高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀导学案

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1.了解幂函数的概念（重点）
2.通过具体实例,结合y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x12的图象,理解它们的变化规律（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习幂函数
三．课堂导学
我们以前学过函数y＝x,y＝x2,y＝1x.
问题 (1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗?
(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算,把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗?

知识点一 幂函数的概念
一般地,函数 y＝xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数.
提醒 对幂函数的再理解:①xα的系数为1;②xα的底数是自变量x,指数α为常数;③项数只有一项.
知识点二 五个常见幂函数的图象与性质
1.五个常见幂函数的图象
2.五个常见幂函数的性质
提醒 对于幂函数y＝xα(α为常数)有以下结论:
(1)当α＞0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递增;(2)当α＜0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递减;(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x＝1的右侧,图象从上到下,相应的幂指数由大变小.
1.任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗?
提示:不一定.例如y＝2x-5,y＝x2＋2x分别为一次函数和二次函数,但它们都不是幂函数.
2.幂函数的图象为什么不过第四象限?
提示:因为当x＞0时,xα＞0,因此幂函数的图象不过第四象限.
1.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,2),则f(3)＝( )
A.13 B.3 C.3 D.9
解析:B 设幂函数y＝f(x)＝xα,其图象经过点(2,2),则2α＝2,解得α＝12.∴f(x)＝x12＝x,∴f(3)＝3.
2.已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数,则m＝ 0 .
解析:∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数,∴m＋1＝1,即m＝0.
3.函数y＝x-3在区间[-4,-2]上的最小值是 .
解析:易知函数y＝x-3＝1x3在[-4,-2]上单调递减,所以当x＝-2时,ymin＝(-2)-3＝1(-2)3＝-18.
答案:-18
四．典例分析、举一反三
题型一 幂函数的概念
【例1】(1)在函数y＝x-2,y＝2x2,y＝(x＋1)2,y＝3x中,幂函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)若f(x)＝(m2-4m-4)xm是幂函数,则m＝ .
解析 (1)根据幂函数定义可知,只有y＝x-2是幂函数,所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4＝1,即m2-4m-5＝0,解得m＝5或m＝-1.
答案 (1)B (2)5或-1
练1-1. (多选)下列函数中是幂函数的是( )
A.y＝1x B.y＝4x2 C.y＝2x＋1 D.y＝x-12
解析:AD 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数,A是α＝-1的情形,D是α＝-12的情形,所以A和D都是幂函数;B中x2的系数是4,不是幂函数;易知C不是幂函数.
题型二 幂函数的图象及应用
【例2】 如图是幂函数y＝xn的部分图象,已知n取12,2,-2,-12这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为( A )
A.2,12,-12,-2 B.-2,-12,12,2
C.-12,-2,2,12 D.2,12,-2,-12
解析 法一:曲线C1,C2过点(0,0),(1,1),且在第一象限内单调递增,所以n＞0,n为12,2,显然C1对应y＝x2,C2对应y＝x12.C3,C4过点(1,1),且在第一象限内单调递减,所以n＜0,n为-2,-12,显然C3对应y＝x-12,C4对应y＝x-2.
法二:取x＝2,分别代入y1＝x2,y2＝x12,y3＝x-12,y4＝x-2,可求得y1＝4,y2＝2,y3＝22,y4＝14,比较得y1＞y2＞y3＞y4,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为2,12,-12,-2.
练2-1. 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示,则( )
A.-1＜n＜0＜m＜1
B.n＜-1,0＜m＜1
C.-1＜n＜0,m＞1
D.n＜-1,m＞1
解析:B 由图象知,y＝xm在(0,＋∞)上单调递增,所以m＞0,由于y＝xm的图象增长的越来越慢,所以m＜1,y＝xn在(0,＋∞)上单调递减,所以n＜0,又当x＞1时,y＝xn的图象在y＝x-1的下方,所以n＜-1.
题型三 幂函数的性质及应用
角度一:比较幂值的大小
【例3】 比较下列各组数的大小:
(1)3-52和3.1-52;
(2)-8-78和-1978.
解 (1)∵函数y＝x-52在(0,＋∞)上单调递减,又3＜3.1,∴3-52＞3.1-52.
(2)-8-78＝-1878,函数y＝x78在(0,＋∞)上单调递增.
又18＞19,∴1878＞1978,即-8-78＜-1978.
角度二:解简单不等式
【例4】 若幂函数f(x)过点(2,8),则满足不等式f(a-3)＞f(1-a)的实数a的取值范围是 .
解析 设幂函数为f(x)＝xα,因为其图象过点(2,8),所以2α＝8,解得α＝3,所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数,所以由f(a-3)＞f(1-a),得a-3＞1-a,解得a＞2.所以满足不等式f(a-3)＞f(1-a)的实数a的取值范围是(2,＋∞).
答案 (2,＋∞)
练3-1. (多选)已知α∈{-1,1,2,3},则使函数y＝xα的值域为R,且为奇函数的α的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
解析:BD 当α＝-1时,y＝x-1＝1x为奇函数,但值域为{y｜y≠0},不满足条件;当α＝1时,y＝x为奇函数,值域为R,满足条件;当α＝2时,y＝x2为偶函数,值域为{y｜y≥0},不满足条件;当α＝3时,y＝x3为奇函数,值域为R,满足条件.故选B、D.
练4-1.已知幂函数y＝(m2＋m-5)xm2-2m-3,当x∈(0,＋∞)时,y随x的增大而减小,则实数m的值为 .
解析:∵y＝(m2＋m-5)xm2-2m-3是幂函数,∴m2＋m-5＝1,即(m-2)(m＋3)＝0,∴m＝2或m＝-3.当m＝2时,m2-2m-3＝-3,y＝x-3是幂函数,且满足当x∈(0,＋∞)时,y随x的增大而减小;当m＝-3时,m2-2m-3＝12,y＝x12是幂函数,但不满足当x∈(0,＋∞)时,y随x的增大而减小,故舍去.∴实数m的值为2.
答案:2
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.在函数y＝x-4,y＝3x2,y＝x2＋2x,y＝1中,幂函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:B 函数y＝x-4为幂函数;函数y＝3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等,所以y＝1不是幂函数.
2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的是( )
A.y＝x-2 B.y＝x-1
C.y＝x2 D.y＝x13
解析:A 所给选项都是幂函数,其中y＝x-2和y＝x2是偶函数,y＝x-1和y＝x13不是偶函数,故排除选项B、D,又y＝x2在区间(0,＋∞)上单调递增,不合题意,y＝x-2在区间(0,＋∞)上单调递减,符合题意.故选A.
3.幂函数f(x)的图象过点(2,m),且f(m)＝16,则实数m＝ .
解析:设f(x)＝xα,则2α＝m,mα＝(2α)α＝2α2＝16,所以α2＝4,所以α＝±2,所以m＝4或14.
答案:4或14
4.比较下列各组数的大小:
(1)2525,3525;(2)1223,1523.
解:(1)由幂函数y＝x25在(0,＋∞)上单调递增,得2525＜3525.
(2)由幂函数y＝x23在(0,＋∞)上单调递增,得1223＞1523.
轴的正半轴上,所以四个实根的和为0.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x-1
定义域
R
R
R
[0,＋∞)
(-∞,0)∪(0,＋∞)
值域
R
[0,＋∞)
R
[0,＋∞)
{y｜y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
单调性
增
x∈(0,＋∞)增;x∈(-∞,0)减
增
增
x∈(0,＋∞)减;
x∈(-∞,0)减
公共点
都经过点 (1,1)