号,∴(3-2x)x的最大值为98.
4.若x＞1,求函数y＝x2x-1的最小值.
解:因为x＞1,所以x-1＞0,所以y＝x2x-1＝x2-1+1x-1＝x＋1＋1x-1＝x-1＋1x-1＋2≥2＋2＝4.当且仅当1x-1＝x-1,即x＝2时,等号成立,所以当x＝2时,y的最小值为4.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字