必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案

这是一份必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案，文件包含512《弧度制》导学案教师版docx、512《弧度制》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共8页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.理解1弧度的角的定义,了解弧度制的概念,能进行角度与弧度之间的互化（重点）
2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数的一一对应关系（难点）
3.理解弧度制下弧长与扇形面积公式并能应用（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习弧度制
三．课堂导学
公元6世纪,印度人在制作正弦表时,曾用同一单位度量半径和圆周,孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年,在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中,提出把圆的半径作为弧长的度量单位,使一个圆周角等于2π弧度,1弧度等于周角的12π.这一思想将线段与弧的度量统一起来,大大简化了三角公式及计算.
问题 按照上述定义30°是多少弧度?
知识点一 度量角的两种制度
提醒 不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小,都是一个与半径大小无关的定值.
知识点二 角度制与弧度制的换算
1.弧度数的计算
2.弧度与角度的换算
一个角的度数是否对应一个弧度数?
提示:是.一个给定的角,其度数和弧度数都是唯一确定的.
知识点三 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0＜α＜2π)为其圆心角,则:
(1)弧长公式:l＝ αR ;
(2)扇形面积公式:S＝ 12lR ＝ 12αR2 .
提醒 在应用弧长公式、扇形面积公式时,要注意α的单位是“弧度”,而不是“度”,若已知角是以“度”为单位的,则应先化成“弧度”,再代入计算.
1.(多选)下列说法正确的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关
C.1°的角是周角的1360,1 rad的角是周角的12π
D.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,弧长所对的扇形的面积不变
答案:AC
2.(1)-45π rad化为角度是 ; (2)105°的弧度数是 .
解析:(1)-45π＝-45π×180π°＝-144°.(2)105°＝105×π180 rad＝7π12 rad.
答案:(1)-144° (2)7π12 rad
3.已知扇形的半径r＝30,圆心角α＝π6,则该扇形的弧长等于 ,面积等于 .
答案:5π 75π
四．典例分析、举一反三
题型一角度制与弧度制的互化
【例1】 将下列角度与弧度进行互化:
(1)5116π;(2)-7π12;(3)10°;(4)-855°.
解 (1)5116π＝511π6×（180π）°＝15 330°.
(2)-7π12＝-7π12×（180π）°＝-105°.
(3)10°＝10×π180＝π18.
(4)-855°＝-855×π180＝-19π4.
练1-1. （1）把下列角度化为弧度:
(1)-300°＝ ; (2)22°30'＝ .
解析:(1)-300°＝-300×π180＝-5π3.
(2)22°30'＝22.5°＝22.5×π180＝π8.
答案:(1)-5π3 (2)π8
（2）把下列弧度化为角度:
(1)23π6＝ ; (2)-2π9＝ .
解析:(1)23π6＝23π6×（180π）°＝690°.(2)-2π9＝-2π9×（180π）°＝-40°.
答案:(1)690° (2)-40°
解析:B 钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而212×360°＝60°,2×360°＝720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.
题型二用弧度制表示角的集合
【例2】 把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π,k∈Z)的形式,指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
(1)-46π3;(2)-1 485°.
解 (1)-46π3＝-8×2π＋2π3,它是第二象限角,与2π3终边相同的角的集合为αα=2kπ＋2π3,k∈Z.
(2)-1 485°＝-5×360°＋315°＝-5×2π＋7π4,它是第四象限角,与7π4终边相同的角的集合为{αα=2kπ＋7π4,k∈Z}.
练2-1. 用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为 .
解析:150°＝150×π180＝5π6,故与150°角终边相同的角的集合为αα＝5π6+2kπ,k∈Z.
答案:αα＝5π6+2kπ,k∈Z
题型三扇形的弧长、面积公式的应用
【例3】 (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.
解 (1)设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2 rad,依据弧长公式可得l＝2r,从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8,解得r＝2,则l＝4.
故扇形的面积S＝12rl＝12×2×4＝4(cm2).
(2)设圆心角弧度数为α(0＜α＜2π),弧长为l,半径为r,则有l+2r=10,12lr=4,解得r=1,l=8或r=4,l=2.
当r=1,l=8时,α＝lr＝8＞2π,不符合题意,舍去;
当r=4,l=2时,α＝lr＝12.
综上,圆心角的弧度数为12.
练3-1. 1.在直径为20 cm的圆中,4π3的圆心角所对弧的长为 cm.
解析:由弧长公式l＝｜α｜R可得,弧长为4π3×202＝40π3(cm).
答案:403π
2.已知扇形的面积为25,当扇形的圆心角(正角)为多大时,扇形的周长取得最小值?
解:设扇形的半径为r,弧长为l,周长为y,则y＝l＋2r.
由题意知12lr＝25,则l＝50r,
∴y＝50r＋2r≥250r·2r＝20,当且仅当50r＝2r,即r＝5时,y取得最小值,最小值为20,此时l＝10,圆心角α＝lr＝2.
即当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.1 920°转化为弧度数是( )
A.163 B.323 C.16π3 D.32π3
解析:D 1 920°＝1 920×π180＝32π3.
2.将2π3弧度化成角度为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:C 2π3 rad＝2π3×180π°＝120°.故选C.
3.已知扇形的圆心角为π4,弧长为π,则扇形的面积为 .
解析:由扇形的圆心角α＝π4,弧长l＝π,得扇形的半径r＝lα＝4,则扇形的面积S＝12lr＝12×π×4＝2π.
答案:2π
4.已知α＝π3.
(1)写出所有与α终边相同的角;(2)写出在(-4π,2π)内与α终边相同的角.
解:(1)所有与α终边相同的角可表示为θ｜θ＝2kπ＋π3,k∈Z.
(2)在(-4π,2π)内与α终边相同的角有-11π3,-5π3,π3.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字角度
制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的 1360 ,记作1°
弧度制
定义
用弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于 半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)