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人教A版高中数学必修第二册第七章复数学案
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这是一份人教A版高中数学必修第二册第七章复数学案，共46页。
第七章 | 复数7．1 复数的概念7．1.1 数系的扩充和复数的概念知识点一 复数的概念(一)教材梳理填空1．复数的定义及表示方法：(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母eq \a\vs4\al(z)表示，即z＝a＋bi.2．复数集：(1)定义：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．3．复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.[微思考] 若a＋bi＝0(a，b∈R)，则a与b的关系是什么？提示：由复数相等的性质知a＝b＝0.(二)基本知能小试1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是 ( )①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.A．1 B．2C．3 D．0答案：A2．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是 ( )A．3－i B．3＋iC．－1＋4i D．1＋3i答案：C3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.答案：5知识点二 复数的分类(一)教材梳理填空(1)复数a＋bi(a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))(2) 集合表示：[微思考] 虚数为什么不能比较大小？提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中的数的大小规定相矛盾；若i1，则实数x的值是________．[解析] (1)由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.(2)因为log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x2－3x－2>log22，,log2x2＋2x＋1＝log21，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x－2>2，,x2＋2x＋1＝1，))解得x＝－2.[答案] (1)A (2)－2[方法技巧]利用复数相等求参数值的思路(1)将等式两边都整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到满足条件的方程组；(3)解方程组，求出相应的参数． 【对点练清】1．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))2．已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.解析：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－3a－1＝3，,a2－5a－6＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝－1，,a＝6或a＝－1，))∴a＝－1，故实数a的值为－1.答案：－1【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b的值．解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③由①解得a＝－3，b＝±2，由②解得a＝±3，b＝－2.③中a，b无整数解，不符合题意．综上所述，a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.二、创新性——强调创新意识和创新思维2．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋sin θ＋(cos θ－2)i，其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R.(1)若z1为纯虚数，求m的值；(2)若z1＝z2，求λ的取值范围．解：(1)由z1为纯虚数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－m2＝0，,m－2≠0，))解得m＝－2.(2)由z1＝z2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－m2＝λ＋sin θ，,m－2＝cos θ－2，))∴λ＝4－cos2θ－sin θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin θ－\f(1,2)))2＋eq \f(11,4).∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝eq \f(1,2)时，λmin＝eq \f(11,4)，当sin θ＝－1时，λmax＝eq \f(9,4)＋eq \f(11,4)＝5.∴实数λ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,4)，5)).课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．以3i－eq \r(2)的虚部为实部，以3i2＋eq \r(2)i的实部为虚部的复数是 ( )A．3－3i B．3＋iC．－eq \r(2)＋eq \r(2)i D.eq \r(2)＋eq \r(2)i解析：选A 3i－eq \r(2)的虚部为3,3i2＋eq \r(2)i＝－3＋eq \r(2)i的实部为－3，故选A.2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为 ( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )A．A∪B＝C B．A＝BC．A∩(∁SB)＝∅ D．(∁SA)∪(∁SB)＝C解析：选D 集合A，B，C的关系如图所示，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C正确．故选D.4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为 ( )A.eq \f(π,4) B．eq \f(π,4)或eq \f(5,4)πC．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z) D．kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)解析：选D 由复数相等定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos θ＝sin θ，,sin θ＝cos θ，))∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则 ( )A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2C．a≠－1 D．a≠2解析：选C 由题意得a2－a－2≠0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,|a－1|－1＝0，))解得a≠－1.6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.解析：由复数相等可知，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝1.))答案：eq \f(1,4) 17．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2－1＞1，))解得m＝2.答案：28．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m取何值时？(1)z是实数；(2)z是纯虚数．解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数z是实数．(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，解得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．层级(二) 能力提升练1．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B 因为1－a＋a2＝a－eq \f(1,2)2＋eq \f(3,4)>0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.所以“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的必要不充分条件．2．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为 ( )A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6解析：选B 由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，所以m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝－1.3．已知复数z＝cos α＋icos 2α(00，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方．A、B、D均不正确．2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 ( )A．(1，eq \r(3)) B．(1，eq \r(5))C．(1,3) D．(1,5)解析：选B |z|＝eq \r(a2＋1)，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，eq \r(5))．故选B.3．在复平面内，O为原点，向量eq \o(OA,\s\up7(―→))对应的复数为8＋3i，eq \o(OA,\s\up7(―→))与eq \o(OB,\s\up7(―→))关于x轴对称，则点B对应的复数为 ( )A．8－3i B．－8－3iC．3＋8i D．－8＋3i解析：选A 关于x轴对称的复数是共轭复数，其实部相同，虚部互为相反数．4．设O为原点，向量eq \o(OA,\s\up7(―→))，eq \o(OB,\s\up7(―→))对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量eq \o(BA,\s\up7(―→))对应的复数为 ( )A．－1＋i B．1－iC．－5－5i D．5＋5i解析：选D 由已知可得eq \o(OA,\s\up7(―→))＝(2,3)，eq \o(OB,\s\up7(―→))＝(－3，－2)，所以eq \o(BA,\s\up7(―→))＝eq \o(OA,\s\up7(―→))－eq \o(OB,\s\up7(―→))＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以eq \o(BA,\s\up7(―→))对应的复数为5＋5i.故选D.5．(多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则以下说法正确的是( )A．复数z的虚部为iB．|z|＝eq \r(2)C．复数z的共轭复数eq \x\to(z)＝1－iD．复数z在复平面内对应的点在第一象限解析：选BCD 因为复数z＝1＋i，所以其虚部为1，故A错误；|z|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故B正确；复数z的共轭复数eq \x\to(z)＝1－i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确．故选B、C、D.6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为eq \r(2)，则a＝______，复数z的共轭复数eq \o(z,\s\up6(－))＝________.解析：∵eq \r(a2＋－12)＝eq \r(2)，且a＞0，∴a＝1，则z＝1－i，∴eq \o(z,\s\up6(－))＝1＋i.答案：1 1＋i7．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z＝________.(写出一个即可)解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以a0.又因为|z|＝2，所以a2＋b2＝4.显然当a＝－1，b＝eq \r(3)时，符合题意．答案：－1＋eq \r(3)i8．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)位于上半平面(含实轴)．解：(1)若点位于第四象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0，,m2＋3m－28
