高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式一课一练

2.2 基本不等式

【题组一 公式直接运用】

1．（2020·全国高一课时练习）已知，求的最大值       .

【答案】

【解析】，则，由基本不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，当时，求的最大值为.

2．（2020·广西兴宁.南宁三中高一期末）已知，，，且，，则的最小值是（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】由知，，，，

当且仅当时取等号.故的最小值为4故选：B

4．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若，则的最小值为________.

【答案】

【解析】由题意，，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．

5．（2020·全国高一课时练习）（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

，

当且仅当时取等号；

所以的最小值为；

（2），

，

当且仅当时取等号，所以的最大值为.

5．（2020·全国高三课时练习（理））设，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

，

当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．

【题组二 条件型】

1．（2019·云南弥勒市一中高一期末）若，且，则的最小值为(　 　)

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】因为，所以.

因为，所以，.

所以，当且仅当，即时等号成立.

所以，即的最小值为.

2．（2020·上海高一开学考试）正实数 满足：，则的最小值为_____.

【答案】9

【解析】，当且仅当 时取等号．故答案为：9．

3．（2020·全国高一）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是　　

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，

则对任意的正实数x，y恒成立，

又，，解得或不合题意，舍去，

，即正实数m的最小值是4．故选：B．

4．（2020·全国高三课时练习（理））已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

5．（2020·甘肃城关.兰州一中高三二模（文））设m，n为正数，且，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】令，则，且，，

又，

而，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

【题组三 配凑型】

1．（2019·湖南高新技术产业园区 衡阳市一中高二开学考试）已知x≥，则f（x）＝有（   ）

A．最小值1 B．最大值

C．最小值 D．最大值1

【答案】A

【解析】，当且仅当即时等号成立

2．（2020·天津和平.高三三模（理））已知，，且，则最小值为__________．

【答案】

【解析】，

结合可知原式，

且

，

当且仅当时等号成立.

即最小值为.

3．（2020·上海高一开学考试）函数的值域为__________．

【答案】

【解析】设，

当时，，

当且仅当时等号成立；

同理当时，，

当且仅当时等号成立；

所以函数的值域为.

故答案为: .

4（2019·江苏东海.高二期中）函数的最小值为______.

【答案】5

【解析】.

，，

（当且仅当，即时取等号），

.

故答案为：.

【题组四 换元法】

1．（2020·荆州市北门中学高一期末）若实数满足，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由实数满足，，设，解得，

则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为，故选D.

2．（2020·浙江高三月考）已知、为正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

【解析】由可得出，

由于、为正实数，则，可得，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故答案为：.

3．（2019·浙江衢州.高二期中）若正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

【解析】由可得

当且仅当时，等号成立.

则的最小值为

故答案为：

【题组五 求参数】

1．（2019·山东济宁.高一月考）设恒成立，则实数的最大值为（   ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解析】由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为.

故选B.

2．（2020·全国高一）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A．9 B．12 C．16 D．20

【答案】A

【解析】因为，所以，，

（当且仅当时，取等号），要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故本题选A.

3（2020·黑龙江建华.齐齐哈尔市实验中学高一期中）若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（　）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】由基本不等式得，

当且仅当，由于，，即当时，等号成立，

所以，的最小值为，由题意可得，即，

解得，因此，实数的取值范围是，故选D.

4．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 （ ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【解析】设，，

在上恒成立，需，

，

当且仅当，即时等号成立，

.

故选：D.

5．（2020·全国高三课时练习（理））设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是（    ）

A．(0，8] B．(0，10]

C．(0，12] D．(0，16]

【答案】D

【解析】∵、为正实数，，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

∴，要使恒成立，

∵为正实数，

∴ .

故选：D.

【题组六 实际应用题】

1．（2020·全国高一课时练习）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.

【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.

（1）由已知得，由，可得，所以，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；

（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.

由，可得，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.

2．（2019·南昌.江西师大附中高一期中）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．

(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

【答案】（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大

【解析】（1）由题意有，得

故

∴

（2）由（1）知：

当且仅当即时，有最大值.

答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.

3．（2020·淄博市临淄中学高二期末（文））某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．

（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；

（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）池底设计为边长米的正方形时，总造价最低，其值为元.

【解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，

则有 (平方米)．池底长方形宽为米，则

S2＝8x＋8×＝8(x＋)．

（Ⅱ）设总造价为y，则

y＝120×1 600＋100×8≥192000＋64000＝256000．当且仅当x＝，即x＝40时取等号．

所以x＝40时，总造价最低为256000元．

答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．

4．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

【答案】矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.

【解析】设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的长为.

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，

因此，这个矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.

5．（2020·山东济宁.高一月考）经观测，某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间有函数关系：．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)

(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

【答案】（1）平均速度时，最大为； （2）平均速度应控制在到范围内.

【解析】（1），

，

当且仅当，即时，等号成立，

平均速度时，最大，最大为．

（2）由，，．

，平均速度应控制在到范围内．