人教B版 (2019)第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数当堂达标检测题

这是一份人教B版 (2019)第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数当堂达标检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．函数y＝eq \r(lg x)＋lg(5－3x)的定义域是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
C [由函数的解析式得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x≥0，,x＞0，,5－3x＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＞0，,x＜\f(5,3).))
所以1≤x＜eq \f(5,3)．]
2．若x满足不等式2eq \s\up10(x2＋1)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x－2)，则函数y＝2x的值域是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,8)))D．[2，＋∞)
B [由2eq \s\up10(x2＋1)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x－2)可得2eq \s\up10(x2＋1)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x－2)＝2－2(x－2)，
因为y＝2x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，
所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2))，故选B．]
3．三个数eeq \s\up4(－eq \r(2))，lg0.23，ln π的大小关系为( )
A．lg0.23＜eeq \s\up4(－eq \r(2))＜ln π
B．eeq \s\up4(－eq \r(2))＜ln π＜lg0.2 3
C．eeq \s\up4(－eq \r(2))＜lg0.23＜ln π
D．lg0.23＜ln π＜eeq \s\up4(－eq \r(2))
A [由y＝ex，y＝lg0.2x和y＝ln x可知0＜eeq \s\up4(－eq \r(2))＜1，lg0.23＜0，ln π＞1，故选A．]
4．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)，x≥4，,fx＋1，x＜4，))则f(lg23)的值为( )
A．eq \f(1,24)B．－eq \f(23,8)
C．eq \f(1,11)D．eq \f(1,19)
A [因为1＜lg23＜2，所以2＜lg23＋1＜3,3＜lg23＋2＜4,4＜lg23＋3＜5，所以f(lg23)＝f(lg23＋1)＝f(lg23＋2)＝f(lg23＋3)＝eq \f(1,2eq \s\up10(lg23＋3))＝eq \f(1,2eq \s\up10(lg23)·23)＝eq \f(1,24)．]
5．函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝lgeq \s\d10(eq \f(1,2))f(x)的图像大致是( )
A B C D
C [由函数y＝f(x)的图像知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以lgeq \s\d10(eq \f(1,2))f(x)≤0．
又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，
所以y＝lgeq \s\d10(eq \f(1,2))f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，结合各选项知，选C．]
6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－1x≤0，,lg2x2＋xx>0，))若f(a)＝1，则a的值为( )
A．－1B．1
C．－1或1D．－1或1或－2
C [∵f(a)＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)－1＝1，,a≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2a2＋a＝1，,a2＋a>0，,a>0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,a≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a－2＝0，,a>0.))
∴a＝－1或a＝1．]
7．当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2))D．(eq \r(2)，2)
B [当0＜x≤eq \f(1,2)时，1＜4x≤2，要使4x＜lgax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜lgax，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0x))对0＜x≤eq \f(1,2)时恒成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0\f(1,2)，))解得eq \f(\r(2),2)＜a＜1，故选B．]
8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－8ax＋3x<1，,lgaxx≥1))在x∈R内单调递减，则a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,8)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，1))
B [若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－8ax＋3x<1，,lgaxx≥1))在x∈R内单调递减，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≥1，,0解得eq \f(1,2)≤a≤eq \f(5,8)，故选B．]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．如图为函数y＝m＋lgnx的图像，其中m，n为常数，则下列结论正确的是( )
A．m＜0 B．m＞0
C．n＞1D．0＜n＜1
AD [当x＝1时，y＝m，由图形易知m＜0，又函数是减函数，所以0＜n＜1．]
10．有如下命题，其中是真命题的为( )
A．若幂函数y＝f(x)的图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，则f(3)>eq \f(1,2)
B．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0且a≠1)的图像恒过定点(1,2)
C．函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上单调递减
D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2]
BD [对于A，令f(x)＝xα，则2α＝eq \f(1,2)，解得：α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴f(3)＝eq \f(1,3)对于B，令x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝1＋1＝2，∴f(x)恒过定点(1,2)，B正确；
对于C，∵f(x)为开口方向向上，对称轴为x＝0的二次函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C错误；
对于D，令f(x)＝4，解得：x＝0或x＝2；又f(x)min＝f(1)＝3，∴实数m的取值范围为[1,2]，D正确，故选BD．]
11．已知函数f(x)＝eq \f(πx－π－x,2)，g(x)＝eq \f(πx＋π－x,2)，则f(x)，g(x)满足( )
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)
B．f(－2)＜f(3)
C．f(x)－g(x)＝π－x
D．f(2x)＝2f(x)g(x)
ABD [A正确，因为f(－x)＝eq \f(π－x－πx,2)＝－f(x)．
g(－x)＝eq \f(π－x＋πx,2)＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；
B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)；
C不正确，f(x)－g(x)＝eq \f(πx－π－x,2)－eq \f(πx＋π－x,2)＝eq \f(－2π－x,2)＝－π－x；
D正确，f(2x)＝eq \f(π2x－π－2x,2)＝2·eq \f(πx－π－x,2)·eq \f(πx＋π－x,2)＝2f(x)g(x)．]
12．已知正实数x，y满足lg2x＋lgeq \s\d16(eq \f(1,2))yA．eq \f(1,x)C．ln(y－x＋1)>0 D．2x－yBC [∵正实数x，y满足lg2x＋lgeq \f(1,2)y∴lg2 x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)易知f(x)＝lg2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)为单调递增函数，故x∴eq \f(1,x)>eq \f(1,y)，x3故A错误、B正确；
∴y－x>0，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC．]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．
13．函数y＝lga(2x－3)＋8的图像恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图像上，则f(3)＝________．
27 [由题意得定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27．]
14．若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) [由题意，直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，
(1) (2)
当0由已知得0<3a<1，∴0当a>1时，y＝|ax－1|的图像如图(2)所示，
由已知可得0<3a<1，∴01可得a无解．综上可知a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))．]
15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,x3，x<1，))若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．
－1 (0,1) [解方程f(x0)＝－1，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0≥1,\f(1,x0)＝－1))① eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0<1,x\\al(3,0)＝－1))②
解①无解，解②得x0＝－1．关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图像与直线y＝k有两个不同交点．
观察图像可知：当016．对于下列结论：
①函数y＝ax＋2(x∈R)的图像可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像平移得到；
②函数y＝2x与函数y＝lg2x的图像关于y轴对称；
③方程lg5(2x＋1)＝lg5(x2－2)的解集为{－1,3}；
④函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)为奇函数．
其中正确的结论是________．(把你的序号都填上)
①④ [y＝ax＋2的图像可由y＝ax的图像向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y＝lg2x的图像关于直线y＝x对称，②错误；
由lg5(2x＋1)＝lg5(x2－2)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1＝x2－2，,2x＋1>0，,x2－2>0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1或x＝3，,x>－\f(1,2)，,x>\r(2)或x<－\r(2)，))
∴x＝3，③错误；
设f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，定义域为(－1,1)，关于原点对称，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数，④正确．故正确的结论是①④．]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\f(3,8)))eq \s\up12(－eq \f(2,3))＋(0.002)eq \s\up10(－eq \f(1,2))－10(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(2)－eq \r(3))0．
(2)eq \f(1,2)lg 25＋lg 2－lgeq \r(0.1)－lg29×lg32．
[解] (1)原式＝(－1)eq \s\up10(－eq \f(2,3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－eq \f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500)))eq \s\up12(－eq \f(1,2))－eq \f(10,\r(5)－2)＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(－eq \f(2,3))＋(500)eq \s\up10(eq \f(1,2))－10(eq \r(5)＋2)＋1＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9)．
(2)原式＝lg 5＋lg 2－eq \f(1,2)lg eq \f(1,10)－2lg23×lg32＝1＋eq \f(1,2)－2＝－eq \f(1,2)．
18．(本小题满分12分)给出下列三个条件：①周期为1的函数：②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件(均需说明理由)，补充在下面的问题中，并求解．
已知函数f(x)＝eq \f(m·2x＋1－m,x2x－1) (m∈R)是________．
(1)求m的值；
(2)求不等式f(x)[解] (1)函数f(x)＝eq \f(m·2x＋1－m,x2x－1)(m∈R)，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
若选①：f(x)是周期为1的函数，则f(1)＝f(2)＝f(3)，
即m＋1＝eq \f(3m＋1,6)＝eq \f(7m＋1,21)，m无解，不合题意；
若选②：f(x)为奇函数，则f(－1)＋f(1)＝0，
即m＋1＋2－m＝0，方程无解，不合题意；
若选③：f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)在定义域上恒成立，
即eq \f(m·2x＋1－m,x2x－1)＝eq \f(m·2－x＋1－m,－x2－x－1)，
整理可得2m－1＝0，解得m＝eq \f(1,2)，
此时f(x)为偶函数；所以m＝eq \f(1,2)．
(2)由f(x)①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,\f(2x＋1,22x－1)<\f(3,2)))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,2x＋1<32x－1))，解得x>1；
②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0,\f(2x＋1,22x－1)>\f(3,2)))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0,2x＋1<32x－1))，此时x无解．
综上所述，不等式的解集为(1，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的图像过点(0，－2)，(2,0)．
(1)求a与b的值；
(2)求x∈[－2,4]时，f(x)的最大值与最小值．
[解] (1)因为函数图像过点(0，－2)，(2,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0＋b＝－2，,a2＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(3)，,b＝－3，))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\r(3)，,b＝－3))(舍去)
故a＝eq \r(3)，b＝－3．
(2)因为f(x)＝(eq \r(3))x－3，指数函数的底eq \r(3)>1，所以该函数在定义域内为增函数．
即当x∈[－2,4]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－2)＝eq \f(1,3)－3＝－eq \f(8,3)，f(x)max＝f(4)＝9－3＝6．
即f(x)的最大值为6，最小值为－eq \f(8,3)．
20．(本小题满分12分)函数f(x)＝lg(a·4x＋2x－1)
(1)如果x∈(1,2)时，f(x)有意义，确定a的取值范围；
(2)a≤0，若f(x)值域为R，求a的值．
[解] (1)由题意，x∈(1,2)，a·4x＋2x－1>0，即a>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，则eq \f(1,4)t2－t，a≥－eq \f(3,16)，a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,16)，＋∞))．
(2)令h(x)＝a·4x＋2x－1，由题意，h(x)的值域包含(0，＋∞)，
① a＝0时，h(x)＝2x－1，值域为(－1，＋∞)，满足条件；
② a<0时，h(x)＝a·4x＋2x－1＝a(2x)2＋2x－1，令t＝2x，
所以y＝at2＋t－1＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2a)))eq \s\up12(2)－1－eq \f(1,4a)为开口向下的抛物线，
易知h(x)的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－1－\f(1,4a)))，不满足条件，
综上，a＝0．
21．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的关系．
(1)写出y关于t的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．
①求服药一次后治疗疾病有效的时间；
②当t＝5时，第二次服药，问t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5，5\f(1,16)))时，药效是否连续？
[解] (1)将t＝1，y＝4分别代入y＝kt，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(t－a)，得k＝4，a＝3．
从而y＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(t－3)，t>1.))
(2)①当0≤t≤1时，由4t≥0.25，得eq \f(1,16)≤t≤1；
当t>1时，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(t－3)≥0.25，得1因此，服药一次后治疗疾病有效的时间为
5－eq \f(1,16)＝4eq \f(15,16)(小时)．
②连续．因为当t＝5时，第二次服药，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5，5\f(1,16)))时，血液中的含药量增加得快，减少得慢，从而每毫升血液中的含药量还是一直不少于0.25微克的，即药效是连续的．
22．(本小题满分12分)若两个函数y＝f(x)和y＝g(x)对任意x∈[a，b]都有|f(x)－g(x)|>2，则称函数y＝f(x)和y＝g(x)在[a，b]上是疏远的．
(1)已知命题“函数f(x)＝x2＋2x－1和g(x)＝x－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
(2)若函数f(x)＝x2＋2x－1和g(x)＝x－2在[a，a＋1]上是疏远的，求实数a的取值范围；
(3)已知常数c>1，若函数F(x)＝eq \f(1,2)(cx－c－x)与G(x)＝cx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))上是疏远的，求实数c的取值范围．
[解] (1)由题意可知，命题“函数f(x)＝x2＋2x－1和g(x)＝x－2在[0,1]上是疏远的”，则|x2＋2x－1－x＋2|>2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上恒成立，即证|x2＋x＋1|min>2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上恒成立，
令h(x)＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0，故|x2＋x＋1|＝x2＋x＋1，
又函数h(x)的对称轴为x＝－eq \f(1,2)，故函数h(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上递增，
所以h(x)min＝h(0)＝1，即|x2＋x＋1|≥1，并不恒大于2，
故为假命题，反例为当x＝0时，|f(x)－g(x)|＝1<2．
(2)由(1)知，|x2＋x＋1|>2在[a，a＋1]上恒成立，
即x2＋x－1>0在[a，a＋1]上恒成立，
令x2＋x－1＝0，则x＝eq \f(－1±\r(5),2)，
所以a＋1eq \f(－1＋\r(5),2)，解得aeq \f(－1＋\r(5),2)．
(3)根据题意|F(x)－G(x)|>2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))上恒成立，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cx－c－x－cx))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－cx－c－x))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cx＋c－x))>2，
又cx>0，c－x>0，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cx＋c－x))＝eq \f(1,2)(cx＋c－x)，故cx＋c－x>4，
令H(x)＝cx＋c－x，取1≤x1则H(x1)－H(x2)＝ceq \s\up4(x1)＋ceq \s\up4(－x1)－ceq \s\up4(x2)－ceq \s\up4(－x2)＝(ceq \s\up4(x1)－ceq \s\up4(x2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,ceq \s\up4(x1)·ceq \s\up4(x2))))，
因为c>1,1≤x11，则1－eq \f(1,ceq \s\up4(x1)·ceq \s\up4(x2))>0，
所以H(x1)－H(x2)<0，所以函数H(x)＝cx＋c－x在[1,2]上递增，
故H(x)min＝H(1)＝c＋eq \f(1,c)>4，解得c>2＋eq \r(3)或c<2－eq \r(3)，所以c>2＋eq \r(3)．